2.3 极值点偏移（一）课件-2026届高考数学二轮复习

专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移（一） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移(一） （1）加法型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的零点个数； (3)若有两个零点，，证明：． 转化为证或在上恒成立 构造函数 转化为证明 转化为比较与 转化为比较与 典例剖析 3 解析：（1）求导得， 所以，， 故切线方程是：； （2）由已知，， 所以当，，单调递减， ，，单调递增， ， 当时，趋近于时，函数趋近于，且，趋近于时，函数趋近于，此时函数只有一个零点， 当时，当趋近于时，函数趋近于，趋近于时，函数趋近于，此时函数有2个零点； 例题 1. 已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的零点个数； (3)若有两个零点，，证明：． 典例剖析 4 解析：（3）第一，由（2）知， ，，使得， ，要证，即证， 第二，，， 又且在上单调递减， 需证，即证， ， 即证， 例题 1. 已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的零点个数； (3)若有两个零点，，证明：． 典例剖析 5 解析：第三，故令， 即， ∴， ∵时，，所以，即， ∴函数在上单调递增， ∵，∴在上恒成立， ，得证， ． 例题 1. 已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的零点个数； (3)若有两个零点，，证明：． 典例剖析 6 例题 2. 已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）求函数的单调区间； （2）若为两个不相等的实数，且满足，求证：． 将变形为，得到 转化为证， 转化为证或恒成立 构造函数 转化为比较与 转化为比较与 典例剖析 7 解析：（1）， 令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为． （2）第一， 证明：将两边同时除以得， 即，所以， 第二，由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，， 设，则， 例题 2. 已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）求函数的单调区间； （2）若为两个不相等的实数，且满足，求证：． 典例剖析 8 解析：第三，令 ， 则， 由得，所以，， 所以，在上单调递增， 又，所以， 当时，，即， 即，又，所以， 又，，在上单调递减， 所以，即． 例题 2. 已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）求函数的单调区间； （2）若为两个不相等的实数，且满足，求证：． 典例剖析 9 核心思想 极值点偏移的含义： 1．函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点．如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移． 方法讲解 核心思想 极值点偏移的含义： 2．若相等变为不等，则为极值点偏移： 若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同． 故单峰函数定义域内任意不同的实数，满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏． 方法讲解 核心思想 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 方法讲解 核心思想 处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论． 方法讲解 练习 1. 已知函数(且)． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点、()，且，证明：． 点拨:（1）函数，求导得到，然后分和两种情况讨论求解. （2）由（1）知，时，，根据函数有两个零点，则，解得， 由，则，，再由及，可得，即，然后将证，转化为证，由在上单调递减，且，进而转化为证明即可. 典例剖析 14 解析：（1）的定义域为，， 当时，恒成立，则在上单调递减， 当时，令， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增； 练习 1. 已知函数(且)． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点、()，且，证明：． 典例剖析 15 解析：（2）由（1）知，，，依题意可知，解得， 由得：()， 设，， 由及，得，即， 欲证，只要，注意到在上单调递减，且， 只要证明即可， 练习 1. 已知函数(且)． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点、()，且，证明：． 典例剖析 16 解析：由，得， ∴， ， ，， 令，， 则，则在上是递增的， 于是，即， 综上． 练习 1. 已知函数(且)． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点、()，且，证明：． 典例剖析 17 点拨:（1）构造函数，分析可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，验证能否在上恒成立，即可得解； （2）分析可知、是函数的两个零点，可得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，再构造函数，其中，利用导数分析函数在的单调性，通过比较与的大小关系，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 练习 2. 已知函数（其中为常数）． (1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围； (2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：． 典例剖析 18 解析：（1）解：当且时，，即成立， 令，则， ，则. ①当，，在上是增函数， 即当时，，满足题意； ②当时，令，解得，， 当时，，函数在上是减函数，此时，不合乎题意. 综上所述，. 练习 2. 已知函数（其中为常数）． (1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围； (2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：． 典例剖析 19 解析：（2）证明：因为，其中且， 则， 对于函数，有， 因为，当时，，函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为函数有个极值点、、，且， 所以，，解得， 练习 2. 已知函数（其中为常数）． (1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围； (2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：． 典例剖析 20 解析：当时，，，所以，， 当时，，，则，函数单调递减， 当时，，，则，函数单调递增， 当时，，，则，函数单调递减， 当时，，，则，函数单调递减， 当时，，，则，函数单调递增， 所以，函数的单调递增区间有：、，单调递减区间有：、、，故， 练习 2. 已知函数（其中为常数）． (1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围； (2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：． 典例剖析 21 解析：当时，、是函数的两个零点， 即有，消去有， 令，其中，则，令可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，且，且， 练习 2. 已知函数（其中为常数）． (1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围； (2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：． 典例剖析 22 解析：构造函数，其中， 则 ，所以，函数在上单调递减， 因为，则，即， 即，因为，则， 函数在上单调递增，故，即. 练习 2. 已知函数（其中为常数）． (1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围； (2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：． 典例剖析 23 专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移（一） （2）减法型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：. 先求出导函数，设，进而通过的符号得出的单调区间； 通过特值法和放缩法判断出零点的位置，进而得到的符号，从而得出原函数的单调区间和极值点 通过放缩法证明问题 典例剖析 25 解析：（1） ，， 时，，时，， 则函数在单调递减，在单调递增. （2） ，令， ∵，则在R上单调递增， ∴时，，单调递减， 时，，单调递增， ∴在处取得极小值，且. 例题 1. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：. 典例剖析 26 解析：第二，令，， 则时，，单调递增， ∴，∴时，，则， 于是时，. ∴， ∴时，，于是（唯一），使得. ∴时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增. 则函数在处取得极小值，在处取得极大值. 例题 1. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：. 典例剖析 27 解析：第三，又∵，∴，∴，∴. 例题 1. 已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：. 典例剖析 28 例题 2. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若方程有两个不同实根、证明：． 利用导数分析函数在上的单调性，可得知方程两根分别在与内 证明出恒成立，可得出 利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立 证明出恒成立，可得出 典例剖析 29 解析：（1）因为，故，所以，，， 因此，函数在处的切线方程为； （2）第一，由（1）得，设， 则在上恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以有唯一实根． 当时，，递减；当时，，递增， 故方程两根分别在与内， 例题 2. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若方程有两个不同实根、证明：． 典例剖析 30 解析：第二，不妨设、且， 设，，则， 且，， 当时，， 所以函数在上递增， 当时，，递减；当时，，递增， 所以，有最小值，即恒成立， ，． 例题 2. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若方程有两个不同实根、证明：． 典例剖析 31 解析：，则，又因为， 所以，函数在处的切线方程为， 构造函数，则， 当时，，递减；当时，，递增. 所以，，所以恒成立， ，即， 第三，于是． 例题 2. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若方程有两个不同实根、证明：． 典例剖析 32 核心思想 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 方法讲解 练习 1. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若方程有两个实根，且，证明；时，.(注∶e为自然对数的底数) 点拨:（1）根据导数的几何意义，求出点处的切线斜率，又，根据点斜式即可得解； （2）由点处的切线方程，求的近似值，由在处的切线，求出的近似值，由此证明. 典例剖析 34 解析：（1）由，所以，又， 所以在点)处的切线方程为； （2）由（1）知在点)处的切线方程 设， 令， 则， 设，， 所以在上单减，在上单增， 练习 1. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若方程有两个实根，且，证明；时，.(注∶e为自然对数的底数) 典例剖析 35 解析：， 时，，， ∴所以在上单减，在上单增， ∴， ∴，当且仅当时取等号， 令，则的根为，又， 所以，因为在上单减，所以， 而在处的切线方程为 设， 令， 则， 练习 1. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若方程有两个实根，且，证明；时，.(注∶e为自然对数的底数) 典例剖析 36 解析：设，， 故 在上单减，在上单增， 又，当时，， 故， 所以，当且仅当时取等号， ∵的根， ， 又在上单增，所以， 故，又， ∴. 练习 1. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若方程有两个实根，且，证明；时，.(注∶e为自然对数的底数) 典例剖析 37 点拨:（1）将条件转化，构造函数，通过导数证明，当时，即可； （2）先求得，先判断的增减性，设导数为零的点为，可证在内单调递增，在内单调递减，再结合（1）的性质可得，即，将代换可得，再结合（1）的性质放缩，即可求证 练习 2. 设函数，，其中. (1)若，证明：当时，； (2)设，且，其中是自然对数的底数. ①证明恰有两个零点； ②设为的极值点，为的零点，且，证明：. 典例剖析 38 解析：（1）令 ，当时，，所以在上递减， 又在上连续， 所以当时，，即当时， （2）证明：①，得 令，由， 可知在内单调递减，又，且 . 练习 2. 设函数，，其中. (1)若，证明：当时，； (2)设，且，其中是自然对数的底数. ①证明恰有两个零点； ②设为的极值点，为的零点，且，证明：. 典例剖析 39 解析：故在有唯一解，从而在内有唯一解， 不妨设为，则 当时，，所以在内单调递增； 当时，，所以在内单调递减， 因此是的唯一极值点. 由(1)知.从而 练习 2. 设函数，，其中. (1)若，证明：当时，； (2)设，且，其中是自然对数的底数. ①证明恰有两个零点； ②设如为的极值点，为的零点，且，证明：. 典例剖析 40 解析：又因为，所以在内有唯一零点. 又在内有唯一零点，从而在内恰有两个零点. ②由题意，，即， 从而，即. 因为当时，，又，故 两边取对数，得，于是 整理得. 练习 2. 设函数，，其中. (1)若，证明：当时，； (2)设，且，其中是自然对数的底数. ①证明恰有两个零点； ②设如为的极值点，为的零点，且，证明：. 典例剖析 41 $