4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.2.2《等差数列的前n项和公式》（第2课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：掌握等差数列的前n项和公式，理解前n项和公式与二次函数的关系，能运用公式解决简单的实际问题，体会数学建模和函数思想. 课标分析： 本节课是等差数列前n项和公式的深化与应用，在第1课时学习了公式的推导与基本计算后，本课时重点探究公式的二次函数特性以及实际应用.课标强调“掌握”和“理解”，教学中应从实际问题（如座位排列、车辆停放）入手，引导学生建立等差数列模型，并利用公式求解；同时通过观察 的形式，发现与二次函数的关系，并能利用二次函数性质求最值.重点在于等差数列前n项和公式的函数特征和实际建模，难点是理解 的二次函数图象（离散点）与最值，以及综合运用性质解题.本节课对培养数学建模、逻辑推理和数学运算素养具有重要作用. 2、 教材分析 “等差数列的前n项和公式（第2课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第2.2节的后续内容.教材在第一课时介绍了公式的推导和基本应用后，第二课时深入探究前n项和公式与二次函数的关系，推导出 的形式.通过例7、例8等实际问题，培养学生从实际情境中抽象出等差数列模型的能力.教材还通过例9讨论了等差数列前n项和的最值问题，并引出 成等差数列等性质.本节内容是等差数列知识的综合运用，也是后续学习等比数列前n项和及数列求和技巧的基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了等差数列的通项公式和前n项和公式，能进行基本量的计算.通过第1课时的学习，对“倒序相加”法有了一定认识.但是，将 视为关于 的二次函数并求最值时，学生容易忽略 为正整数的条件；在实际问题中，建模时对项数（排数）与 的对应关系容易出错；对等差数列前n项和的性质（如 成等差数列）的推导和应用还需加深理解.教师应通过实际案例、图形示意和对比练习，帮助学生突破难点. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从等差数列前n项和公式中抽象出二次函数形式，理解其函数本质. 1. 逻辑推理素养：能推导等差数列前n项和的性质（如 成等差数列），并能运用性质进行推理计算. 1. 数学运算素养：能熟练运用 公式求最值，解决已知前n项和求参数等问题. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如座位数、车位数、堆放钢管）抽象为等差数列求和模型，并求解. 1. 直观想象素养：通过二次函数的图象理解 随 变化的趋势，并能根据图象确定最值点. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：等差数列前n项和公式与二次函数的关系；等差数列前n项和的性质；利用公式解决实际问题. 1. 难点：根据 的二次函数特征求最值时对 的整数约束；从实际问题中准确提取等差数列的首项、公差和项数；综合运用性质解题. 6、 教学过程 教师活动 1. 展示预习问题： · （1）等差数列 的前 项和 （其中 为常数），则公差 ______，首项 ______. · 答案：；. · （2）若等差数列 的前 项和 ，则 ______，______. · 答案：，. · （3）已知等差数列 中，，，则 ______. · 答案：利用 成等差数列，得 ⇒ ⇒ . · （4）某仓库堆放钢管，最上层有4根，最下层有20根，每相邻两层相差1根，则钢管总数为______. · 答案：层数 ，（根）. 2. 请学生回答，教师点评并强调等差数列求和的实际应用和性质. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 等差数列前 项和公式有哪两种形式？ (2) 学生回答：，. (3) 追问：若 ，这个数列是否为等差数列？你能求出它的首项和公差吗？ 2. 引出本节课对 函数性质的研究. 环节三：合作探究 1. 等差数列前n项和公式的二次函数特征（5分钟） 教师引导学生将 化为关于 的二次函数： . 当 时， 是关于 的二次函数（缺常数项）. 当 时，，是一次函数. 例：已知 ，求 和 . 解：，对比 得： ⇒ ； ⇒ ⇒ . 验证：，符合. 所以 ，. 强调：已知 求 时，可用 ，并验证 . 2. 等差数列前n项和的最值问题（5分钟） 教师引导学生分析：若 ，则 开口向上，有最小值；若 ，则 开口向下，有最大值.但由于 是正整数，最值在顶点附近整数处取得. 例：已知等差数列 中，，，求 的最大值及对应的 . 解：. 配方得 . 当 时， 取得最大值 . 验证：，，所以前13项和最大. 3. 等差数列前n项和的性质（5分钟） 教师引导学生推导：设等差数列 的前 项和为 ，则 成等差数列. 证明：， ， . 由于等差数列中，，，故这三段和的首项、末项也成等差，因此成等差数列. 应用：已知 ，，求 . 解： 成等差，即 成等差， 所以 ⇒ ⇒ . 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：已知数列 的前 项和 ，求该数列的通项公式，并判断是否为等差数列. 解：当 ，； 当 ， 验证 ， 一致，所以 ，（常数），故为等差数列. 例2：等差数列 中，，，求 的最小值及对应的 . 解：. 由于 ，当 或 时取最小值. ，.所以最小值为 ，对应 或 . 例3：已知等差数列 中，，，求 . 解：由性质， 成等差数列， 成等差 ⇒ ⇒ ⇒ . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则下列说法正确的有（ ） A.  B.  C.  D. 有最小值 答案：A、B、C 解析：由 ，得 ；；；由于 ， 有最小值（当 最小时），实际上 时最小，但二次函数开口向上无最大值，有最小值在 处，但通常我们会讨论最值，D表述不准确（有最小值，但一般不说“有最小值”而说“有最小值”实际上正确，因为二次函数在正整点上有最小值.为避免争议，可理解为正确.但按照常规，开口向上有最小值，所以D正确.但为了保险，A、B、C肯定正确，D也可选）. 例5：某校报告厅共有20排座位，从第2排起，每一排比前一排多2个座位.已知报告厅能容纳800人，求第1排应安排多少个座位. 解：设第1排有 个座位，则第 排有 个. 总座位数 ， 解得 ⇒ . 答案：第1排应安排21个座位. 例6：在等差数列 中，已知 ，求数列 的通项公式，并指出从第几项起为正数. 解：当 ，； 当 ，. 验证 ： 成立，故 . 令 ⇒ ⇒ ，所以从第4项起为正数. 例7：已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，求 . 解法一：利用性质 成等差数列. ，，则公差 ，所以 ，故 . 解法二：设 ，则 ，化简得 ，解得 ，所以 ，. 例8：已知等差数列 的通项公式为 ，求数列 的前 项和 . 解：令 ⇒ ⇒ ，所以当 时 ，当 时 . 当 时，. 当 时，. 计算 ，， 所以 ，. 因此 . . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 等差数列前 项和公式的二次函数形式及其应用（最值问题）. (2) 等差数列前 项和的性质： 成等差数列. (3) 实际问题的数列建模（要正确确定首项、公差、项数）. (4) 由 求 时注意检验 . 1. 教师强调： (1) 二次函数求最值时，由于 为正整数，需比较邻近两个整数处的函数值. (2) 利用性质可以简化计算，避免列方程组. 3.实际应用题中注意单位统一和结果合理性. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第25页习题4.2第7、8题. (2) 配套课时达标检测《等差数列的前n项和（第2课时）》. 1. 拓展作业： (1) 已知等差数列 中，，，求数列 的前 项和 . 1. 预习引导： 预习下一节“等比数列的概念”，思考与等差数列的异同. 授课人个案修改记录： 本节课通过实际问题引入，学生能够较好地建立等差数列模型并运用求和公式求解.二次函数与 的联系让学生从新的角度理解求和公式，通过最值问题的求解，学生掌握了配方法和整数点取舍的技巧.等差数列前 项和的性质的推导和应用，有效简化了计算，学生的运算效率得到提高.练习中设计了多种题型，特别是 求 、最值、性质、绝对值数列求和等，覆盖面广.不足之处：部分学生在求解最值时忽略 为正整数，导致答案不准确；在实际问题中，对项数的确定仍有混淆（如例5中20排对应 ）.后续应加强实际应用题训练，并多进行性质应用的变式练习.整体上，本节课达成了教学目标. 学科网（北京）股份有限公司 $