平面向量与三角形的“四心”课件-2027届高三数学一轮复习

2026-05-10

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　平面向量与三角形的“四心” 　　在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识整合，将三角形与向量紧密的联系在一起，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力. 平面向量与三角形的重心 1. 定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点. 2. 几何性质：若点G是△ABC的重心，则有＋＋＝0或＝（＋＋）（其中P为平面内任意一点）. 高中总复习·数学（创新版）（2026·江西抚州期中）已知△ABC的重心为O，若｜＋｜＝｜－｜，且｜｜＝3｜｜＝3，则｜｜＝（　　） A. 2 B. C. 3 D. 2 √ 解析：　因为｜＋｜＝｜－｜，故 · ＝0.而＋＋＝0，故＝－（＋），则｜｜＝＝＝ .故选B. 高中总复习·数学（创新版）平面向量与三角形的垂心 1. 定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心. 2. 几何性质：若H是△ABC的垂心，则 · ＝ · ＝ · ；＋＝＋＝＋ . 高中总复习·数学（创新版）（2026·陕西西安模拟预测）在△ABC中，若 · ＝ · ＝ · ，则下列说法正确的是（　　） A. O是△ABC的外心 B. O是△ABC的内心 C. O是△ABC的重心 D. O是△ABC的垂心 √ 解析：　∵ · ＝ · ，∴ ·（－）＝0，∴ · ＝ 0，∴OB⊥CA，同理由 · ＝ · ，得到OA⊥BC，∴点O是 △ABC的三条高的交点.故选D. 高中总复习·数学（创新版）平面向量与三角形的内心 1. 定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心. 2. 几何性质：若点I是△ABC的内心，则有｜｜· ＋｜｜· ＋｜｜· ＝0. 高中总复习·数学（创新版）设I为△ABC的内心，且2 ＋3 ＋＝0，则角C为（　　） A. B. C. D. √ 解析：　∵I为△ABC的内心，∴a ＋b ＋c ＝0，∴a∶b∶c＝ 2∶3∶ ，设c＝ k，b＝3k，a＝2k，k＞0，则 cos C＝＝，又C∈（0，π），所以C＝ .故选B. 高中总复习·数学（创新版）平面向量与三角形的外心 1. 定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等. 2. 几何性质：若点O是△ABC的外心，则｜｜＝｜｜＝｜｜或（＋）· ＝（＋）· ＝（＋）· ＝0. 高中总复习·数学（创新版）在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则 · ＝， · ＝ ⁠. 解析：由题意得O为△ABC的外心，故 · ＝＝8. 如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，则 · ＝（＋）·（－）＝（＋）·（－）＋ ·（－）＝（｜｜2－｜｜2）＝10. 8 10 高中总复习·数学（创新版） 1. （2026·辽宁葫芦岛期末）已知O是△ABC所在平面上一点，若＝＝，则O是△ABC的（　　） A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心 √ 解析：　因为＝＝，则｜｜＝｜｜＝｜｜，所以O是△ABC的外心.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 2. （2026·山东聊城月考）O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足＝＋λ（＋），λ＞0，则直线AP 一定通过△ABC的（　　） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 √ 解析：如图，取线段BC的中点E，则＋＝ 2 .动点P满足＝＋λ（＋），λ＞0，则－＝2λ ，则＝2λ ，则直线AP一定通过△ABC的重心.故选C. 高中总复习·数学（创新版） 3. 已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则（＋）·（＋）＝（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 √ 解析：　设D为BC的中点，因为点O是边长为的等边△ABC的内心，所以，，两两夹角为120°，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝ × × ＝ .所以（＋）·（＋）＝＋ · ＋ · ＋ · ＝2－2× －2× －2× ＝－1. 高中总复习·数学（创新版） 4. 如图所示，在△ABC中，G为重心，PQ过点G，＝m ，＝ n ，则＋＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 高中总复习·数学（创新版）解析：　设＝a，＝b，根据题意，＝＝（＋）＝ a＋ b.因为＝m ，＝n ，P，G，Q三点共线，则存在λ，使得＝λ ，即－＝λ（－），即nb－ma＝λ （ a＋ b－ma）＝（－mλ）a＋，所以整理得 3mn＝m＋n，所以＋＝3. 高中总复习·数学（创新版） $

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