2.3 极值点偏移（三）课件-2026届高考数学二轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦导数专题中的极值点偏移问题，涵盖平方型、比值代换、拐点偏移等高考核心子专题，依据高考评价体系分析考点权重，归纳构造辅助函数、比值换元等常考题型，通过典型例题与变式训练实现针对性备考。 课件亮点在于“方法讲解+真题变式+素养提升”策略，如以极值点偏移证明题为例，详解构造对称函数、比值代换法，培养学生数学思维与逻辑推理素养。特设易错点分析与答题模板，助力学生掌握压轴题解题技巧，教师可据此精准开展专题突破，提升复习效率。

专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移（三） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移 平方型 典例剖析 方法讲解 变式训练 令函数 求导判断单调性证明 得 例题 1. 已知，，（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）若，函数有两个零点，，求证：. 由 ，令 利用导数判断单调性 构造 典例剖析 3 解析：（1） ∵，∴时，， ∴时，增区间为：，减区间为：； 时，，∴时，增区间为：； 时，，， ∴时，增区间为：，减区间为：； 例题 1. 已知，，（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）若，函数有两个零点，，求证：. 典例剖析 4 解析：（2）解法一： 第一，由（1）知，时，增区间为：，减区间为：； 且时，，，函数的大致图像如图所示 因为时，函数有两个零点，， 所以，即，不妨设，则； 第二，先证：，即证： 因为，所以， 又在单调递增，所以即证： 又，所以即证：， 例题 1. 已知，，（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）若，函数有两个零点，，求证：. 典例剖析 5 解析：第三，令函数，， 则 因为，所以，， 故 函数在单调递增，所以 因为，所以，，即 所以． 例题 1. 已知，，（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）若，函数有两个零点，，求证：. 典例剖析 6 解析：（2）解法二： 第一，因为时，函数有两个零点，， 则两个零点必为正实数，（） 等价于有两个正实数解； 令（） 则（）， 在单调递增，在单调递减，且 第二，令，，则 所以在单调递增， 例题 1. 已知，，（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）若，函数有两个零点，，求证：. 典例剖析 7 解析：第三，又，故， 又，所以， 又，所以，， 又在单调递增，所以 所以． 例题 1. 已知，，（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）若，函数有两个零点，，求证：. 典例剖析 8 构造同构式 结合韦达定理可得点Q的轨迹方程 利用 ， 求出离心率 例题 2. 已知函数，. （1）讨论函数的极值点； （2）若是方程的两个不同的正实根，证明：． 典例剖析 9 解析：（1），函数的定义域为， ，， ①当，即时，恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点； ②当，即时，方程有两个根，，解得，且， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以，函数的极大值点为，极小值点为． 例题 2. 已知函数，. （1）讨论函数的极值点； 典例剖析 10 解析：（2）第一，方程即方程， 设，，， ∴在上递减，在上递增，依题意知有两个零点， ∴，即，解得，且 两式相减得， 例题 2. 已知函数，. （1）讨论函数的极值点； （2）若是方程的两个不同的正实根，证明：． 典例剖析 11 解析：第二，设，∴，∴， 要证明，只需证，只需证， 只需证，只需证， 第三，记，， ∴在上递减，∴ ∴，故， 即． 例题 2. 已知函数，. （1）讨论函数的极值点； （2）若是方程的两个不同的正实根，证明：． 典例剖析 12 核心思想 多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题．根据变量间的关系消元或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法． 方法讲解 练习 1. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若（是自然对数的底数），且，，，证明：． 点拨:（1）求出，分和两种情况，分别研究的正负，即可得到函数的单调性； （2）将已知的方程两边同时取对数，得到，由进行分析，利用（1）中的结论，得到的单调性，不妨设，得到，，分和两种情况分别求解，构造函数，利用导数研究其性质，结合基本不等式以及不等式的基本性质，即可证明． 典例剖析 14 解析：（1）函数，则， 令，解得， 若，当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 练习 1. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若（是自然对数的底数），且，，，证明：． 典例剖析 15 解析：（2）证明： 因为，两边取对数，可得， 即，所以， 此时当时，存在且，，，满足； 由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，所以，， ①若，则成立； ②若，则， 记，， 则， 练习 1. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若（是自然对数的底数），且，，，证明：． 典例剖析 16 解析：所以在上单调递增， 则，即， 所以， 因为，所以， 又，在上单调递减， 所以，即， 又，， 以上两式左右分别相加，可得， 即， 综合①②可得，． 练习 1. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若（是自然对数的底数），且，，，证明：． 典例剖析 17 点拨:（1）先求导，再按的正负分类讨论，分区间确定的正负情况； （2）当时，不等式变形为二元的对数式与齐二次分式形式，故采取整体元构造函数法，令，构造新函数，求导研究单调性，证明即可. 练习 2. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，对于任意，证明：. 典例剖析 18 解析：（1）的定义域为，且， 则， 当时，，此时在上单调递增， ，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增， ，此时在上单调递减. 综上可知：当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是. 练习 2. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，对于任意，证明：. 典例剖析 19 解析：（2）由，，，由于，所以.设， 故： ， 令，则， 由于，故， 则在上单调递增，故， 即：所证不等式成立. 练习 2. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，对于任意，证明：. 典例剖析 20 专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移 比值代换 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 设函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 利用导数求解的最值 令，构建函数 分离参数 有两个极值点 典例剖析 22 解析：（1）由题意得，则． 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为． 例题 1. 设函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 典例剖析 23 解析：（2）第一，， 则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①． 第二，由，得，则②． 由①②可知原问题等价于求证，即证． 例题 1. 设函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 典例剖析 24 解析：第三，令，则，上式等价于求证． 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即． 例题 1. 设函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 典例剖析 25 例题 2. 已知函数． （Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值； （Ⅱ）若时，函数恰有两个零点，证明：． 构造新函数，利用导数给予证明 转化为证 由零点定义得 消去参数得 引入，把表示为的函数 典例剖析 26 解析：（Ⅰ）因为，，所以. （Ⅱ）第一，当时，， 由题意知：， ②─①得：，即，③ 第二，令，则，且， 又因为，由③知： 所以 例题 2. 已知函数． （Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值； （Ⅱ）若时，函数恰有两个零点，证明：． 典例剖析 27 解析：要证：， 只需证： 即证： 即： 第三，令，则 所以在上单调递增且， 所以当时，，即． 例题 2. 已知函数． （Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值； （Ⅱ）若时，函数恰有两个零点，证明：． 典例剖析 28 核心思想 利用比值换元大招解决极值点偏移问题的步骤： 利用比值换元解决极值点偏移问题，主要针对与对数型函数有关的问题，依据对数的基本运算，进而引入商．解题的关键是： ①找到两极值点的相应关系； ②通过方程组的变形达到消参减元的目的，利用分别表示变量，将所证不等式转化为关于的不等式； ③构造函数，转化为函数的最值问题，即可进一步得解． 方法讲解 练习 1. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求的取值范围． （2）记两个极值点为，且．若，证明：． 点拨: 函数有两个极值点导函数有两个变号零点构造方程分离参数构造函数求导研究单调性根据最值确定参数的取值范围；关键是引入比值消参，注意新元的取值范围不要遗漏，转化目标不等式 典例剖析 30 解析：（1）由题意知，函数的定义域为，， 函数在其定义域内有两个不同的极值点， 即方程在上有两个不同的根， 即方程（为参数）在上有两个不同的根， 即方程（为参数）在上有两个不同的根 令，，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减． 所以，又， 当时，，当时，，所以的取值范围为． 练习 1. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求的取值范围． （2）记两个极值点为，且．若，证明：． 典例剖析 31 解析：（2）要证，即证， 由（1）知是方程的两个根， 即，， 所以原式等价于． 因为，，所以即证． 由作差得， 即，所以只需证． 令，，则只需证． 练习 1. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求的取值范围． （2）记两个极值点为，且．若，证明：． 典例剖析 32 解析：记， 则， 因为，， 所以，函数在上单调递增． 所以，所以． 从而原不等式成立，即． 练习 1. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求的取值范围． （2）记两个极值点为，且．若，证明：． 典例剖析 33 点拨:（1）在上恒成立，参变分离在上恒成立，构造函数求出的最大值，从而求出的取值范围； （2）由零点得到，令，从而得到，，，构造，求导得到其单调性，从而证明出结论． 练习 2. 已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 典例剖析 34 解析：（1）的定义域为， ， 函数是减函数，故在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且， 故，解得，故的取值范围是； 练习 2. 已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 典例剖析 35 解析：（2）若有两个零点， 则， 得． ，令，则， 故， 则， ， 练习 2. 已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 典例剖析 36 解析：令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ，即， 故. 练习 2. 已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 典例剖析 37 专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移 拐点偏移问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）若正实数满足，求证：. 将化简为 令， ，，再求出 得到， 解不等式即可证明 典例剖析 39 解析：（1），切点为. ，. 切线为：，即. （2）第一， . 例题 1. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）若正实数满足，求证：. 典例剖析 40 解析：第二，令， ，， ， ，，为减函数， ，，为增函数， ，所以. 第三，即. 得：， 得到，即：. 例题 1. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）若正实数满足，求证：. 典例剖析 41 例题 2. 已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0. （1）求的值； （2）设函数，且，求证：. 由，可得 令，构造并求值域 得 ，解不等式可得 典例剖析 42 解析：（1）， 由为增函数可得，恒成立， 则由 ， 设，则， 可知 在上减，在上增，在1处取得极小值即最小值， 所以，所以， 当时，易知，当时，则， 这与矛盾，从而不能使得恒成立，所以. 例题 2. 已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0. （1）求的值； （2）设函数，且，求证：. 典例剖析 43 解析：由可得，，即， 由之前讨论可知，， 当时， 恒成立 ， 当时，，综上. 例题 2. 已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0. （1）求的值； （2）设函数，且，求证：. 典例剖析 44 解析：（2）第一，，因为， 所以，所以 ， ， 所以， 例题 2. 已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0. （1）求的值； （2）设函数，且，求证：. 典例剖析 45 解析：第二，令，，， 在上增，在上减，， 所以， 第三，整理得， 解得或（舍）， 所以得证. 例题 2. 已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0. （1）求的值； （2）设函数，且，求证：. 典例剖析 46 核心思想 1. 拐点偏移 由于函数的极值点是其一阶导函数的变号零点，拐点是其二阶导函数的零点，是一阶导数的极值点．因此，从广义上说极值点偏移以及拐点偏移都属于零点偏移，它们有着共同的处理问题的方法．从狭义角度来说，极值点偏移问题是以轴对称为背景产生的偏移问题，相应的，拐点偏移问题则是以中心对称为背景产生的偏移问题． 方法讲解 核心思想 2. 拐点左偏移 若，有，则称拐点左偏移． 3. 拐点右偏移 若，有，则称拐点右偏移． 方法讲解 点拨:（1）由，求出的值，从而得出的解析式，得出定义域并进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调减区间； （2）当时，，则，令，利用导数研究函数的单调性和最值，从而得出，进而可得，解不等式即可得出证明. 练习 1. 已知函数． (1)若，求函数的单调减区间； (2)若，正实数，满足，证明：． 典例剖析 49 解析：（1）解：因为，所以，解得：， 所以，的定义域为， ， 令，得， 所以的单调递减区间为． 练习 1. 已知函数． (1)若，求函数的单调减区间； (2)若，正实数，满足，证明：． 典例剖析 50 解析：（2）证明：当时，， 所以 ， 令，则， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以， 所以， 即， 因为，是正实数，所以． 练习 1. 已知函数． (1)若，求函数的单调减区间； (2)若，正实数，满足，证明：． 典例剖析 51 点拨:（1）求导，然后分和讨论导函数的正负值即可； （2）代入可得，变形可得，令，利用导数求出的最值，然后解不等式，比较大小即可. 练习 2. 已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，正实数，满足，证明：． 典例剖析 52 解析：（1），， ， 当时，，．在上是递增函数， 即的单调递增区间为，无递减区间． 当时，，令，得． 当时，；当时，． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 练习 2. 已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，正实数，满足，证明：． 典例剖析 53 解析：（2）当时，， 正实数，满足， ， ， 令，则函数，，， 当时，，当时，， ， ． 则，或舍去．， ， 练习 2. 已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，正实数，满足，证明：． 典例剖析 54 $