考前必做解答题系列1 三角函数与解三角形-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦三角函数性质与解三角形综合应用，通过分层题型构建从基础到几何综合的知识逻辑链，强化推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数性质|1|含三角恒等变换求周期及区间最值|从函数解析式到性质应用的推导| |解三角形基础|1|面积与余弦定理结合求周长|面积公式与余弦定理的关联应用| |几何综合应用|1|含辅助点的三角形边长计算|几何直观下的正弦定理应用| |多问综合与范围|1|证明、角平分线及锐角三角形范围|定理推理与分类讨论的逻辑递进|

三角函数与解三角形训练2 1.(2026-江西萍乡.一模)已知函数fx)=Mc0sox+p+k(M>0,®>0，<号)的部分图象如图所示. 3 2元 (1)求f(x的解析式： (2）)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若fA)=2,sinB=√2cosA,a=2V5,求ABC的周 长 【答案】(1)f(x)=2cos +1 3 (2)3√2+25+V6. 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、正弦定理解三角形 【分析】(1)由图象可得 -M+k=-'求出M,k,求出周期进而求出o, M+k=3 由 =3,求出p,得解 .6 (2)由f(A)=2求出A,由sinB=√2cosA求得B,再根据由正弦定理求出b,c,得解. M+k=3 【详解】(1)由图知： -M+k=-1'解得：M=2,k=1: 5-5君即7=则o=2.=22x+p到1： T 由/)=3，得o行+小1，又k则p= 3 故f(的解析式为：f(x)=2cos2x- +1 3/ 2因为4=224-引}1-2，即cw4-引又4e0,解得4-号： 所以sim8=V2os=5,则B=或3江 （舍去)： 2 4 4 bc2323 =4 在ABC中，由正弦定理知：sin B sinC sinA√3，故b=4sinB=22; 2 c=4sin C=4sin(A+B)=4sin 则a+b+c=2√5+2√2+√6+√2=3√2+25+√6， 故ABC的周长为3√2+2√5+√6 2.(25-26高三上广东·期末)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知a=6, (1)求角A的大小： (2)若D为BC的中点，且AD=35,求ABC的面积. 【答案】a吗 (2)95 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)利用两角差的余弦公式展开等式，然后利用正弦定理、诱导公式及辅助角公式化简等式，即可求得 A: (2)由中点得到向量的数量关系，然后平方后整理为边的关系式，结合余弦定理求出bC,即可求得ABC的面 积. 【详解】(1)：2acos acosC+3asin C=b+c, 由正弦定理得sin AcosC+√3 sin Asin C=sinB+sinC, 又：sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, .sin A cosC+3sin Asin C=sin A cos C+cos Asin C+sin C, ..3sin Asin C cos Asin C+sin C, Ce(0,π，.sinC≠0， 3sin 4-c0s 4=1.sin=1 （62 404君（君，4夏三4 66 3 (2):D为BC的中点，AD=AB+4C, 2 2 0-}丽+c-丽+c+号西c-丽+4+cs4 :27=c2+b+c-b,108=c2+b+cb, 。1 4 4 4 在ABC中，由余弦定理可知a2=b2+c2-2 bccos A,36=b2+c2-bc, :bc=108-36=36, 2 .S.becsinx 1 2 2 2 3.(2026-山东日照.一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=l,bcosC+V3 csinB=a+2c. B A (1)求∠B的大小； (2)如图所示，D为ABC外一点，∠DCB=LB,CD=√3，AC=AD,求△ACD外接圆的半径， 【答案】(1)120 (2)5 【难度】0.64 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦函数图象的应用、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三 角形 【分析】(1)根据正弦定理边角互化，和差角公式以及辅助角公式即可求解； (2)利用三角形的内角和关系，结合正弦定理解三角形，即可求得： 【详解】(1)由bcosC+√5 csinB=a+2c和正弦定理，得sinBcosC+V3 sinCsinB=sinA+2sinC, 因B+C=180°-A,则sinA=sinB+C)=sinBcosC+cosBsinC, 代入化简得√5 sinCsinB=cosBsinC+2sinC, :sinC≠0，.V3sinB=cosB+2,即V3sinB-cosB=2, 则3 sn8-0s8=smn(8-30)）=1, 0<B<180°，B-30°=90°，解得B=120°. (2)令∠DCA=∠CDA=a,∠CAD=180°-2a, AC CD 在△ACD中，由正弦定理得， sinD sin∠CAD' 因CD=√5，则AC= √3 sina3sina √3sina 5①. sin(n-2a)sin2a 2sina cosa 2cosa 在ABC中，由正弦定理得， AC BC sinB sin∠BAC' 因∠B1C=120°-a-(180-2a)=a-60,BC=1,则AC=sin120 sina-60②， 由①②得，sina-60）=cosa,即sin(a-60）=sin90°-a), 因为0°<a<90°，则得a-60°=90°-u,解得a=75°， ∴.∠CAD=180°-2a=30°， 设△ACD外接圆的半径R, CD 由正弦定理， R=- 1 CAD+ 4.(25-26高三上山东济宁期中)已知ABC的三个内角A,B,C对应的边为a,b,C, √5a-bsinC=√5 ccosB,c=l. (1)求C; (2)求c0sB 的取值范围： cosA (3)求AB.AC的最大值. 【答案】a写 3)31 3+2 【详解】(1)√3a-bsinC=√5cosB,c=l,V3a-bsinC=V3 ccosB 由正弦定理得：√3sinA-sinBsinC=V3 sinCcosB 3sin(B+C)-sinBsinC=3sinCcosB 3sinBcosC+3cosBsinC-sinBsinC=3sinCcosB, √3 sinBcosC=sinBsinC ~B为三角形内角：sinB≠0，.√3cosC=sinC,tanC=√3， :Ce0,,C=3 (2)C= 3'A+B=2 ， cos cosB 2c0s4+ 3 sind -tand' cosA cosA cosA 22 2π tae)(0.+), oe,2(* cos A (3)AB.IC=bccos4=b.b-ab-a+1 2b 2 下面求b-a的最大值： a b=c_= 由正弦定理：4 sing sinc3，a=5n4,b=2 2 sine 6--mg-sm小-m（Gx-4小m4小29n24+） 4o5）2+得m2a+- 6?-4最大值为25，BC最大值为5+ 3 3+2 三角函数与解三角形训练题1 1．（2026·浙江·一模）已知函数. (1)求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的长. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由，利用二倍角公式和辅助角公式化简，计算即可. （2）由，得，利用三角形面积公式，得：，利用余弦定理，计算即可. 【详解】（1） ， ，即， 最小正周期为，     当时，， 当时，即时取得最小值， . （2），， ，即， ，解得：， 又，故， ， ， ， ， 由余弦定理得： , 故. 2.（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为． （1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABCacsinB， ∴3csinBsinA＝2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC； （2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBcosC，∴cosBcosC﹣sinBsinC，∴cos（B+C）， ∴cosA，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2， ∴sinBsinC•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9， ∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c ∴周长a+b+c＝3． 3．（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求b. (2)若D点满足，，求a. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，由得，结合正弦定理即可求解； （2）设，则，设，则，由正弦定理化简可得，结合二倍角公式解得，求出，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 即，即， 由得，， 即，进而由正弦定理得； （2）因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 4．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数与解三角形训练2 1.(2026-江西萍乡一模)已知函数f()=Mcos(or+p)+k(M>0,o>0,←受)的部分图象如图所示. a求f四)的解析式： 248C的内角4，B,C所对的边分别为0，b,,若(4)=2，smB=5cosA,a=25,求△MBC的周长. 3 2π 3 2.(25-26高三上广东期末)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知a=6, 2ac0s3-C=b+e (1)求角A的大小： 2房D为8C的中点，且4D-=35,求△MBC的面积 1 3。.(2026山东日照一模)在△1BC中，角4B,C的对边分别为2，C,若0=.beosC+.V5csin8=a+2c, 求<B的大小：2蜘图所示，D为△BC外一点，∠DCB=∠B,CD=V5,4C=D,求△4CD外接因的半径 B D 4.(25-26高三上济宁)已知△MBC的三个内角4，B,C对应的边为，b,c,VBa-sinC=V5cosB,c=l cosB (1)求C (2)求cosA的取值范围： (3)求AB.AC的最大值： 2三角函数与解三角形训练题1 1.(2026浙江一模)己知函数f(x)=2V3 sinxcosx--2cos2x+1, )求函数f八的最小正周期，以及在区间到 上的最小值： (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若f(A=2,S。c=5,b+c=5,求a的长. 2.(2017·新课标I)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知△ABC的面积为2 3sinA (1)求sinBsinC;(2)若6 cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长. 3.(2026湖北荆州一模)如图，在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=√2， acosc=c(2-cosA) (1)求b. (2)若D点满足BD=DC,∠CAD=2LDAB,求a B∠ D 4.(2026河北张家口一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足b+2 bcosA=C· (1)证明：A=2B; (2)若b=2,c=1,点D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD+1的值： (3)若AABC为锐角三角形，求的取值范围。 2