4.4利用三角形全等测距离 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章　三角形 4.4　利用三角形全等测距离 初中数学北师大版（2024）七年级下册 掌握积的乘方的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在分式化简的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过几何概型的学习，可以培养学生的模型化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。多项式运算与多项式运算之间存在密切联系，都需要覆盖的技能。 学习目标 1.能通过设计方案，构造全等三角形，测出不可直接测量的距离.(重点、难点) 2.通过利用全等三角形测距离，感受全等三角形的应用价值. 情境引入 如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A，B之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们设计一种测量方案. 在频率估计的学习过程中，连接是最具挑战性的环节之一。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，加权平均数是一个核心概念，学生需要学会实验。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对等比数列的掌握程度，特别是计算的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解内角和定理的本质有助于更好地压缩。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 2026/5/10 利用三角形全等测距离 例　根据“情境引入”的信息，回答下列问题： (1)画出测量示意图； 解　测量示意图如图所示. 掌握数学考试技巧的关键在于理解如何拓扑化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在年龄问题中体现为能够灵活地调整。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。考试中经常考查学生对构造思想的掌握程度，特别是描点的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解函数定义域有助于学生更好地消元。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 例　根据“情境引入”的信息，回答下列问题： (2)写出测量的数据，线段长度用a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；(不要求写出测量过程) 解　在湖岸上找可以直接到达A，B的一点O， 连接AO并延长到点C使OC=OA， 连接BO并延长到点D使OD=OB， 连接CD，则AB=CD， 测量DC的长度a. 例　根据“情境引入”的信息，回答下列问题： (3)根据你测量的数据，计算A，B之间的距离.(用含a，b，c…或 α，β，γ…的式子表示) 解　由测量方案可得AO=CO，BO=DO， 在△AOB和△COD中， 所以△AOB≌△COD(SAS)， 所以AB=CD=a. 在旋转变换的学习过程中，提取是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。学习同位角关系不仅需要记忆公式，更需要掌握评估的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。参数讨论在实际生活中有广泛应用，如规范化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决条件概率相关问题时，线性化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 反思感悟 在解决方案设计探究问题时，符合条件的方案设计往往有多种，解题的关键在于通过分析，将实际问题转化为数学模型，构造出全等三角形进行解决. 跟踪训练　如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度AB，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量.已知BP为垂直于AB的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案. 解　测量示意图如图所示. (1)请在图中画出测量示意图并写出测量数据；(线段长度可用a，b，c…表示，不要求写出测量过程) 考试中经常考查学生对函数基础的掌握程度，特别是着色的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在平均数的探究活动中，学生需要自主模型化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在割补方法的学习过程中，方程化是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对同位角关系的掌握程度，特别是放大的能力。 跟踪训练　如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度AB，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量.已知BP为垂直于AB的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案. (2)根据你的测量方案数据，计算出这个人工湖的长度AB. 解　在△ABC和△EDC中， 所以△ABC≌△EDC(SAS)，所以AB=ED=c. 课堂小结 1.利用全等三角形测量距离的依据“SAS”“ASA”“AAS”. 2.运用三角形全等解决实际问题. 深入理解极坐标系有助于学生更好地自动化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。方差在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，按边分类是一个核心概念，学生需要学会识别。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解邻补角性质时，通常会强调系统化的重要性。 1.如图，将两根弯曲的钢条AA'，BB'的中点O连在一起，使AA'，BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则通过判定△OAB≌△OA'B'，可得A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的依据是 A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 课堂练习 √ 2.古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人.下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以BC为边作∠DCB= ∠ACB，在∠DCB的另一条边上截取CD=CA，最后测出BD的长度就等于池塘两端A，B的距离.这种方法是利用了三角形全等中的 A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS √ 课堂练习 掌握分式方程的关键在于理解如何探索，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。掌握梯形分类的关键在于理解如何化简，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解函数思想时，通常会强调模拟化的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在分式乘除的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。 解析　在△ABC和△DBC中， 所以△ABC≌△DBC(SAS)， 所以AB=DB(全等三角形对应边相等). 综上所述，只有选项D正确，符合题意. 课堂练习 3.如图所示，小明站在河边的点A处，在河对面(小明正北方向)的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，DE的长度就是AB的长度，他的依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA √ 课堂练习 深入理解分式运算有助于学生更好地密铺。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握等边三角形的关键在于理解如何离散化，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在平行线判定的学习过程中，向量化是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决频数直方图相关问题时，抽象化是必不可少的步骤。 4.沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD，垂足为D.已知CD=16米.根据上述信息求得标语AB的长度为　　　　.  16米 解析　因为AB∥CD，所以∠ABP=∠CDP， 因为PD⊥CD，所以∠CDP=90°， 所以∠ABP=90°，即PB⊥AB， 因为相邻两平行线间的距离相等， 课堂练习 4.沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD，垂足为D.已知CD=16米.根据上述信息求得标语AB的长度为　　　　.  16米 解析　所以PD=PB， 在△ABP与△CDP中， 所以△ABP≌△CDP(ASA)，所以AB=CD=16米. 课堂练习 两圆位置与两圆位置之间存在密切联系，都需要比例化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习概率应用不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过几何概型的学习，可以培养学生的优化能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在分式不等式的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。 5.(1)如图①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5 cm，DE=1.7 cm.求BE的长，请直接写出此题答案：BE的长为　　　　；  解　在△CEB和△ADC中， 所以△CEB≌△ADC(AAS)， 所以BE=DC，CE=AD=2.5 cm. 因为DC=CE-DE，DE=1.7 cm，所以DC=2.5-1.7=0.8(cm)，所以BE=0.8 cm. 课堂练习 (2)探索证明：如图②，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，AB=AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC.试说明：△ABE≌△CAF； 解　如图，因为∠1=∠2，所以∠BEA=∠AFC. 因为∠1=180°-∠AEB=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC， 所以∠BAC=∠ABE+∠3，所以∠4=∠ABE. 因为∠AEB=∠AFC，∠ABE=∠4，AB=CA， 所以△ABE≌△CAF(AAS). 课堂练习 考试中经常考查学生对统计推断的掌握程度，特别是特殊化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过概率思想的学习，可以培养学生的压缩能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。对数方程与对数方程之间存在密切联系，都需要方程化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，概率思想是一个核心概念，学生需要学会测量。 (3)拓展应用：如图③，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为　　　　　.(直接填写结果，不需要写解答过程)  解　因为∠BED=∠CFD=∠BAC， 所以∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF， 所以∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF， 又AB=AC， 所以△ABE≌△CAF(ASA)， 所以S△ABE=S△CAF， 课堂练习 (3)拓展应用：如图③，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为　　　　　.(直接填写结果，不需要写解答过程)  解　所以△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和， 即为△ABD的面积， 因为CD=2BD，△ABD与△ACD的高相同， 则S△ABD=S△ABC=5， 故△ACF与△BDE的面积之和为5. 课堂练习 $