广西南宁市第三中学五象校区2026届高三5月教学质量调研数学试卷

2026年5月高中毕业班教学质量调研 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1、己知集合A={-1,13,5},B={xx-4<2,则AnB= A.{-1, B.{1,3,5} C.{1,3} D.3,5} 2 2.已知复数z满足z中，则2的虚部为 A.1 B.-1 C.i D.-i 3.样本数据1,3,4,5,8,10,12,15的下四分位数为 A.3 B.11 C.10 D.3.5 4为了得到函数y=si如2x-石的图象，可以将函数y=sm2x的图象 A.向右平移爱个单位 B.向右平移工个单位 12 C.向左平移亚个单位 6 D、向左平移受个单位 5.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形，图中四边形ABCD 的对角线相交于点O,已知AB=BC=CD=1,AC=√2，AD=√5，则AC.BD= A.1 B.-1 C.0 D.√2 6.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B两点，AB=8, 点D(3,%)在C上，则DF= A.7· B.6 C.5 D.4 ?已知△MBC中，BC=2,O为△MBC的外心，∠BOC红，则△MBC周长的最大值为 A.4 B.6 C.16 D.18 8.设a=3,b=3log3π，c=元log.3,则a,b,c的大小关系为 A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.设等比数列(an}的公比为9g>),前n项和为Sn,若a,a4=32,42+a3=12，则下列说法正确的是 h.9=2 B,数列{Sn+2是等比数列 C.41=1 D.S=2an-2 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学试卷第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 10.已知定义域为R的函数f(x),对任意实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且 )=一1，则以下结论一定正确的有 A.f(0)=1 B.f(x)的图象关于点(0,1)中心对称 C,f(x)是偶函数 D.f(1)+f(2)+.+f(2026)=0 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，已知E,F分别为线段B,C,DC,的中点，点P在四边 形BB,DD内运动，则 A.EF⊥AC B.当点P在BD,上运动时，三棱锥D-PEF的体积为 3 C.√2 EPV6 D.△PEF周长的最小值为√3+√5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知aeosa= 3W10 , 则tana=s 10 l3.己知直线l:y=ax与曲线y=lnx和y=e+b都相切，则ab= 14.已知F,F2为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，P为它们的一个公共点，且|PO日F,O,O为坐 21 标原点，6,2分别为椭圆和双曲线的离心率，则二+一的最大值为 e ex 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)己知数列{a}的前n项和为Sn,a1=l,S4=n2，数列他}满足 b=1,bn+1=2b,+1: (1)求数列{an},{bn}的通项公式： 山，为偶数，求数列c,}的前20项和了0，（注：结果可保留指数形式）. an,n为奇数 (2)若数列{cn}满足cn= 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学试卷第2页共4页 C扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 16.(本小题满分15分)得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经 不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.新华中学为激 发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动：活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第 二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格，已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮 的版率均为 ,在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次 2,2,1,假设他们之间通 332 过与否相互独立， (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率： (2)设这3人中通过第二轮的人数为5，求5的分布列及期望. 17.(本小题满分15分)如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，下底面ABCD为平行四边形， D=马∠BAD=60,P,2分别是上、下底面所在平面内两点 且点P是以B,为圆心的圆弧AN上的动点（含端点)，点是半圆弧BDC上的动点（不含端点）. (1)若点P在AD,上，证明：PB∥平面DDN; (2)设三棱锥P-BCQ的外接球的半径为R,求R的取值范围. 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学试卷第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 18.(本小题满分17分)已知椭圆C:之メ +京=(a>b>0的焦距为26，点P(W6,V月)在椭圆C上 (1)求椭圆C的方程： (2)点2(m,n)是椭圆C上一点，过点O(0,0)作圆2：(x-m)2+y-n)2=4的两条切线分别交椭 圆C于M,N两点，若直线OM,ON的斜率都存在，且分别记为koM,kow, ①求kow·koN的值： ②试问：△OMN的面积是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由. 19.(本小题满分17分)已知函数g(x)=x-sinx. (1)求g(x)在区间[0，+o)上的值域： 2 (2)证明： sin z1（”∈W), (3)已知f(x)=nx cOSx+2x,若存在x∈[0，+oo),使得f(x)+g(x)<x,求m的取值范圈. 2026年5月高中毕业班救学质量调研数学试卷第4页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP2026年5月高中毕业班教学质量调研 数学参考答案 1.D【详解】x-4<2台-2<x-4<2,解得：2<x<6,所以B={x2<x<6,A={-1,1,3,5},所 以A∩B=3,5}.故选：D 2(1-i) 2.B【详解】1+1+0= 5=1-i,所以z的虚部为-1.故选：B 3.D【详解】因为i=8×25%=2,所以样本数据13,458,10,12,15的下四分位数为3+4 =3.5.故选：D 4.B【详解】将y=sm2x的图象向右平移号个单位可得y=sm2-引=m2x-君 的图象故选：B 5.A【详解】因为AB=BC=L,AC=V2,所以AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC,所以△ABC为等腰直角三角 形，则∠ACB=,因为CD=LAC=V2,AD=V5,所以AC2+CD=AD,即AC1CD,则AC-CD=0, 则aC丽-Cc+而=C.C+4C-D=CB®Ccos子-x1x号1赦选：A 6.c【详解】由题意有：当x=号时，少广=2x号=p→y=p,所以号P小A号P 所以 4B=2p=8,解得p=4,又因为D(3,%),所以DF=3+P=5.故选：C 2 7.B【详解】因为0是△1BC的外心，故∠A=了△MBC中，由余弦定理，得a2=2+d2-2 becos, 所以4=+c2-bc=(b+d32-36c≥b+o)2(当且仅当6=c时，取”)即 2<b+c≤4,4<a+b+c≤6，即△ABC周长的最大值为6.故选：B 8.A【详解】令=血，=2nx-m-2-hnx,当3<x<e时，f>0,则/ x2 单调递增，所以闭>f),即血矿，》，所以3hn3 即3log3π>πlogn3,所以c<b, 元 3 ln3lnπ 令g闭-g-,当>e时，8)<0，则g单调递减，所以g()<g3创，即严<号。 π3 即3ln元<πln3,也即π3<3，所以logπ3)<log.(3),所以3<πlog.3,所以a<c,所以a<c<b, 故选：A a,a4=a2a3=32,a2=4a2=8 a2=4 9.ABD【详解】 a2+a3=12 (9÷8’或 a=4’”>1, 6=9g=总=2，放A d, 正确；a== 92 =2,C错：3，=21-2) 1-2 =21-2,Sn+2=2+1,B对： an=2×2=2”,2an-2=21-2,D对，故选：ABD 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学答案第1页共8页 10.ACD【详解】对于A,令x=1,y=0,则f()+f()=2f()f(0),又f()=-1,所以 (-1)+(-1)=2×(-1)×f(0)=-2f(0),解得：f0)=1,故A正确：对于C,令x=0,则 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),即f(y)+f(-y)=2f(y)→f(-y)=f(y),又函数f(x)的定义域为 R关于原点对称，所以f(x)是偶函数，故C正确：对于B,若f(x)的图象关于点(0，)中心对称， 则f(x)+f(-x)=2,由f(1)+f(-1)=f()+f()=(-1)+(-1)=-2,不符合题意，故B错误；对 于D,令y=1,则f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f()=-2f(x),即f(x+1)+f(x)=-[f(x)+f(x-1], 所以f(2)+f(1)=-[f()+f(0)]=-[(-1)+1]=0,f(3)+f(2)=-[f(2)+f(1)]=0, f(4)+f(3)=-[f(3)+f(2)]=0,…,f(2026)+f(2025)=-[f(2025)+f(2024)]=0,所以 f(1)+f(2)+…+f(2026)=[f()+f(2)]+…+[f(2025)+f(2026)] =[(-1)+1]++[(-I)+1]=1013×0=0,故D正确.故选：ACD 11.ABD详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,2), B(2,2,2),C(0,2,2),E1,2,1),F(0,1,2),选项A:EF=(-1,-1,1),AC=(-2,2,0), EF.AC=←1)×(-2)+（←1）×2+1×0=0，故EF⊥AC,A正确：选项B:连接BC,在△BCD中， 易知EF为中位线，则EF IBD,因为EFC平面DEF,BD丈平面DEF,所以BD∥ 平面DEF,故直线BD,到平面DEF的距离即为三棱锥D-PEF的高.DD=(O,O,2) DE=L,2,1),DF=(0,1,2),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则 0二02D0,即A=62,所以直找80到平面Dr的距离1四 DE=V0-0)2+(2-02+1-0)2=1+4+1=√6，|DF=V0-0)2+1-02+(2-0)2=√0+1+4=√5， 1EF-0-0P+2-)+0-2y=+1+1=5,所以cos∠EDF=DE+DF-EF°-6+5-3=4 2DE·DF 2×√6xV530 可得油Dr-owmF-西所以5 JDEF方6s5 √302 散rS应dX】X店存B对：选项C:设P心（满足= e02e021.Ep=低-0+-2+6-=2g-+e-+2当x=24=1时， P代有提小值为宁，阳E孔-兰反，C领误：选项D:EF店，周K最小等价于PE+F 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学答案第2页共8页 最小，作F关于平面BBDD的对称点F'L,0,2),PE+PF≥EF'FVI-1)2+(0-2)2+(2-1)2=5, 故周长最小值为√3+√5，且交点P在四边形内，D正确.故选：ABD V10 12.【详解】s血a=1-( 3W102=10 l0…tana= sin a 10 10 310 3 10 13.-子【详解】设直线1：y=ax与曲线y=nx的切点为(Gx),由y=1nx求导得y=,则切线 -1+lnx,=0 方程为y=1x-1+lr依题意，其与直线y=ac为同一条直线，故 1 -=a 解得%=80日 设直线：y=ax与曲线y=e+b的切点为（x2,e+b),由y=e*+b求导得y'=e,则切线方程为 (1-x2)e+b=0① y=ex+(1-x2)e+b,依题意，其与直线y=ar为同一条直线，故 e*=a=1 ，由②解 得5=-1，代入①，可得6=(x,1)e=-2所以b=- e2 14.V而【详解】由影意可设椭圆和双曲线的方程分别为 4y2 x2 y2 2+= a262=1, 因为二者共焦点，所以c2=a2-b2=a+b2,如图，设PF=m,PF=n, 由椭圆和双曲线的定义可知m+n=2a,m-n=2a',由此解得 m=a+a,n=a-a,由题意知PO=FO=FO=c,所以 ∠FPR=∠P0+∠OP5=(∠RP0+∠PFO)+∠EP0+∠PFO)=90,故在RIAPFF,中，由 11=2, 勾般定理可知m㎡2+r=4,代入%n的表达式可得。2+口=2c2,由离心率的定义可得+名 设x=,y=,则2+y=2,所以问题转化为求2x+y的最大值，设石=(x,).6=(21),由 ā6≤5可得2x+y≤V5×√x2+y2=5x√2=√o,当且仅当两向量同向共线时即 y==取等号，所以2+上的最大值为0. ee, 15.【详解】(1)当n≥2时，an=Sn-Sn1=n2-(n-1)=2n-1, 当n=1时，41=1=2×1-1，也满足上式，∴.an=2n-1;…3分（没有检验第1项给2分） 由bn1=2bn+1得bn+1=2(亿，+1)，∴.{bn+1}是以b+1=2为首项，2为公比的等比数列， 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学答案第3页共8页 bn+1=2×2m-=2”,.bn=2”-1;…3分(6分) 2n-1,n为奇数 (2)Cm= 2”-1,n为偶数 .T20=G1+C2+…+C20=(G+C3+…+C19)+(C2+C4+…+C20)…1分 =[(2×1-1)+(2×3-1)+…+(2×19-1]+[(22-1)+(24-1)+.+(220-1)] =[2(1+3+…+19)-(1+1+…+1]+[(22+24+…+220)-(1+1+…+1]…1分(8分) =[2×100+19-10]+40-49-101 2 …4分 1-4 41-4 +180.…1分(13分) 3 16,【详解】)记3人中通过第一轮的人数为，则)~B8)】 nrg≤-1ra-1-c- …4分 (2)记“小明、小华、小方通过第二轮”分别为事件A、B、C,…1分 则P叫小=号分月刘=1-月字P(到=号A到=1-肉 P(C)E)1-Pc) 5 ……3分(8分) 5的可能取值有0,1,2,3，.1分 由小、B、C相互独立可知P(传=0)=PABC)=,××82, ……1分 3115L1513,…1分 PG=)=P(ac+P(C)+PaBC子子S子 822832 P5-2=子子子子&子子g是 +22822832 …1分 P(5=3)=P(BC)=)Xx3-3 .……………………1分(13分) 22832 所以5的分布列是： 0 1 2 3 5 13 11 3 32 32 32 则的数学期塑是()-0立+1 +2x1 +3x3=441 …2分（15分) 3 3 32328 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学答案第4页共8页 17.【详解】(1)连接PB,PB,A,B,=B,P,∠PA1B=60°，.△PA1B,是等边三角形， .P是AD的中点，…1分 又N是BC的中点，PD∥BN,PD,=BN, .PBND是平行四边形，PB/DN,…1分 又PB￠平面D,DN,DNC平面DDN,∴.PB,∥平面DDN,…1分(3分) 又：BB IDD,且BB丈平面D,DN,DDC平面DDN, .BB∥平面DDN, …1分 又PB,∩BB1=B,∴.平面PBB,∥平面D,DN,…1分 又：PBC平面PBB,PB∥平面DDN.…1分(6分) 2)AB=AAAD=L∠BAD=60',且为直棱柱，BA,BD,BB两两垂直 以BD,BA,BB,为X,y,Z轴建系…1分 则C(V3,-1,0),C(3,-1,1), BC的中点坐标为V5】 220…1分 B D x O :可设球心0 1 ，t),…1分(9分) 22 P在以8为圆心、1为半径的圆弧上，设P(cos0,sin6,D.0∈[石，] …2分 2).Op-(cos0-sin -2,sin8+1-t0, 2 由a0-or-}f=os05co0+}m0wn0+}1-2r+i叫1分 化简得1=1+sm(0-引 ……1分（13分) 0[引故1=-1+sm0-引e引 …1分 …1分(15分) 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学答案第5页共8页 l8.【详解】(1)C=√6，… …1分 2a=V(W6+6)}2+√52+V(W6-√6}2+V52=45,.a=23…1分 b2=6,∴C =1… …2分（4分) 126 (2)原点在圆：(x-m)}+(y-n)2=4外，∴m2+n2>4,…1分 ①设过原点且与圆Q相切，斜率存在的直线为y=c, km-m=2,即（m2-4K2-2mk+m2-4=0,2分 则 Vk2+1 到别武4=三16(m2+m-4)≥0，：ov6ow=”-460-m 1.…2分(9分) m2-4m2-4 2 ②法：设M,N(,h6am=名=名kom=,=左，则：=号直线OM:y=x, 1 y=kx 1→212 1+2 …2分 126 12 12 24K2 同理 1+2k 1+22k 21+2k, …1分（12分) OM 1+2 …1分 点N到直线OM的距离为 d-lkit,-y:l_lkx-kx:! 2k …1分 V1+k2V1+k好 V1+k好 V1+k2 1k+2k V1+K2 12 24k2 V1+2k2 12k+1122k上32… 22k1+2k …3分（17分) 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学答案第6页共8页 ②法二：设M(化，片)，N(x,)，则OM=√X+，…1分 因为k=上，所以直线OM方程为x-xy=0, 所以S0w-0Md-3子+月5义-5-X明，2分(12分) VX+明 因为M,N阿点在能图上所以苔着=1，吾+名=， 126 期-k=6式月-5=6-式， 所以-66小6-+)6. …1分 又X+号=2十2三2，… …1分 所以0-=0x广-2%+(=（6)-2出+6 =6(x+x号)-(xx-2kk3(xx)2=6(x+x号)=72，… …2分 则S.m=k5-=V72=32.… …1分(17分) 19.【详解】(1)g(x)=1-cosr之0，… …2分 .g(x)在[0，十∞）上单调递增，……1分 8g(x)≥g(0)=0,当x→+∞时，g(x)→+0， .g(x)在区间[0，+0)上的值域为[0，+oo).…1分(4分) （2)证明：由(1)知，当x>0时，Sinx<x,…1分 sim22<,2。=2-1 (k+1)2(k+1)2k(k+1)kk+1 …2分 …1分（8分) (3)h(x)=f(x)+g(x)-x=mx(2+cosx)-sinx, h'(x)=2m+(m-1)cosx-mxsinx,h'(0)=3m-1 …1分 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学答案第7页共8页 1 (i)当h'(0)=3m-1≥0，m≥三时，…1分(10分) h)=mx(2+cosx)-sinx+c08x)-sinx.. …1分 令m()=号(2+cos)-sin ,0)=0m)- 22 cosx--xsinx,m'(0)=0, 33 1 。1 1 m"()=3sin-3xcos,m"(w）=3 xsinx,…l分 1 ①当x∈[0，)时，m“()=亏sn之0，m"()递增，m"()≥m'(0)=0,m()递增， .m'(x)≥m'(0)=0,∴.m(x)递增，∴.m(x)≥m(0)=0,不合题意；…2分 ②当xc[*)时，m)2+0)sin x>a2》-1-10 不合题意；…1分(15分) (i)当h'(0)=3m-1<0,m<。时，h(0)=3m-1<0,必存在，>0， 3 使得当x∈(0，x)时，h'(x)<0, 此时h(x)递减，h(x)<h(O)=0,符合题意…1分 .m的取值范围为(-0，。) …1分(17分) 2026年5月高中毕业班教学质量调研数学答案第8页共8页