精品解析：广东江门市蓬江2026年初中毕业生学业水平质量监测（九年级数学）

2026年初中毕业生学业水平质量监测 （九年级数学） （考试时间：120分钟，满分：120分，请把答案填涂在答题卡上） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 小亮同学在机器人编程课上为机器人编写程序，如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（ ） A. 机器人向东走 B. 机器人向南走 C. 机器人向西走 D. 机器人向北走 2. （新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 3. 随着节能减排理念的不断普及，越来越多的人青睐新能源车．据统计，2025年上半年，全国新能源车累计销量达到550万辆．其中数据550万辆．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 6. 数学小组的同学为了解学生每周阅读的时间，随机调查了50名同学，绘制了如图所示的统计图，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A. 中位数是25人，众数是20人 B. 中位数和众数都是8小时 C. 中位数是13人，众数是20人 D. 中位数是6小时，众数是8小时 7. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是 A. B. C. D. 9. 课本习题：“A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？”下列四位同学列方程正确的是（ ） ①设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则： 甲列的方程为：；乙列的方程为： ②设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，则： 丙列的方程为：；丁列的方程为： A. 甲、丙 B. 甲、丁 C. 乙、丙 D. 乙、丁 10. 如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 12. ___________． 13. 一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 14. 在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是____________． 15. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则的面积为______ 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 17. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形 18. 今年春运期间，安徽高速低空无人机巡查服务平台正式启用，该平台建立在先进的可视化数字底座之上，集成了地图展示、飞行管控、作业监控、任务管理等多种功能．如图，一架高速交警无人机C在巡查时，观察汽车B的俯角α为37°，而此时观察汽车A的俯角为72°，已知A，B两车的被观测点距离地面（），无人机C的高度为（），若此路段两车之间的安全距离为不低于，请通过计算判断A，B两车的距离是否为安全距离． （参考数据：，，，，，） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）求该校九年级接受调查的人数并补全条形统计图． （2）计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数． （3）若该校九年级有500名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． （4）根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议． 20. 如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 21. 综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 （1）如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． （2）如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴． （1）求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标； （2）如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m． ①求用含m的代数式表示线段的长； ②求的最大值． 23. 【问题背景】 在矩形中，，，点为线段上一点，将沿着线段折叠得到． 【构建联系】 （1）如题1图，当点恰好在在线段上时，求线段的长． 【深入探究】 （2）如题2图，当点在矩形的外部，线段交线段于点，作的平分线交线段于点． ①求证：． ②如题3图，点为的内心，连接，若线段，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业生学业水平质量监测 （九年级数学） （考试时间：120分钟，满分：120分，请把答案填涂在答题卡上） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 小亮同学在机器人编程课上为机器人编写程序，如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（ ） A. 机器人向东走 B. 机器人向南走 C. 机器人向西走 D. 机器人向北走 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，根据正负数表示一对相反意义的量，向东走为正，则向西走为负，进行表示即可． 【详解】解：把向东走记作，那么表示的实际意义是机器人向西走； 故选：C． 2. （新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意, 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选：C． 3. 随着节能减排理念的不断普及，越来越多的人青睐新能源车．据统计，2025年上半年，全国新能源车累计销量达到550万辆．其中数据550万辆．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．将550万转换为科学记数法，需先确定数值为，然后写成形式，其中，为整数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：550万， 故选：A 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算和合并同类项，根据有理数的乘方运算法则和合并同类项的法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图所示的几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：从左边看的图形分为上下两层，共两列，左边一列上下两层各有一个小正方形，右边一列下面那层有一个小正方形，即看到的图形如下： 6. 数学小组的同学为了解学生每周阅读的时间，随机调查了50名同学，绘制了如图所示的统计图，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A. 中位数是25人，众数是20人 B. 中位数和众数都是8小时 C. 中位数是13人，众数是20人 D. 中位数是6小时，众数是8小时 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是众数和中位数的定义．解题时注意：判断一组的数据的中位数，需要将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列．众数是在一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数，据此进行解答． 【详解】解：因数据总数为50，故中位数为第25和26个数据的平均数，而条形统计图是按从小到大的顺序排列的，前3组的和为24，前4组的和为44， 故第25和26个数据落在第4组，故中位数是8（小时）； 条形统计图中出现频数最大的条形对应第四组，故众数是8（小时）； 故选B． 7. 如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．作直线，利用平行线的性质，等量代换证明即可． 【详解】解：作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8. 如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断． 【详解】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、B；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除D选项， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象应用，熟练掌握一次函数的图象特征是解答的关键． 9. 课本习题：“A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？”下列四位同学列方程正确的是（ ） ①设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则： 甲列的方程为：；乙列的方程为： ②设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，则： 丙列的方程为：；丁列的方程为： A. 甲、丙 B. 甲、丁 C. 乙、丙 D. 乙、丁 【答案】D 【解析】 【分析】分别从不同角度设未知数列出方程进行判断即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则B型机器人每小时搬运(x-30)kg化工原料, 则 故乙正确； 设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时， 则 故丁正确． 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是合理设元，找到等量关系列出方程． 10. 如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，先求出半径为，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 弦， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. ___________． 【答案】1 【解析】 【详解】解： ． 13. 一个扇形的弧长为，若这个扇形的面积为，则这个扇形的半径为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，将已知的弧长与面积代入公式，即可求解扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为，已知扇形的弧长，面积． 由扇形面积公式，可得 化简得 两边同时除以，得． 14. 在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故答案为：． 15. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则的面积为______ 【答案】6 【解析】 【分析】先代入点的坐标，求出抛物线的解析式，再令，求出抛物线与轴的交点坐标，通过计算得到的长度，结合点的坐标得到边上的高，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：把代入，得， 因此抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， 所以，两点间的距离． 又点的坐标为， 边上的高为点到轴的距离，即， ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 17. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形。 【详解】证明：如图， ， ， 是的中点，是边上的中线， ，， 在和中， ， （）， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形. 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键． 18. 今年春运期间，安徽高速低空无人机巡查服务平台正式启用，该平台建立在先进的可视化数字底座之上，集成了地图展示、飞行管控、作业监控、任务管理等多种功能．如图，一架高速交警无人机C在巡查时，观察汽车B的俯角α为37°，而此时观察汽车A的俯角为72°，已知A，B两车的被观测点距离地面（），无人机C的高度为（），若此路段两车之间的安全距离为不低于，请通过计算判断A，B两车的距离是否为安全距离． （参考数据：，，，，，） 【答案】A，B两车的距离是为安全距离，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，锐角三角函数等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 延长交于点E，在中根据三角函数求出，在中根据三角函数求出的值，即可解答 【详解】解：延长交于点E． 由题意得，，， 在中， 在中， ． 答：A，B两车的距离是为安全距离． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）求该校九年级接受调查的人数并补全条形统计图． （2）计算扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数． （3）若该校九年级有500名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． （4）根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议． 【答案】（1）50；见解析 （2） （3）270名 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）用选择“享受美食”的人数除以人数占比可求出参与调查的人数，再求出选择“听音乐”的人数，进而补全统计图即可； （2）用360度乘以选择“体育活动”的人数占比即可得到答案； （3）用500乘以样本中选择“体育活动”和“听音乐”的人数占比之和即可得到答案； （4）言之有理即可． 【小问1详解】 解：人， ∴该校九年级接受调查的人数为50人， ∴选择“听音乐”的有人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数为270名； 【小问4详解】 解：建议学校多开展体育活动和音乐欣赏课，以帮助学生缓解考前压力． 20. 如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作直径的垂直平分线，垂足为，点即为所求． （2）结合题意，通过等腰三角形的性质和外角的应用，可得，在通过，得出，即为的切线． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： 【小问2详解】 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了作图-找圆心，等腰三角形的性质，外角的应用，圆的切线性质定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 （1）如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． （2）如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 【答案】（1）见解析 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （2）过点作于点，于点，可知四边形是矩形，由题意可知，，三点在同一直线上，且，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点作交于点G， 由题意得， 又∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴米， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，于点，则四边形是矩形． 路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 米，米， 米，（米）． 四边形是轴对称图形， （米）． ，， ， ， ， 米， （米）， 答：路灯距地面高度为米． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴． （1）求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标； （2）如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m． ①求用含m的代数式表示线段的长； ②求的最大值． 【答案】（1），， （2）①，② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线解析式，将解析式转化为顶点式，可得顶点坐标，利用抛物线解析式求出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）①设，代入直线：，求得，即点G的坐标为，即可求解②证明，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为，即， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线． ∵A，B两点关于直线对称， ∴点B的坐标为． 设直线的表达式为，且， ∴，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：（2）①设， 把代入， 得， ∴点G的坐标为， ∴． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当时，有最大值， 的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，三角形相似的判定与性质，一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 23. 【问题背景】 在矩形中，，，点为线段上一点，将沿着线段折叠得到． 【构建联系】 （1）如题1图，当点恰好在在线段上时，求线段的长． 【深入探究】 （2）如题2图，当点在矩形的外部，线段交线段于点，作的平分线交线段于点． ①求证：． ②如题3图，点为的内心，连接，若线段，求线段的长． 【答案】（1）3；（2）①见解析；②6 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，根据勾股定理求出，即可求解； （2）方法一：作交的延长线于，根据平行线的性质，角平分线的定义以及等角对等边可得出，证明，根据相似三角形的性质可得出，即可得证； 方法二：作交于点，根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法得出，即可得证； （3）连接，根据勾股定理求出，结合（2）中，可求出，根据内心的定义，三角形的内角和定理等可求出，证明，然后根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解∶∵将沿着线段折叠得到 ∴ 在矩形中，，， ∴， ∴ （2）解：方法一：作交的延长线于 ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 方法二：作交于点 ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）连接 ∵，，， ∴ 由（2）得 ∴， ∴， ∵点是的内心 ∴平分，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的内心等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出对应的相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $