4.4 散点图及其数据拟合（教学设计）-劳保版第8版《数学 下册》《上好课》

课程名称 劳保版第8版 《数学 下册》 4.4 散点图及其数据拟合 教材分析 本节承接数据可视化知识，系统讲解散点图的定义、绘制方法、数据拟合的核心原理与实操流程。教材以2017-2021年我国私人汽车拥有量预测的实例考察为引入，从现实事物的相互联系出发，引出数据拟合的本质：通过数据研究变量间的关系，给出近似数学表达式以实现预测与控制，明确一元线性回归是最简单的数据拟合方法。随后定义散点图（点图），以两个完整例题示范数据拟合的全流程：例1为线性拟合，完整演示Excel绘制散点图、添加趋势线、选择线性回归、解读回归方程与值、预测验证的全步骤；例2为非线性拟合，对比指数、幂、多项式三种模型，通过值选择最优拟合模型并完成预测。知识巩固题拓展到旅游消费支出拟合等实际场景，贴合中职数学重实用、强操作、对接职场的教学导向。教材从学生熟悉的汽车保有量切入，让学生掌握散点图与数据拟合这一核心统计工具，完善数据处理与分析体系，同时培养学生用数据建模解决实际问题的职业素养。 学情分析 学生已掌握数据表格读取、数组运算、各类统计图绘制、一元线性回归等基础技能，具备Excel基础操作能力，在生活中对趋势预测有直观认知（如销量增长、消费变化），但缺乏对散点图与数据拟合的系统性认知，不清楚散点图的作用、数据拟合的原理与实操流程。学生在学习中，容易混淆不同拟合模型（线性/指数/幂/多项式）的适用场景，难以通过值判断拟合效果；在Excel操作中，容易出现散点图绘制错误、趋势线设置不当、公式解读失误等问题；在实际应用中，难以根据散点趋势选择合适的拟合模型，无法将实际问题转化为数据拟合任务。 教学目标 1. 知识与技能：理解散点图（点图）的定义与作用，掌握散点图的绘制方法；理解数据拟合的核心原理，明确一元线性回归是最简单的数据拟合方法；熟练掌握Excel数据拟合的全流程：绘制散点图→添加趋势线→选择模型→解读值与回归方程→预测计算；能通过值判断拟合效果，选择最优拟合模型（线性/指数/幂/多项式）；掌握线性拟合与非线性拟合的适用场景，规范完成模型建立与验证。 1. 过程与方法：通过实例感知与例题实操，培养数据建模与分析能力；通过Excel实操练习，掌握标准化的数据拟合流程，提升实践操作能力。 1. 情感态度与价值观：借助汽车保有量、车速刹车、旅游消费等生活与职场实例，感受数据拟合的实用性，激发数学学习兴趣；养成严谨、规范的数据分析习惯，强化对模型选择、验证、预测合理性的关注，提升职场数据分析的专业素养。 教学重难点 教学重点：散点图的定义与绘制；数据拟合的核心原理；Excel数据拟合的全流程；线性拟合的回归方程与解读；最优模型的选择方法。 教学难点：数据拟合本质的理解；值的意义与拟合效果判断；不同拟合模型的适用场景；非线性拟合的模型选择；实际问题的建模与预测。 教学方法 情境导入法、案例分析法、互动辨析法、练习巩固法 课前准备 多媒体课件、板书设计、课堂练习题 教学媒体 PPT课件 教学过程 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 导入 展示课本表4-15（2017-2021年我国私人汽车拥有量） 小组讨论：观察数据可知，汽车拥有量呈现增长趋势。那么如何根据现有数据，预测未来几年的私人汽车拥有量？ 分析：预测需要找到变量（年份、拥有量）之间的数学关系，如：汽车数量 = a×年份+ b。要写出这个公式，可画出散点图，看看数据的分布是否接近一条直线；如果是，则可求出 a 和 b 的值。 衔接新知：本节课将学习散点图绘制与数据拟合，找出数据背后的规律，实现后续数据的预测。 1. 观察数据，分析汽车拥有量的增长趋势； 2. 思考预测方法，理解数据拟合的实际意义。 用学生熟悉的汽车保有量实例导入，自然生成数据拟合的需求；激发学生用数据解决实际预测问题的兴趣。 新课讲授 1. 散点图与数据拟合相关概念 散点图（点图）：以圆点的大小、多少、疏密表示统计对象的数量及其变化趋势，用于直观展示变量间的关系； 数据拟合：通过数据研究变量间的关系，给出近似数学表达式，实现预测或控制，一元线性回归是最简单的拟合方法； 值：越接近1，拟合效果越好。 2. Excel数据拟合的流程 1 在Excel中输入数据，绘制散点图； 2 右键点击散点，选择添加趋势线； 3 在趋势线选项中，选择回归分析类型（线性/指数/幂/多项式等），勾选“显示公式 ”和“显示平方值”； 4 得到趋势线、回归方程与值，完成拟合与预测； 1. 记忆散点图、数据拟合的定义，理解值的意义； 2. 掌握Excel数据拟合的四步流程，明确各步骤操作要点。 强化值的核心作用，为后续例题实操铺垫，完善数据建模体系。 例题解析 例1 根据表4-15（2017-2021年私人汽车拥有量），给出模型预测2022年拥有量，并验证。 解：步骤1：Excel输入数据，绘制散点图 在Excel工作表中输入年份（2017-2021）与对应拥有量，用绘制折线图类似的方法，选择散点图类型，生成散点图； 步骤2：添加趋势线 右键点击任意散点，选择添加趋势线； 步骤3：设置趋势线选项 选择“线性”回归类型，勾选“显示公式”和“ 显示平方值”； 步骤4：得到拟合模型与预测 生成下图，得到回归方程：，（接近1，拟合效果极好）； 代入，计算得（百万辆）； 验证：官方2022年数据为277.9211百万辆，预测值与实际值较接近。 例2：根据表4-16（车速与刹车距离），建立两者关系，求车速120km/h的刹车距离。 解：步骤1：Excel输入数据，绘制散点图 输入车速（10-100km/h）与对应刹车距离，绘制散点图，观察散点呈递增的曲线趋势； 步骤2：添加多种趋势线，对比值 分别添加指数 /幂 /多项式三种趋势线，得到三个模型： 指数模型：，； 幂模型：，； 多项式模型（二次）：，； 步骤3：选择最优模型 多项式模型最接近1，拟合效果最好，选择该模型； 步骤4：预测计算 代入，计算得（米）； 强调：非线性拟合需对比多种模型，通过值选择最优，适用于散点呈曲线趋势的场景。 知识记忆 1. 核心概念 散点图：用圆点展示变量间的关系与变化趋势，是数据拟合的基础； 数据拟合：用数学模型近似变量关系，实现预测/控制，一元线性回归是最简单的方法； 值：越接近1，拟合效果越好，用于模型选择与验证。 1. Excel数据拟合四步流程 · ① 输入数据，绘制散点图； · ② 右键添加趋势线； · ③ 选择模型，勾选显示公式 显示值； · ④ 得到模型，完成预测与验证。 师生互动 1、 概念辨析：值的意义是什么？如何用它判断拟合效果？ 答：值衡量拟合效果，越接近1，拟合效果越好； 2、 概念辨析：线性拟合和非线性拟合的适用场景有什么区别？ 答：线性拟合适用于直线趋势，非线性拟合适用于曲线趋势，需多模型对比选优。 课堂练习 例1 某公司2018-2023年的产品销量如下表所示。用Excel进行线性拟合，预测2024年的销量，并计算值。 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 销量（件） 1000 1200 1400 1600 1800 2000 解：① Excel输入年份与销量，绘制散点图，散点呈直线趋势； ② 添加线性趋势线，勾选“显示公式”和“显示”值； ③ 得到回归方程：，（完全拟合）； ④ 代入，计算得（件）； ⑤ 验证：销量每年增长200件，预测符合趋势。 例2 某车型车速与刹车距离数据如下表所示。用Excel拟合最优模型，预测车速110km/h的刹车距离。 车速（km/h） 10 20 30 40 50 60 70 80 刹车距离（m） 5 10 18 28 40 55 72 92 解：① Excel输入数据，绘制散点图，散点呈曲线增长趋势； ② 分别添加指数、幂、二次多项式趋势线，对比值： 指数：； 幂：； 二次多项式：4； ③ 选择二次多项式模型（最高）y = 0.012x2 + 0.1583x + 2.2143； ④ 代入，计算得（米）； 例3 某地区2017-2023年居民旅游总花费如下表所示。用Excel线性拟合，预测2024年旅游总花费。 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 旅游总花费（万亿元） 2.27 2.63 3.03 3.42 3.94 4.57 5.13 解：① Excel输入年份与花费，绘制散点图，散点呈直线增长趋势； ② 添加线性趋势线，得到回归方程：，； ③ 代入，计算得（万亿元）； 例4 某城市2013-2023年的常住人口如下表所示。用Excel拟合最优模型，预测2025年常住人口。 年份 2013 2015 2017 2019 2021 2023 常住人口（万人） 500 580 670 780 910 1060 解：① Excel输入年份与人口，绘制散点图； ② 分别添加线性、指数、二次多项式趋势线，对比值： 线性：； 指数：，； 二次多项式：； ③ 选择二次多项式模型（最高）：y = 2.28 x2 - 9133.39 x + 9160101.12 ④ 代入，计算得1289.37（万人）； 例5 某工厂2018-2023年的单位产品成本如下表所示。用Excel线性拟合，预测2026年单位成本。 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 单位成本（元） 100 95 90 85 80 75 解：Excel输入年份与成本，绘制散点图，散点呈直线下降趋势； ② 添加线性趋势线，得到回归方程：，（完全拟合）； ③ 代入，计算得（元）； 例6 某款新应用1~7月的月活跃用户数（万人）如下表所示。用Excel拟合最优模型，预测8月的月活跃用户数。 月份 1 2 3 4 5 6 7 月活跃用户（万人） 10 14.1 20 28.3 40 56.6 80 解：① Excel输入年份与销售额，绘制散点图，散点呈非线性增长； ② 分别添加线性、幂、指数、二次多项式趋势线，对比值： 线性：； 幂：； 指数：； 二次多项式：； ③ 选择指数拟合（最高）：； ④ 代入，计算得113.2（万人）； 课堂小结 1. 核心概念 散点图：用圆点展示变量间的关系与变化趋势，是数据拟合的基础； 数据拟合：用数学模型近似变量关系，实现预测/控制，一元线性回归是最简单的方法； 值：衡量拟合效果，越接近1，拟合效果越好，用于模型选择与验证。 2. Excel数据拟合四步流程 (1) 输入数据，绘制散点图：正确选择横纵轴数据，生成散点图； (2) 添加趋势线：右键点击散点，选择添加趋势线； (3) 设置模型与选项：选择拟合模型（线性/指数/幂/多项式），勾选“显示公式”和“ 显示平方值”； (4) 模型验证与预测：通过选择最优模型，代入自变量计算预测值，验证合理性。 课后作业 ①课本P145 知识巩固 第1题 ②见《同步练习》 板书设计 4.4 散点图及其数据拟合 1. 核心概念 散点图：展示变量关系，拟合基础 数据拟合：建模预测，一元线性回归是基础 ：越接近1，拟合越好 1. Excel四步流程 · ① 绘散点图→② 加趋势线→③ 选模型、勾选项→④ 验证、预测 1. 模型选择 · 线性（直线）、非线性（曲线，选优） 教学反思 本节课通过实例感知、例题精讲，有效帮助学生掌握散点图与数据拟合的全流程，但部分学生在Excel操作、模型选择、解读上仍易出错，后续需增加更多Excel实操练习。 2017-2021年我国的私人汽车拥有量 私人汽车拥有量 2017 2018 2019 2020 2021 185.1511 205.7493 225.0899 242.9119 261.5202 年份 拥有量（百万辆） 刹车距离 10 15 30 40 50 60 70 80 90 100 4 7 12 18 25 34 43 54 66 80 车速（km/h） 刹车距离（m） 刹车距离 10 15 30 40 50 60 70 80 90 100 4 7 12 18 25 34 43 54 66 80 车速（km/h） 刹车距离（m） 刹车距离 10 15 30 40 50 60 70 80 90 100 4 7 12 18 25 34 43 54 66 80 车速（km/h） 刹车距离（m） 刹车距离 10 15 30 40 50 60 70 80 90 100 4 7 12 18 25 34 43 54 66 80 车速（km/h） 刹车距离（m） 销量 销量（件） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 1000 1200 1400 1600 1800 2000 年份 销量（件） 销量 销量（件） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 1000 1200 1400 1600 1800 2000 年份 销量（件） 刹车距离 刹车距离（m） 10 20 30 40 50 60 70 80 5 10 18 28 40 55 72 92 车速(km/h) 刹车距离(m) 刹车距离 刹车距离（m） y = 0.012024 x2 + 0.158333 x + 2.214286 R2 = 0.999964 10 20 30 40 50 60 70 80 5 10 18 28 40 55 72 92 车速(km/h) 刹车距离(m) 旅游总花费 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2.27 2.63 3.03 3.42 3.94 4.57 5.13 年份 花费（万亿元） 旅游总花费 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2.27 2.63 3.03 3.42 3.94 4.57 5.13 年份 花费（万亿元） 常住人口（万） 2013 2015 2017 2019 2021 2023 500 580 670 780 910 1060 年份 常住人口（万人） 常住人口（万） y = 2.2768 x2 - 9,133.3929 x + 9,160,101.1161 R2 = 0.999919 2013 2015 2017 2019 2021 2023 500 580 670 780 910 1060 年份 常住人口（万人） 单位成本 2018 2019 2020 2021 2022 2023 100 95 90 85 80 75 年份 单位成本（元） 单位成本 2018 2019 2020 2021 2022 2023 100 95 90 85 80 75 年份 单位成本（元） 月活跃用户（万人） 1 2 3 4 5 6 7 10 14.1 20 28.3 40 56.6 80 月份 月活跃用户数 月活跃用户（万人） 1 2 3 4 5 6 7 10 14.1 20 28.3 40 56.6 80 月份 月活跃用户数 2017-2021年我国的私人汽车拥有量 私人汽车拥有量 2017 2018 2019 2020 2021 185.1511 205.7493 225.0899 242.9119 261.5202 年份 拥有量（百万辆） 2017-2021年我国的私人汽车拥有量 私人汽车拥有量 2017 2018 2019 2020 2021 185.1511 205.7493 225.0899 242.9119 261.5202 年份 拥有量（百万辆） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $