敕勒草原·2026年内蒙古中考数学本土原创模拟卷（一）

**基本信息** 以内蒙古本土文化与草原生态为情境，原创试题占比高，融合数学抽象、数据分析与模型应用，适配人教版教材期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|科学记数法、坐标平移、概率（博物院展厅选择）|本土情境（如蒙古袍压缩密度）| |填空题|4/12|概率（奶食品）、函数图像（草原饮品）、古代数学（算法统宗）|结合生活实践（如真空压缩体积）| |解答题|6/64|统计（草原志愿服务时长）、方程组与不等式（玩偶徽章促销）、二次函数（机器人舞蹈轨迹）|综合应用（如牧草生长曲线分析）|

敕勒草原·2026内蒙古中考数学本土原创模拟卷（一） 适用版本：人教版教材　 考试时长：90分钟　满分：100分 总题量：18题 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米数字用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，将点先向右平移、再向下平移得点，则点的坐标可能为(    ) A. B. C. D. 3.（原创试题）内蒙古博物院是呼和浩特市首个以草原文化为主题的专题博物馆，该馆二楼设有“天骄蒙古”、“草原风情”、“大漠巡礼”三个展厅。若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“天骄蒙古”和“大漠巡礼”的概率是（　　 ） A. B. C. D. 4.如图，中，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.（原创试题）甲、乙两台草原农机在生产草原牧草收割零件时，甲农机做360个零件与乙农机做480个零件所用的时间相同，已知这两台农机每天共做140个零件，若设甲农机每天做x个零件，则下列方程符合题意的为（　　） A. B. C. D. 6.（原创试题）内蒙古草原生态站观察记录了呼伦贝尔草原上牧草的生长，将牧草的高度与观察时间天的关系记录如下图所示，那么牧草在第50天的高度(  ) A. B. C. D. 7.（原创试题）现在内蒙古的牧民在转场时，为携带方便，通常会利用真空压缩袋压缩蒙古袍以减小体积，同一件蒙古袍质量不变，其体积与密度有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度等于时，其体积是(    ) A. B. C. D. 8.已知二次函数为常数，且下列结论： 该函数图象经过点； 若，则当时，随增大而减小； 该函数图象与轴有两个不同的公共点； 若，则关于的方程有一个根大于且小于． 其中正确的结论的个数有(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.（原创试题）一个不透明的礼盒中装有3块奶豆腐和n块奶皮子，这些奶食品除种类外无其他差别。充分搅拌均匀后，从礼盒中随机取出一块是奶豆腐的概率为，，则n=______。 10.（原创试题）甲、乙两种内蒙古特色饮品的质量与体积的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多，则的值为      ． 11.中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了      里． 12.周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的，“偃矩以望高”意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度，小明依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点，，在同一水平线上，与相交于点测得，，，则树高    ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简． 14.本小题分（原创试题） 围绕内蒙古“北疆志愿服务”项目，某旗启动“草原守望者”志愿服务行动。为了解该行动中草原生态保护项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的30名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行整理。数据分为四组，具体如下：组：；组：；组：；组：． 下面给出了相关信息： 组全部数据为：，，，，，，，，，，，． 不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下： 组别 频数 频率 ： ： ： ：  各组志愿者的平均服务时长如下： 组别 ： ： ： ： 平均服务时长单位：小时 根据以上信息，回答下列问 统计表格中的值为          ，的值为          ； 本次志愿者服务时长的中位数是          小时； 扇形统计图中，组对应扇形的圆心角是          ； 求这名志愿者的平均服务时长． 15.本小题分（原创试题） 综合与实践： 【问题情境】 【信息收集】 信息一 信息二 线上平台无促销活动时，若买个玩偶和个徽章共需元；若买个玩偶和个徽章共需元． 年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买元会员卡后所有商品打折；方式二：非会员所有商品打折． 【问题探究】线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ 【问题解决】林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共个，请你帮林老师算一算，购买玩偶的数量在什么范围内时，方式一更划算？ 16.本小题分 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交边、于点、． 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 17.本小题分 在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度单位：厘米与时间单位：秒满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在秒时膝盖高度为厘米脚踝处，在秒时高度为厘米，在秒时高度为厘米． 求高度与时间之间的函数关系式； 求膝盖能达到的最大高度及对应的时间； 若研究人员设定机器人需要在高度等于厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 18.本小题分 已知四边形是菱形，，点在射线上，点在射线上，且． 如图，如果，求证：； 如图，当点在的延长线上时，如果，设，，试建立与的函数关系式，并写出的取值范围； 连接，，当是等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敕勒草原·2026内蒙古中考数学本土原创模拟卷（一） 适用版本：人教版教材　 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米数字用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，当绝对值小于时，为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定、的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：． 2.如图，在平面直角坐标系中，将点先向右平移、再向下平移得点，则点的坐标可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由图可知点的坐标为，向右平移横坐标增大，向下平移纵坐标减小，故点的横坐标大于，纵坐标小于， 只有选项符合特征， 故选B． 3.（原创试题）内蒙古博物院是呼和浩特市首个以草原文化为主题的专题博物馆，该馆二楼设有“天骄蒙古”、“草原风情”、“大漠巡礼”三个展厅。若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“天骄蒙古”和“大漠巡礼”的概率是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：把“天骄蒙古”、“草原风情”、“大漠巡礼”三个展厅分别记为、、， 列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中小明恰好选择“天骄蒙古”和“大漠巡礼”的结果有种， 他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率是， 故选：． 4.如图，中，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等，得出答案即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 5.（原创试题）甲、乙两台草原农机在生产草原牧草收割零件时，甲农机做360个零件与乙农机做480个零件所用的时间相同，已知这两台农机每天共做140个零件，若设甲农机每天做x个零件，则下列方程符合题意的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设甲农机每天做个零件，则乙农机每天做个零件， 由题意得：， 故选：． 设甲农机每天做个零件，则乙农机每天做个零件，根据甲农机做个零件与乙农机做个零件所用的时间相同，列出分式方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6.（原创试题）内蒙古草原生态站观察记录了呼伦贝尔草原上牧草的生长，将牧草的高度与观察时间天的关系记录如下图所示，那么牧草在第50天的高度(   ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设解析式为， 将和代入，得 解得 因此一次函数解析式为，  将代入解析式，得， 所以牧草在第天的高度是． 7.（原创试题）现在内蒙古的牧民在转场时，为携带方便，通常会利用真空压缩袋压缩蒙古袍以减小体积，同一件蒙古袍质量不变，其体积与密度有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度等于时，其体积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】利用待定系数法求出，再求出时，的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当时，，则，解得， ， 当时，， 当压缩到密度等于时，其体积是． 8.已知二次函数为常数，且下列结论： 该函数图象经过点； 若，则当时，随增大而减小； 该函数图象与轴有两个不同的公共点； 若，则关于的方程有一个根大于且小于． 其中正确的结论的个数有(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， 当时，， 该函数图象经过点，故正确； 当时，， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，随增大而减小， 又， 当时，随增大而减小，故正确； 判别式， 当时，，函数图象与轴只有一个公共点，故错误； 当时，方程的根为和， ， ，即方程有一个根大于且小于，故正确． 综上，正确的结论有，共个， 故选：． 令时，求得的值，即可判断；根据二次函数图象的增减性，即可判断；由根的判别式，即可判断，解一元二次方程结合判断根的大小情况，即可判断． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.（原创试题）一个不透明的礼盒中装有3块奶豆腐和n块奶皮子，这些奶食品除种类外无其他差别。充分搅拌均匀后，从礼盒中随机取出一块是奶豆腐的概率为，，则n=______。 【答案】  【解析】根据概率公式列方程即可求解． 【详解】解：根据题意得，  ， 解得， 经检验是原分式方程的解． 10.（原创试题）甲、乙两种内蒙古特色饮品的质量与体积的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：设甲对应的函数解析式为，根据题意得，， 解得， 故甲对应的函数解析式为， 设乙对应的函数解析式为，根据题意得，， 解得， 由题意得：， 解得， 即的值为． 故答案为：． 利用待定系数法求出甲、乙对应的函数解式即可得出答案． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11.中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一天走了          里． 【答案】  【解析】设第六天走的路程为里，根据每天走的路程为前一天的一半，可推出前五天的路程，根据六天总路程为里，建立一元一次方程求解，即可得到第一天走的路程． 【详解】解：设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，第四天走的路程为里，第三天走的路程为里，第二天走的路程为里，第一天走的路程为里， 依题意列方程得：， 合并同类项得：， 解得：． 则第一天走的路程为里． 12.周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的，“偃矩以望高”意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度，小明依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点，，在同一水平线上，与相交于点测得，，，则树高           ． 【答案】  【解析】根据，进行求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简． 【解析】解：原式 ； 原式 ． 先根据特殊角的三角函数值，乘方及开方的法则分别计算出各数，再算加减即可； 先算括号里面的，再算除法即可． 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 14.本小题分（原创试题） 围绕内蒙古“北疆志愿服务”项目，某旗启动“草原守望者”志愿服务行动。为了解该行动中草原生态保护项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的30名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行整理。数据分为四组，具体如下：组：；组：；组：；组：． 下面给出了相关信息： 组全部数据为：，，，，，，，，，，，． 不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下： 组别 频数 频率 ： ： ： ：    各组志愿者的平均服务时长如下： 组别 ： ： ： ： 平均服务时长单位：小时 根据以上信息，回答下列问 统计表格中的值为          ，的值为          ； 本次志愿者服务时长的中位数是          小时； 扇形统计图中，组对应扇形的圆心角是          ； 求这名志愿者的平均服务时长． 【答案】(1) ;​​​​​​​  (2)  (3)  (4)解：平均服务时长 （小时）， 【解析】 根据总人数为，用总人数减去、、组的频数，求出的值；再用组频数除以总人数，求出的值． 【详解】解：， ； 将个数据按从小到大排列，中位数为第、个数据的平均数，结合各组频数确定这两个数据所在的组，进而求出中位数． 解：总共有个数据，中位数为第、个数据的平均数． 组频数为，组频数为，，说明前个数据为、组数据， 第到第个数据为组数据，因此第、个数据都在组． 组数据按从小到大排列为：，，，，，，，，，，，． 第个数据是，第个数据是， 中位数； 先计算组的频率，再用乘以组的频率，得到组对应扇形的圆心角度数． 解：组的频率， 圆心角度数； 根据加权平均数公式，用各组的平均服务时长乘以对应频数，求和后除以总人数，得到名志愿者的平均服务时长． 15.本小题分（原创试题） 综合与实践： 【问题情境】 【信息收集】 信息一 信息二 线上平台无促销活动时，若买个玩偶和个徽章共需元；若买个玩偶和个徽章共需元． 年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买元会员卡后所有商品打折；方式二：非会员所有商品打折． 【问题探究】线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ 【问题解决】林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共个，请你帮林老师算一算，购买玩偶的数量在什么范围内时，方式一更划算？ 【答案】(1)解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 由题意，得， 解得； 答：玩偶的销售单价是20元，徽章的销售单价是10元； (2)解：设购买玩偶m个，则购买徽章个， 由题意，按照方案一购买需：（元）； 按照方案二购买需：（元）； 当时，解得， ∵购买玩偶和徽章共40个， ∴当时，方案一更划算． 【解析】 设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是元，徽章的销售单价是元，根据题意列方程组计算即可； 设购买玩偶个，根据购买方式列出代数式，进而列出不等式进行求解即可． 16.本小题分 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交边、于点、． 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)解：如图，连接，则， ， 是的平分线， ， ， ， ∴， 是的半径， 是的切线； (2)， ， ，， ， ， ， ．   【解析】 连接，则，利用等腰三角形的性质和角平分线证明， 则，得到，又由是的半径，即可得到结论； 由求得，，则，由求出，根据即可得到答案． 17.本小题分 在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度单位：厘米与时间单位：秒满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在秒时膝盖高度为厘米脚踝处，在秒时高度为厘米，在秒时高度为厘米． 求高度与时间之间的函数关系式； 求膝盖能达到的最大高度及对应的时间； 若研究人员设定机器人需要在高度等于厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 【答案】(1)解：设二次函数关系式为． 把，；，；，分别代入得：， 解得：， ∴函数关系式为：； (2)解： ，抛物线开口向下，最大高度出现在顶点处， 膝盖能达到的最大高度为32厘米，对应的时间为秒； (3)解：当时，， 解得，， 其中秒对应上升过程，秒对应下降过程． 时间间隔为：秒 答：在上升过程中0.5秒和下降过程中1.5秒触发闪光，时间间隔为1秒 【解析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是； 根据待定系数法求解即可； 把中函数关系式化为顶点式即可求解； 把代入中函数关系式求解即可． 18.本小题分 已知四边形是菱形，，点在射线上，点在射线上，且． 如图，如果，求证：； 如图，当点在的延长线上时，如果，设，，试建立与的函数关系式，并写出的取值范围； 连接，，当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】解：证明：四边形是菱形，， 菱形是正方形， ，， ， ， ， ≌， ； 如图， 在上截取，连接， 四边形是菱形， ，， 是正三角形， ，， ，， ， ∽， ， ； 或．  【解析】解：见答案； 见答案； 如图， 当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于， ，，，， ， 四边形是菱形， ， ∽，， ， ， ， ∽， ， ， 由得， ， ， 如图， 当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于， 作于， ， ， 由得， ， ， ， 由第一种情形知：∽，∽， ，， ，， 由得， ， ， ， ， 即， 综上所述：或． 先证明四边形是正方形，再证明≌，从而命题得证； 在上截取，先证明是正三角形，再证明∽，进一步即可求得结果； 当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，证明∽，，可推出，再证明∽，可推出，从而求得，当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，作于，先根据求得，进而求得，根据∽，∽，和，从而求得，根据三角形三边关系否定，从而确定的结果． 本题考查了菱形性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，面积法等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敕勒草原·2026内蒙古中考数学本土原创模拟卷（一） 适用版本：人教版教材　 1． 命题双向细目表 题号 题型 分值 考查知识点 难度 1 选择 3 科学记数法 易 2 选择 3 平面直角坐标系点平移 易 3 选择 3 简单概率计算（内蒙本土情境） 易 4 选择 3 圆周角及圆的基本性质 中 5 选择 3 分式方程实际应用 中 6 选择 3 一次函数实际应用 中 7 选择 3 反比例函数实际应用 中 8 选择 3 二次函数图像与性质 难 9 填空 3 概率公式求值 易 10 填空 3 一次函数图表应用 中 11 填空 3 规律应用与方程计算 中 12 填空 3 相似三角形实际测量 中 13 解答 10 实数运算、分式化简 易 14 解答 7 统计综合（频数、中位数、平均数） 中 15 解答 10 二元一次方程组+不等式应用 中 16 解答 12 圆的切线证明、阴影面积计算 中 17 解答 12 二次函数实际应用 中 18 解答 13 菱形、相似三角形综合探究 难 2． 试卷分析 本套试卷依据内蒙古中考数学命题标准命制，整体结构、题型分值和本地中考完全一致。试卷融入草原、博物院、奶食品、牧区生产等内蒙本土生活情境，贴合本地教学备考实际。 知识点全覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率三大核心板块，基础题、中档题、难题比例合理，梯度分明。侧重考查基础运算、几何推理、函数应用及综合探究能力，无偏题怪题，适合九年级模拟检测、中考复习备考。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $