临考押题卷02（内蒙古专用）2026年高考数学押题模拟卷

**基本信息** 2026年高考数学临考押题卷，通过集合韦恩图、AI科技概率统计、正方体轨迹探究等情境，覆盖函数、数列、立体几何等核心知识，考查数学抽象、空间观念与逻辑推理素养，适配高考模拟训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、数列、向量、双曲线|单选注重概念辨析（如集合阴影部分表示），多选结合统计图表（大学毕业生创业数据）提升区分度| |填空题|3题15分|二项式定理、导数几何意义、数列求和|强调运算能力（如切线垂直求参数）| |解答题|5题77分|三角函数应用、立体几何证明与距离、抛物线综合、导数单调性与证明、AI情境概率统计|突出数学建模（AI公司问题）与逻辑推理（导数证明），贴合高考命题趋势|

2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古兴安·二模）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数，使成立的x的取值集合是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，，则（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 5．（2026·内蒙古包头·二模）设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知向量，则函数的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在中，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·内蒙古兴安·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数x（千人） 3 4 5 m 自主创业人数y（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（    ） A．y与x正相关 B． C．当时，残差为 D．样本的相关系数r为负数 10．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 11．（2026·内蒙古兴安·二模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为2 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过四点的球的半径的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在的展开式中，的系数是______． 13．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 14．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知数列满足，且，则数列的前n项和为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，， (1)求； (2)在中，，，，求的面积. 16．（2026·内蒙古兴安·二模）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 17．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 18．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：. 19．（2026·内蒙古包头·一模）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 2．（2026·内蒙古兴安·二模）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，虚部为. 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数，使成立的x的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的定义域及单调性求解. 【详解】由，得， 所以，所以，即. 所以使成立的x的取值集合是. 故选：B. 4．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，，则（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合等比数列的性质，得到，即可求解. 【详解】因为等比数列的前n项积为，且，， 可得，所以， 由等比数列的性质，可得. 故选：A. 5．（2026·内蒙古包头·二模）设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可. 【详解】当时，，即，无解； 当时，，解得， 所以. 6．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知向量，则函数的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】应用平面向量的数量积公式结合余弦函数值域列式求解. 【详解】因为， 又，且， 所以，则函数的最大值为. 7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在中，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角整理可得，然后结合和差公式、基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，整理得， 由正弦定理边化角得， 若，则，不满足题意，故. 又， 所以， 整理得， 则 ， 易知，若，则，不合题意； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 8．（2026·内蒙古兴安·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率. 【详解】由题，双曲线（，）的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 所以，且即， 所以双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数x（千人） 3 4 5 m 自主创业人数y（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（    ） A．y与x正相关 B． C．当时，残差为 D．样本的相关系数r为负数 【答案】AB 【分析】根据经验回归方程的性质，结合已知条件逐一分析各选项，对相关性、相关系数、残差等进行判断． 【详解】经验回归方程为，斜率为，函数单调递增， y随着x的增大而增大，即y与x正相关，故A正确； 样本中心点必在回归线方程上， ，将代入回归方程，得，解得， ，解得，故B正确； 当时，预测值，实际值为， 残差，故C错误； 经验回归方程为，斜率为， 样本的相关系数，故D错误． 故选：AB． 10．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据图象可确定，判断A的真假；利用可验证B的真假；利用函数的平移变换结合诱导公式，可判断C的真假；利用换元法，结合函数图象可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】由题意：，， 又，所以，，故A错误； 对B：因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对C：将函数的图象向左平移个单位长度，可得： ，故C正确； 对D：，当时，. 设，，若要在上有两个不相等的实数根， 由下图可知： ，故D错误. 11．（2026·内蒙古兴安·二模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为2 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过四点的球的半径的最小值为 【答案】ABD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C错误； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2， 则，设，球心，半径为， 由，得到， 解得，，所以， 又，且，所以当时，取到最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在的展开式中，的系数是______． 【答案】 【分析】写出已知二项式展开式的通项，进而写出对应项，即可得系数. 【详解】已知二项式的展开式通项公式为，， 令，可得，则. 故答案为： 13．（2026·内蒙古包头·一模）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】-3 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导可得，则， 因为该切线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 14．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知数列满足，且，则数列的前n项和为_______． 【答案】 【分析】根据题意，求得数列是首项为，公差的等差数列，得到，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由数列满足，当时，可得，所以， 当时，可得，所以， 因为，可得，解得， 又由，当时，可得， 两式相减，可得， 整理得，即， 即，所以数列是首项为，公差的等差数列， 所以， 则， 所以数列的前n项和为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，， (1)求； (2)在中，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求解即得；    （2）由（1）知，再由得到，方法一：然后利用正弦定理求得求解；方法二：由余弦定理求得AB求解； 【详解】（1）， ，.     又  . （2），   ，又， ，， （方法一）由正弦定理得即 ， ，   或，     ，，   ， （方法二）由余弦定理可知， 解得， 所以. 16．（2026·内蒙古兴安·二模）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 17．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知点是抛物线： 的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，． (1)求抛物线的方程； (2)过作直线与抛物线交于，，求的值． 【答案】(1). (2)2. 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用点在抛物线上得到点横坐标与的关系，最后根据圆的性质求出的值即可； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，的值，最后利用斜率公式求出即可. 【详解】（1） 设圆的半径为，以为圆心、为半径的圆交轴于，，点在轴上，为原点， 所以. ，. 点坐标为，所以. 设点坐标为，则，所以， 所以， 即， 解得， 所以抛物线的方程为：. （2）由（1）知. 设直线的方程为，，. 代入抛物线方程，整理得， ，所以， 所以，. 所以的值为2. 18．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，对的范围分为，以及，结合二次求导和导函数的正负，即可求解单调性， （2）先利用导数求证时，有，进而可证明，结合正弦函数的有界性即可求证. 【详解】（1）求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， ， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. （2）由题意可得 不妨设，则 先证明当时，有，设， 则，所以在单调递减， ＝0，即当，有， 于是有 所以，故有，又，且不能同时取到等号， 故，从而. 19．（2026·内蒙古包头·一模）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可. 【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. （2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $