精品解析：云南文山州砚山县第一中学2025-2026学年高一下学期4月综合训练数学试题

2026年春季学期高一年级4月综合训练 数学试卷 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.本试卷命题范围：必修第二册（6.1～8.5）． 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，. 2. 若复数满足是虚数单位则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示，再化简复数. 【详解】 故选： 3. 若直线平面，则下列结论中成立的个数是（ ） ①内的所有直线与异面； ②内的所有直线与都相交； ③内存在唯一的直线与平行； ④内不存在与平行的直线． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】直线平面，则与平行，或与相交， 直线与平面内的直线可能异面，可能相交，也可能平行． 若与平行，则内与平行的直线有无数条；若与相交，则内的直线可以与相交，也可以与异面． ①②③④都不正确． 4. 设，那么复数所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，结合复数的几何意义可得. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应点为，位于第四象限. 故选：D 5. 若单位向量满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件求出，再由即可求出答案. 【详解】解：因为为单位向量， 所以，所以, 所以， 故选：C. 6. 在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 7. 某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（ ） A. 30 B. 60 C. 40或60 D. 30或60 【答案】D 【解析】 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 8. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（　　） A. 64 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积． 【详解】分别取的中点，连接，     过点作的垂线，垂足为， 因为，，所以，所以， 根据对称性可得，所以， 在中，，所以， ， 又， 所以． 故选：D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】计算ω2可判断A；计算ω3可判断B；计算ω2+ω+1可判断C；根据虚数不能比较大小可判断D. 【详解】∵， ∴ω2，故A正确， ω3＝ω2ω＝＝1，故B错误， ω2+ω+11＝0，故C正确； 虚数不能比较大小，故D错误. 故选：AC． 【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．难度中等． 10. 设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的“仿射坐标”为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】因为向量和的“仿射坐标”分别为，， 所以，，又因为，是夹角为的单位向量， 所以，，， 则，故A错误； 若，则，则的“仿射坐标”为，故B正确； 由得，解得，故C正确； 若，则，得，故D错误． 11. 如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆台轴截面面积为 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A，B，C项；将圆台侧面展开，利用弧长公式和勾股定理即可求解. 【详解】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行四边形中，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用向量加法运算的三角形法则以及数乘运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故答案为： 13. 已知，则复数的虚部是______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，且， 所以，所以， 所以，即复数的虚部是． 14. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得圆锥内切球半径，进而求得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值. 【详解】由题可知当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球. 作出圆锥和其内切球的轴截面如图，圆锥的底面半径，圆锥的高，则母线长， 设圆锥的内切球半径， 由，可得，即，解得， 棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为， 令，解得. 所以实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. （1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 【答案】（1）（2）能（3）10 【解析】 【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解. 【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （3）由已知得在直角中，， 故. 16. 已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱． （1）求圆柱的侧面积； （2）求圆柱的侧面积的最大值及此时的值． 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】（1）作出轴截面，根据线段比例关系可求得圆柱底面半径，代入圆柱侧面积公式即可； （2）根据二次函数最值的求法可确定最大值及的取值. 【小问1详解】 设圆锥顶点为，底面圆心为，圆柱的底面半径为， 作出圆锥和圆柱的轴截面如下图所示， ，，则 圆柱侧面积. 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，圆柱侧面积取得最大值. 17. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明： （1）D1Q∥平面C1DB； （2）平面D1PQ∥平面C1DB. 【答案】 证明：（1）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，可知D1Q∥DB， ∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB， ∴D1Q∥平面C1DB. （2）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，D1P∥C1B， ∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB， ∴D1P∥平面C1DB， 由（1）知，D1Q∥平面C1DB， 又D1Q∩D1P＝D1 ∴平面D1PQ∥平面C1DB. 【解析】 【分析】(1)D1Q∥DB且D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，由线面平行判定定理可证D1Q∥平面C1DB (2)同(1)，线面平行判定定理可证D1P∥平面C1DB，结合(1)结论且D1Q∩D1P＝D1，由面面平行判定定理可证平面D1PQ∥平面C1DB 【详解】略 【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定定理，由线面平行可证两相交直线平行一个平面，再根据面面平行的判定定理即证两平面平行 18. 在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求角； （2）已知，当取最小值时，求内切圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由三角形的面积公式，结合余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理可得，再由基本不等式可得当且仅当时等号成立，即可求得，再由等面积法即可求得内切圆的半径. 【小问1详解】 依题意，，， 则，即． 由余弦定理． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以， 则， 设内切圆的半径为，则，所以， 所以内切圆的半径为． 19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】（1）， （2）①因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ② 【解析】 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【小问1详解】 因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； 【小问2详解】 ①略 ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高一年级4月综合训练 数学试卷 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.本试卷命题范围：必修第二册（6.1～8.5）． 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 若复数满足是虚数单位则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线平面，则下列结论中成立的个数是（ ） ①内的所有直线与异面； ②内的所有直线与都相交； ③内存在唯一的直线与平行； ④内不存在与平行的直线． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 设，那么复数所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若单位向量满足，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（ ） A. 30 B. 60 C. 40或60 D. 30或60 8. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（　　） A. 64 B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的“仿射坐标”为 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆台轴截面面积为 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行四边形中，，且，则________. 13. 已知，则复数的虚部是______． 14. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. （1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 16. 已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱． （1）求圆柱的侧面积； （2）求圆柱的侧面积的最大值及此时的值． 17. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明： （1）D1Q∥平面C1DB； （2）平面D1PQ∥平面C1DB. 18. 在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求角； （2）已知，当取最小值时，求内切圆的半径． 19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $