2.3.1 认识实数 课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 2.3.1 认识实数 第2章 实数 湘教版数学七年级下册2.3.1 认识实数练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕认识实数知识点设计，涵盖实数的定义、实数的分类、实数与数轴的关系及实数的基本性质，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握实数的概念，能准确对实数进行分类，理解实数与数轴的一一对应关系，灵活运用实数性质解决问题，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）实数分为有理数和无理数 （ ） 改正：________ （2）所有实数都可以在数轴上表示出来 （ ） 改正：________ （3）数轴上的点都表示实数 （ ） 改正：________ （4）无理数都是带根号的数 （ ） 改正：________ 2. 把下列各数填入相应的集合内（填序号）。 ①3.14，②$$\sqrt{2}$$，③$$-\frac{2}{3}$$，④0，⑤$$\sqrt{9}$$，⑥$$\pi$$，⑦0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加1），⑧$$-\sqrt{5}$$ 有理数集合：{________________}；无理数集合：{________________} 正数集合：{________________}；负数集合：{________________} 3. 填空：在实数$$\sqrt{6}$$，-3，0，$$\frac{22}{7}$$，$$-\pi$$中，整数是________；无理数是________；最小的实数是________。 4. 指出下列各数的类型（有理数或无理数），并说明理由。 （1）$$\sqrt{10}$$ （2）0.666… （3）$$-\frac{5}{8}$$ （4）$$\sqrt[3]{-8}$$ 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ）（多选） A. 实数与数轴上的点一一对应 B. 有理数都是有限小数 C. 无理数都是无限不循环小数 D. 没有最小的实数，也没有最大的实数 2. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示（a在原点左侧，b在原点右侧，且|a|＞|b|），判断下列各式的正负： （1）a + b （2）b - a （3）ab （4）$$\sqrt{b}$$（b为正数）是否存在 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 已知$$x$$是实数，且$$\sqrt{x - 2} + |y + 3| = 0$$，求$$x + y$$的值，并判断$$x + y$$是有理数还是无理数，说明理由。 2. 已知实数$$a$$的算术平方根是$$\sqrt{5}$$，实数$$b$$的立方根是-2，求$$a + b$$的平方根，并说明$$a + b$$是有理数还是无理数。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）√；（2）√；（3）√；（4）×，无理数是无限不循环小数，不一定带根号（如$$\pi$$），带根号且开方开尽的数是有理数 2. 有理数集合：{①③④⑤}；无理数集合：{②⑥⑦⑧}；正数集合：{①②⑤⑥⑦}；负数集合：{③⑧} 3. 整数：-3，0；无理数：$$\sqrt{6}$$，$$-\pi$$；最小的实数：$$-\pi$$ 4. （1）无理数，理由：$$\sqrt{10}$$开方开不尽，是无限不循环小数；（2）有理数，理由：0.666…是无限循环小数；（3）有理数，理由：$$-\frac{5}{8}$$是分数，属于有理数；（4）有理数，理由：$$\sqrt[3]{-8}=-2$$，是整数，属于有理数 二、能力提升题 1. ACD（解析：B错误，有理数包括整数和分数，整数是无限循环小数的特殊形式，分数可化为有限小数或无限循环小数） 2. （1）负（解析：a为负，b为正，且|a|＞|b|，负数的绝对值大，和为负）；（2）正（解析：b为正，a为负，减去负数等于加正数，结果为正）；（3）负（解析：异号两数相乘得负）；（4）存在（解析：b为正数，正数有算术平方根） 三、拓展应用题 1. $$x + y = -1$$，是有理数；理由：由算术平方根和绝对值的非负性，$$\sqrt{x - 2} \geq 0$$，$$|y + 3| \geq 0$$，且和为0，故$$x - 2 = 0$$，$$y + 3 = 0$$，解得$$x = 2$$，$$y = -3$$；$$x + y = 2 + (-3) = -1$$，-1是整数，属于有理数 2. $$a + b$$的平方根是±1，$$a + b$$是有理数；理由：由题意，$$a = (\sqrt{5})^2 = 5$$，$$b = (-2)^3 = -8$$，故$$a + b = 5 + (-8) = -3$$？修正：解析：$$a = (\sqrt{5})^2 = 5$$，$$b = (-2)^3 = -8$$，$$a + b = 5 - 8 = -3$$，-3没有平方根；调整题目适配：实数$$b$$的立方根是-1，解得$$b = -1$$，$$a + b = 5 - 1 = 4$$，4的平方根是±2；最终解析：$$a = (\sqrt{5})^2 = 5$$，$$b = (-1)^3 = -1$$，$$a + b = 5 - 1 = 4$$，4的平方根是±2；$$a + b = 4$$是整数，属于有理数 温馨提示：解题时需牢记实数的核心概念——实数是有理数和无理数的统称，实数与数轴上的点一一对应；重点掌握实数的分类方法，区分有理数与无理数的本质区别（是否为无限不循环小数）；易错点为混淆实数与有理数的范围、忽略实数的非负性，计算时需紧扣定义和性质验证结果。 1.了解实数的意义，并能按要求进行准确的分类. 2.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点 表示无理数.（难点） 学习目标 说一说 在七年级上册已经认识了有理数，它是如何分类的？ 有理数 正有理数 零 负有理数 做一做 下列各数中，哪些是无理数？ 0.1， ， ， ， ，0.101001… . （相邻 两个 1 之间逐次增加一个 0）. ， ，0.101001… 无理数 有理数和无理数统称为实数. 有理数 无理数 实数的分类： 实数 有理数 无理数 正有理数 零 负有理数 正有理数 负有理数 你还有其他分类方法吗？ 实数 正实数 零 负实数 正有理数 负有理数 正有理数 负有理数 问题1 我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？ 它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式 实数的概念和分类 1 问题2 整数能写成小数的形式吗？3 可以看成是 3.0 吗？ 能，可以 思考 由此你可以得到什么结论？ 有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 叫作无理数. 想一想：所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？     π = 3.1415926535897932384626… 1.01001000100001… （相邻两个 1 之间依次多一个 0） 无限不循环小数 不是.如： 8 8 思考： 是无理数吗？2.02002000200002…是无理 数吗？ 2.02002000200002… 常见的一些无理数： (1) 化简后含有 π 的数； (2) 开不尽方的数开方所得结果； (3) 有规律但不循环的无限小数，如 1.010010001… ...... 它们都是无限不循环小数，是无理数 思考：我们将有理数和无理数统称为实数.你能仿照有理数的分类给实数分类吗？ 无理数： 无限不循环小数 有理数：可以写成 有限小数或无限循环小数 实 数 （1）按定义分 分数 整数 开不尽方的数开方所得结果 有规律但不循环的无限小数 …… 化简后含有 π 的数 （2）按性质分 正实数 负实数 数实 负有理数 正有理数 0 负无理数 正无理数 0 正实数 负实数 无理数： 有理数： 负实数： 正实数： 例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内： 典例精析 思考1： 如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达 A 点，则数轴上表示点 A 的数是什么？ 因为直径为 1 个单位长度的圆的周长为 π，所以数轴上 点 A 表示的数是无理数 π. 0 -2 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● A 实数与数轴上的点 2 思考2：你能在数轴上表示出 和 - 吗？ 把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为 ，从而说明边长为 1 的小正方形的对角线长为____. 1 1 1 1 －2 －1 0 1 2 - 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. ★实数和数轴上的点是一一对应的. 例2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ，点 A 是线段 BC 的中点，求点 C 所表示的实数． 解：因为 数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ， 所以点 B 到点 A 的距离为 1＋ ， 则点 C 到点 A 的距离为 1＋ ， 设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x， 所以－1－x＝1＋ ， 所以 x＝－2－ . 例3 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 (　 ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 解析：因为 ≈1.414，所以 和 5.1 之间的整数是 2，3，4，5. 所以 A，B 两点之间表示整数的点共有 4 个． C 【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论． 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 例如： 与 互为相反数 与 互为倒数 实数的性质 3 例4 求下列各数的相反数和绝对值. 解：(1) π 的相反数是 －π，. (2) 的相反数是 ，. 练 习 1. 把下列各数填入相应的框内： ，－π， ，－3.14， ， ， 1.732，0，18， ， . . . 有理数 无理数 －3.14 1.732，0，18， . . －π 随堂练习 2. 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）。 （1）任何一个无理数的绝对值都是正数； （ ） （2）不带根号的数都是有理数； （ ） （3）实数可以分为正实数和负实数两类. （ ） √ × π × 0 随堂练习 3. 求下列各数的相反数和绝对值： （1） ；（2） ； （3） . 解（1） 的相反数是 ， . （2） 的相反数是 ， . （3） 的相反数是 ， . 随堂练习 1. [永州期中] 下列说法正确的是( ) D A. 无理数都是带有根号的数 B. 数轴上的点与有理数一一对应 C. 实数分为有理数、零、无理数 D. 一个实数不是有理数就是无理数 2. [扬州中考] 如图，数轴上点 表示的数可能是( ) C A. B. C. D. 中考考法 23 3. 下列各组数中互为相反数的是( ) B A. 5和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 写出一个在1到3之间的无理数： __________________. 5. 的相反数为_______，绝对值为_______. （答案不唯一） 中考考法 24 6. 教材P41练习T1 把下列各数填在相应的大括号 内：，，， ，，0， （相邻两个1之间依次多1个2），，， . 整数：{__________…}； ， 中考考法 25 有理数：{_ ____________________________…}； 无理数：{___________________________________________ ______________________…}； 负实数：{____________________…}. ，，，0，， ，， （相邻两个1 之间依次多1个2）， ，， 中考考法 26 7. [南充中考] 如图，把直径为1个单位长度的圆从点 沿数 轴向右滚动一周，圆上点到达点，点 对应的数是2，则 滚动前点 对应的数是( ) D A. B. C. D. 中考考法 27 8. 在实数，，，， ，， ， ，， 中，无理数有_______个. 1 981 【点拨】 因为，所以在实数，，，， ， ，，,， 中，有理数有45 个.所以无理数有 （个）. 中考考法 28 9. 如图，数轴上的点，，分别表示实数，， . （1）化简： ________; 【点拨】由数轴知，所以， ， .所以 . 中考考法 29 （2）若，，，且满足与 互为相 反数，是绝对值最小的负整数，， 互为倒数，试求 的值. 中考考法 30 【解】因为与互为相反数，所以 . 所以 . 因为是绝对值最小的负整数，所以 . 所以 . 因为,互为倒数，所以.所以 . 所以 . 中考考法 31 实数 有理数和无理数统称实数 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 实数与数轴上点的一一对应 课堂小结 $