云南曲靖市宣威市第七中学2025-2026学年高二下学期第一次月测数学试卷

**基本信息** 试卷涵盖排列组合、概率统计、导数等核心知识，通过商场门进入方式、冰淇淋分店选址等情境设计，考查抽象能力与数据观念，适配高二月考综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|排列组合（第1题）、回归分析（第2题）|结合生活场景，基础与能力并重| |多选题|2|二项分布与正态分布（第10题）|多角度考查统计概念辨析| |填空题|3|二项式定理（第12题）、导数计算（第13题）|聚焦核心技能，简洁灵活| |解答题|5|线性回归与独立性检验（第18题）、概率分布（第19题）|应用题联系实际，如分店年收入分析、比赛得分概率，体现模型观念与逻辑推理|

宣威七中高二年级2026年春季学期第一次月测试卷 一、单选题 1．某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．7种 D．14种 2．营养学家对某地区居民的身高与营养摄入量的几组数据进行研究后发现两个变量存在相关关系，该营养学家按照不同的曲线拟合与之间的回归方程，并算出相关指数如下表所示： 拟合曲线 直线 指数曲线 抛物线 三次曲线 与的回归方程 相关指数 0.893 0.986 0.931 0.312 则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（    ） A． B． C． D． 3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则等于（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 5．若随机变量满足，.则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知函数在和处取得极值，且极大值为，则函数在区间上的最大值为 A．0 B． C． D． 7．甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（    ） A．30种 B．36种 C．42种 D．56种 8．盒中有a个红球，b个黑球，c个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球d个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知变量与具有线性相关关系，根据一组样本数据求得的回归直线方程为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则相关系数 C．若点都在直线上，则相关系数或 D．若越大，则越大 三、填空题 12．已知的展开式中的系数为5，则______． 13．已知函数，且满足，则实数的值为________． 14．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______. 四、解答题-问答题 15．已知函数，其导函数为，不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 16．（1）一名同学有5本不同的数学书，3本不同的物理书，2本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的架子上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法? （2）一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法? 17．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； (3)当时，恒成立，求a的取值范围. 五、解答题-应用题 18．某网红冰淇淋公司计划在市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． (个) 1 2 3 4 5 (千万元) 1 1.6 2 2.4 3 (1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； (2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋．依据的独立性检验，能否认为两个店的顾客购买率有差异? 19．为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是． (1)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率； (2)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $宣威七中高二年级2026年春季学期第一次月测试卷答案 1.D 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】由题意进入商场的不同方式共有种. 故选:D. 2.B 【分析】根据相关指数的性质,相关指数的值越大,模型的拟合效果越好,即可得出答案. 【详解】相关指数的值越大,说明模型的拟合效果越好,观察可知,指数曲线的最大,故回归方程的最好选择应是, 故选:B. 3.A 【分析】由超几何分布概率公式可得. 【详解】由题可知,服从超几何分布, 所以. 故选:A 4.D 【分析】对函数求导,再将代入导函数求出的值,最后将代入原函数求出的值. 【详解】对求导,可得. 将代入中,可得.解得. 将代入原函数中,得到. 再将代入中,可得. 故选:D. 5.D 【分析】依据随机变量的数学期望与方差的运算规则求得和的值即可解决 【详解】随机变量满足,, 则,,据此可得,. 故选:D 6.D 【分析】求得函数的导数,根据题意列出方程组,求得的值,得到函数的解析式,进而求得的值,比较即可得到函数的最大值. 【详解】由题意,函数,则函数的定义域为, 导数为, 又因为函数在和处取得极值, 则函数在区间上单调递增,在上单调递减, 所以,即,解得, 即 又由,且, 所以函数在区间上的最大值为,故选D. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用. 7.A 【分析】先计算出所有可能得选派方法,在计算出甲乙在同一足球场的情况,可求出不在同一足球场的分配方案数. 【详解】总分配方案种数为,甲､乙在同一足球场的分配方案种数为,则甲､乙不在同一个足球场的分配方案种数为, 故选:A. 8.A 【分析】由题,设事件“第一次抽出的是红球”,事件“第一次抽出的是黑球”,事件“第一次抽出的是白球”, 事件“第二次抽出的是黑球”,则两两互斥,,由全概率公式得,求值即可 【详解】设事件“第一次抽出的是红球”,事件“第一次抽出的是黑球”,事件“第一次抽出的是白球”,事件“第二次抽出的是黑球”. 由全概率公式知 由题意,,,,,,则, 故选:A 9.C 【分析】构造函数,根据给定条件确定函数的奇偶性及单调性,再逐项判断即可. 【详解】令函数,由函数是奇函数, 得,函数是偶函数, 求导得,由任意,, 得任意,,函数在上单调递增,在上单调递减, 对于A,由,得,化简得,A错误; 对于B,由,得,化简得,B错误; 对于C,由,得,化简得,C正确; 对于D,由,得,化简得,D错误. 故选:C 10.BD 【分析】先按照二项分布求出p,再根据条件求出 ,然后按照正态分布的对称性即可求解. 【详解】由于 , , , , 由于 , 与 在密度曲线上对应的面积相等, ; 故选:BD. 11.ABC 【分析】根据线性回归方程经过样本中心点,可判断A的真假;根据相关系数的意义,可判断BCD的真假. 【详解】对A:因为线性回归方程必过样本中心点,所以,故A正确; 对B:若,则变量与负相关,则相关系数,故B正确; 对C:若点都在直线上,则相关系数或,C正确; 对D:与的值无关,故D错误. 故选:ABC 12. 【分析】根据产生的两种可能分别得到其系数的等式解出. 【详解】因为的展开式中的系数为5,则,即,解得; 故答案为:. 13.1 【分析】构造函数,证明其为奇函数且单调递增,再对不等式变形为,即,则得到,再利用导数即可得到值. 【详解】令,其定义域为, 则,则为奇函数, 且, 因为和在上均单调递增,且恒成立, 则在上单调递增, 由得, 即, 则,, 令,则, 当时,,单调递减, 当时,,单调递增, 故时取最小值0,故不等式的解为. 14. 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布,所以, 因为, 所以 ∴,∴. 故答案为: 15.(1);(2)最大值:,最小值:. 【分析】(1)根据题意可得的解集为,利用韦达定理即可求解. (2)利用导数判断函数的单调性,然后求出极值与端点值即可求解. 【详解】解:(1)由的解集为, 则. (2)由(1)问可知,, ,则 x 2 大于零 等于零 小于零 单调递增 极大值 单调递减 则, 由,,则. 【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值,考查了计算求解能力,属于基础题. 16.(1);(2) 【分析】(1)采用“元素相邻捆绑法”进行排列. (2)利用分布乘法计数原理求解. 【详解】(1)结合“元素相邻捆绑法”,满足条件的排列方法有: . (2)原有的6个路灯相对顺序不变,出现7个空,所以多安装的第一个路灯有7种安法;安好第7盏路灯后,出现8个空,所以多安装的第二个路灯有8种安法;安装好8个路灯后,出现9个空,所以多安装的第3个路灯有9种安法. 根据“分步乘法计数原理”可得,不同的安装方法有种. 17.(1) (2)答案见解析. (3) 【分析】(1)根据导数几何意义求出导数即为斜率,根据点斜式写出直线方程; (2)由题意得,讨论根据判定其单调区间; (3)法一:由题意得,讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案;法二:原命题等价于在上恒成立,用参变分离法求出函数最值. 【详解】(1)当时, , , , 所以切线方程为:; (2)由题,可得 由于,的解为, ①当,即时,,则在上单调递增; ②当,即时, 在区间上,,在区间上,, 所以的单调增区间为;单调减区间为; ③当,即时, 在区间上,,在区间上,, 所以的单调增区间为;单调减区间为; (3)解法一: ①当时,因为,所以,,所以, 则在上单调递增,成立 ②当时,, 所以在上单调递增,所以成立. ③当时,在区间上,;在区间,, 所以在上单调递减,上单调递增,所以,不符合题意. 综上所述,的取值范围是. 解法二: 当时,恒成立,等价于“当时,恒成立”. 即在上恒成立. 当时,,所以. 当时, ,所以恒成立. 设,则 因为,所以,所以在区间上单调递增. 所以,所以. 综上所述,的取值范围是. 【点睛】方法点睛:已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法: (1)函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 18.(1) (2)依据的独立性检验,能认为两个店的顾客购买率有差异. 【分析】(1)利用最小二乘法求解即可. (2)根据已知条件得出列联表,再根据公式求出,再对照临界值表即可得出结论. 【详解】(1),, , , 所以,. 所以关于的回归方程为:. (2)根据题意,得列联表如下: 买 不买 合计 分店一 180 120 300 分店二 150 50 200 合计 330 170 500 则, 所以依据的独立性检验,能认为两个店的顾客购买率有差异. 19.(1) (2)分布列见解析, 【分析】(1)根据给定条件,利用互斥事件及相互独立事件、独立重复试验的概率公式列式求解. (2)求出X的可能值及各个值对应的概率,列出分布列并求出期望. 【详解】(1)选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况:进入高分组,答对2个问题; 进入低分组,答对4个问题,所以概率为:. (2)X的可能取值有0,20,40,60,80, , , , 所以分布列为: X 0 20 40 60 80 P 所以. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $