压轴06 利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题（压轴题专练）（江苏专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴06利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 第二部分压轴题型精讲 典例靶向突破 题a,5AA2E-RE,55+eL5R 2m 3qBo 题2.a；（2-5+k.m-小5-：gg 2m 题a兴ea）间爱受+d 5k 5k 25dk? 第三部分压轴强化训练 1.(1)7 9R i (2)m% 9R: BoB=25k+36-5,5-sk≤1 3k+3k 2.(1)s=m (2)L= mvo k2+qB2 3)K=9B k 3.)8 9 (2)0.2m 3)h=(17-4m 4.2mg,与y轴负方向成45角指向第三象限 gB / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 器 3)2m 92B2 5.(1)29Bd m (2129Bd m 3)2V2d, Ad(dB-k) m 6.(1)ym=10m/s (2）S=1.08m (3)D≥0.9m (4)D'≥0.3m 7.)3m % d 2gd (x (3)d k 4dk2 8.(1)0.8s (2)5√10m/s (3)(4+2√2)m/s 9.(1)B=m 2gd ax 31=m业+d-m3g k 4dk2 10.(1v=9B4,(2)n=50%;(3)1=3额m,1=9B4 m 2gB, k 压轴06 利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 命题预测 1. 从“常量分析”向“变量累积”跨越。江苏卷近年对数学工具的应用要求显著提高。预测未来叠加场压轴题中，将出现洛伦兹力随速度方向实时变化的情境，要求学生利用微元法将曲线运动拆解，通过分量式（如fx = qvyB）建立动量变化量与位移变化量的联系，实现对复杂非匀变速运动的定量求解。 2. 强化“力学思维”在电磁背景下的深度迁移。预测叠加场命题将结合“电磁阻尼”或“粘性流体中的带电粒子运动”，利用微元法处理阻力或安培力做功，考查学生在变力环境下寻找守恒量或建立递推关系的能力。 3. 情境化载体聚焦“微观精密操控”。结合江苏卷对科技情境的偏好，预测将以“电磁流量计的微观修正”、“等离子体在非匀强场中的漂移”或“高能粒子束的聚焦”为背景，考查洛伦兹力分量式在三维空间运动分析中的应用，体现对核心素养中“科学论证”的高阶要求。 高频考法 1. 利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 知识·技法·思维 考向01 利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 如图，建立直角坐标系。假设有一个带电粒子，其质量为m，电量为+q，在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，重力不计。 如果已知某一分运动方向上的位移，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度的变化量。 粒子受到的洛伦兹力大小为： 根据牛顿第二定律： 根据动量定理： 代入分洛伦兹力得： 累加求和可得： 典例·靶向·突破 题型01利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 例题1. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，下边界是以为圆心、半径为2R的圆弧，上边界是以为圆心、半径为R的半圆弧，磁感应强度大小为。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从y轴上的M点沿x轴负方向正对圆心发射，沿半径的圆弧运动并恰能通过圆心，进入电场后从 y轴上的点进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求粒子射入第Ⅱ象限时的速度大小 (2)求匀强电场的场强E及粒子在第Ⅱ、Ⅲ象限中运动的总时间 (3)若第Ⅰ象限中有方向垂直纸面向里的磁场图中未画出，磁场的磁感应强度大小为正的常量，y为纵坐标，即在x方向均匀分布，在y方向随y均匀增大，求粒子在第Ⅰ象限中运动至第一次离x轴最远时的轨迹与x轴围成的面积S。 题型解码 当力和速度大小有关，特别是成正比的时候，用动量定理一般可以快速求解。不必关心轨迹形状、规避了复杂的几何作图，只需分析粒子运动的初、未状态就能解决，极大地降低了解题的难度。 (1)在匀强磁场中，如果已知条件包含“距离”、“速度变化”等信息，在两个相互垂直的方向上，运用该法比用几何方法更快捷; (2)在难以精确描绘粒子的运动轨迹时、优先使用洛伦兹力分量式与微元法! 例题2. （2026·江苏南通·一模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与y轴夹角的最大值为45°，且各个方向速度大小随变化的关系为，式中为未知定值，且的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求关系式中的值； （2）求离子通过界面时y坐标的最大值和最小值； （3）为回收离子，在界面右侧加一宽度为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域，求电场强度的最小值E。 例题3. （2026·山东济宁·二模）如图所示，三维直角坐标系中的z轴垂直纸面向外。在平面右侧、平面上方空间内存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小；在平面左侧空间内存在沿轴负方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小，磁感应强度大小未知。质量为、电荷量为的粒子在平面内从坐标原点发射，初速度大小为、方向与轴负方向成。经过一段时间后，粒子从点（图中未标出）垂直平面进入右侧空间，粒子在平面右侧空间受到与速度方向相反、大小与速率成正比的阻力（为已知常量），且粒子恰好从点（图中未标出）垂直平面射出磁场。不计粒子重力，，。求： (1)粒子在平面左侧空间内运动的时间； (2)点的坐标； (3)点到轴的距离； (4)粒子从点运动到点的轨迹长度。 1．（2026·山东·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限以原点O为圆心、半径为R的四分之一圆内和第四象限均有垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限磁场的磁感应强度是第四象限的倍，M点为第二象限磁场边界的一个端点。在四分之一圆的左侧有长为R、与x轴垂直的线性粒子源，粒子源的下端在x轴上，粒子源上各点持续沿x正向发射质量为m，电荷量为q的带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为，线性粒子源中点发射的粒子在M点离开第二象限。所有粒子第一次经过x轴的位置连线的长度为，不计粒子的重力。求： (1)第二象限内磁场的磁感应强度大小； (2)第一、四象限内匀强电场的电场强度大小； (3)所有粒子第一次经过x轴的位置最右端记为N，研究第一次通过N点进入第四象限的粒子在第四象限的运动，其最大速度记为（未知），速度大小为时运动方向与x轴正方向的夹角记为，写出与k的函数关系式，并写出k的取值范围。 2．（2026·云南·模拟预测）威尔逊云室是最早的带电粒子径迹探测器，威尔逊也因此获得了1927年的诺贝尔奖。图甲为威尔逊云室的结构图，图乙为用云室拍摄的带电粒子轨迹图，在云室中粒子除受磁场作用外还会受到周围分子的阻力作用，其轨迹常常呈现为螺旋线。某同学为研究这种螺旋线的轨迹特点，在xOy平面内施加垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，由坐标原点沿x轴正方向发射质量为m、电荷量为q、初速度大小为的带正电粒子，如图丙所示，粒子在运动过程中除受到洛伦兹力外，还受到一个始终与速度方向相反、大小与速率成正比的阻力，比例系数为k，不计粒子受到的重力，求： (1)粒子运动的总路程s； (2)粒子停止运动时与坐标原点的距离L； (3)粒子停止运动时与坐标原点连线的斜率K。 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）机场智能物流系统的一部分模型如图，固定在地面上的倾斜传送带上表面平直部分长，与水平面夹角为，传送带轮的半径，以速度顺时针转动。质量的一小滑块（可视为质点），与传送带间动摩擦因数为，以沿传送带向上的初速度，由其底端点开始上滑并从其上端某处抛出，之后从右下方半径的固定光滑弧形轨道的点切入下滑（连线与水平方向夹角为30°），在即将离开点（竖直，角未知）时，瞬间被带上的正电荷量，沿光滑水平直轨道运动后滑上静止于轨道上可自由滑动的弧形滑槽，滑槽的弧面光滑、绝缘、足够高且最低点切线水平。点右侧的区域存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，不计空气阻力，最大静摩擦等于滑动摩擦力，重力加速度取。求： (1)小滑块在传送带上表面段的运动时间； (2)通过计算说明小滑块能否在点与传送带分离，若能则求出脱离点与点之间的距离； (3)小滑块在弧形滑槽上能够上滑的最大高度。（计算结果可用根式表示） 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，有沿轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。从点发射一比荷为的带正电微粒，该微粒恰能在坐标平面内做直线运动。已知轴正方向竖直向上，重力加速度为。 (1)求微粒从点发射时的速度大小和方向； (2)若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从点射出后，求微粒在第三象限运动过程中距轴的最远距离； (3)若仅撤去电场，微粒改为从点由静止释放，求微粒运动过程中的最大动能。 5．（2026·山西大同·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有沿轴负方向的匀强电场，第三、四象限内有垂直于坐标平面向里磁感应强度为的匀强磁场。现在一质量为、电荷量为的带正电的粒子从轴上的点，以某一初速度（未知）沿轴负方向射入第二象限，粒子经电场偏转后从轴上的点进入第三象限，之后经磁场偏转从轴上点（未画出）垂直轴射入第四象限，已知、两点的坐标分别为，，不计粒子的重力。 (1)求粒子初速度的大小； (2)求匀强电场的电场强度大小； (3)粒子射入第四象限的磁场后，还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力（比例系数为），且只在该象限内运动。已知粒子在该象限内的轨迹恰好与轴相切于点（未画出），且点处粒子速度不为零，求：、两点间的距离以及粒子从点运动至点过程克服阻力所做的功。 6．（2025·浙江湖州·模拟预测）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求： (1)光电子到达极板A的最大速度； (2)极板A上有光电子打中的区域面积； (3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件； (4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件。 7．（2025·浙江杭州·模拟预测）为了探测粒子的轨迹，云室中常用电场和磁场来控制粒子的运动，如图所示，直角坐标系平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度从点垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 (1)求电场强度E的大小和磁感应强度B的大小； (2)若粒子在磁场中受到与速度方向相反、大小与速度成正比的阻力（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； (3)在第（2）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 8．（2025·安徽黄山·一模）如图所示，质量为m，下端封闭、上端开口且内壁光滑的绝缘玻璃管竖直放置，管底有一带正电的小球，电量为q，质量也为m。空间存在足够大且垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度。在斜向上的外力作用下，玻璃管在磁场中由静止开始做水平向右的匀加速直线运动，加速度大小为，最终小球从上端开口飞出。设运动过程中小球的电荷量始终保持不变，重力加速度g取10 m/s2。则： (1)求小球在玻璃管内脱离底部之前的运动时间； (2)已知小球飞出玻璃管前的运动时间t = 2 s，求小球运动到玻璃管最高点时的加速度大小； (3)如果小球在玻璃管内脱离底部之后外力保持不变，求玻璃管的最大速度大小（此时小球未飞出玻璃管）。 9．（2026·河北保定·模拟预测）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f=kv（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； (3)在第（2）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 10．（2024·江苏南通·二模）如图所示，坐标系xOy平面在纸面内，在的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，的区域Ⅰ和的区域Ⅱ的磁感应强度大小分别为和。大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从原点O在坐标平面内向与x正方向成角射入，粒子的速度大小相等，方向随角度均匀分布。沿y轴正方向射入的粒子在点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 （1）求粒子从原点O射入磁场时的速度大小v； （2）若在两磁场分界处有一垂直于xOy平面的足够大竖直挡板，求打到挡板上的粒子数占总粒子数的百分比； （3）若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k，观察发现沿y轴正方向射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并恰好运动到与两磁场的边界相切于Q点停下（未画出），求该粒子由P点运动到Q点的时间t及该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度l。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴06 利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 命题预测 1. 从“常量分析”向“变量累积”跨越。江苏卷近年对数学工具的应用要求显著提高。预测未来叠加场压轴题中，将出现洛伦兹力随速度方向实时变化的情境，要求学生利用微元法将曲线运动拆解，通过分量式（如fx = qvyB）建立动量变化量与位移变化量的联系，实现对复杂非匀变速运动的定量求解。 2. 强化“力学思维”在电磁背景下的深度迁移。预测叠加场命题将结合“电磁阻尼”或“粘性流体中的带电粒子运动”，利用微元法处理阻力或安培力做功，考查学生在变力环境下寻找守恒量或建立递推关系的能力。 3. 情境化载体聚焦“微观精密操控”。结合江苏卷对科技情境的偏好，预测将以“电磁流量计的微观修正”、“等离子体在非匀强场中的漂移”或“高能粒子束的聚焦”为背景，考查洛伦兹力分量式在三维空间运动分析中的应用，体现对核心素养中“科学论证”的高阶要求。 高频考法 1. 利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 知识·技法·思维 考向01 利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 如图，建立直角坐标系。假设有一个带电粒子，其质量为m，电量为+q，在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，重力不计。 如果已知某一分运动方向上的位移，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度的变化量。 粒子受到的洛伦兹力大小为： 根据牛顿第二定律： 根据动量定理： 代入分洛伦兹力得： 累加求和可得： 典例·靶向·突破 题型01利用洛伦兹力分量式与微元法解叠加场问题 例题1. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，下边界是以为圆心、半径为2R的圆弧，上边界是以为圆心、半径为R的半圆弧，磁感应强度大小为。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从y轴上的M点沿x轴负方向正对圆心发射，沿半径的圆弧运动并恰能通过圆心，进入电场后从 y轴上的点进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求粒子射入第Ⅱ象限时的速度大小 (2)求匀强电场的场强E及粒子在第Ⅱ、Ⅲ象限中运动的总时间 (3)若第Ⅰ象限中有方向垂直纸面向里的磁场图中未画出，磁场的磁感应强度大小为正的常量，y为纵坐标，即在x方向均匀分布，在y方向随y均匀增大，求粒子在第Ⅰ象限中运动至第一次离x轴最远时的轨迹与x轴围成的面积S。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子在第Ⅲ象限的磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）正对圆心射入的粒子，沿半径的圆弧运动并恰能通过圆心，粒子在磁场中运动的轨迹的圆心恰好为原点O，运动轨迹如图所示， 设速度偏转角为，由几何关系有 解得 从O2点进入电场，沿y轴方向，则有 解得 沿x轴方向，则有， 解得 粒子在第Ⅲ象限的磁场中运动的时间 粒子在第Ⅲ象限无磁场区域运动的时间 运动的总时间 解得 （3）粒子到达P点时沿y轴方向分速度 粒子在第Ⅰ象限中运动至第一次沿y轴方向的分速度为0的过程中，沿 y轴由动量定理则有 其中 可得 又因为 可得 即 解得 题型解码 当力和速度大小有关，特别是成正比的时候，用动量定理一般可以快速求解。不必关心轨迹形状、规避了复杂的几何作图，只需分析粒子运动的初、未状态就能解决，极大地降低了解题的难度。 (1)在匀强磁场中，如果已知条件包含“距离”、“速度变化”等信息，在两个相互垂直的方向上，运用该法比用几何方法更快捷; (2)在难以精确描绘粒子的运动轨迹时、优先使用洛伦兹力分量式与微元法! 例题2. （2026·江苏南通·一模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与y轴夹角的最大值为45°，且各个方向速度大小随变化的关系为，式中为未知定值，且的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求关系式中的值； （2）求离子通过界面时y坐标的最大值和最小值； （3）为回收离子，在界面右侧加一宽度为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域，求电场强度的最小值E。 【答案】（1）；（2），；（3） 【详解】（1）根据题意可知，当时，即沿轴正方向发射的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点，则其轨迹的圆心一定在轴上，设轨迹的半径为，由几何关系有 解得 即圆心在界面与轴的交点，又有 其中 解得 （2）根据题意，由牛顿第二定律有 解得 由几何关系可知，所有离子运动轨迹圆心均在的界面上，则离子通过界面的临界轨迹如图所示 即离子沿左侧射出时，通过界面的坐标最大，离子沿右侧射出时，通过界面的坐标最小，此时离子运动的半径为 由几何关系可得 （3）综合上述分析可知，离子通过界面时，速度与界面垂直，则为使所有离子都不能穿越电场区域，即保证速度最大的离子不能通过即可，即当离子以射入时速度最大，最大速度为 离子在轴方向上运动方向最大位移为L，此时速度为，在复合场区域任意时间，由动量定理可得 两边求和有 解得 由动能定理有 解得 即电场强度的最小值 例题3. （2026·山东济宁·二模）如图所示，三维直角坐标系中的z轴垂直纸面向外。在平面右侧、平面上方空间内存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小；在平面左侧空间内存在沿轴负方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小，磁感应强度大小未知。质量为、电荷量为的粒子在平面内从坐标原点发射，初速度大小为、方向与轴负方向成。经过一段时间后，粒子从点（图中未标出）垂直平面进入右侧空间，粒子在平面右侧空间受到与速度方向相反、大小与速率成正比的阻力（为已知常量），且粒子恰好从点（图中未标出）垂直平面射出磁场。不计粒子重力，，。求： (1)粒子在平面左侧空间内运动的时间； (2)点的坐标； (3)点到轴的距离； (4)粒子从点运动到点的轨迹长度。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由运动学公式有 因为 联立解得 （2）粒子从P点垂直yOz平面进入右侧空间，可知 在平行于xOz的平面内，由牛顿第二定律得 沿z轴方向坐标 沿y轴方向坐标 所以P点坐标为。 （3）在x轴方向，根据动量定理有 整理得 解得 （4）令粒子在Q点的速度为v，在y轴方向，根据动量定理有 整理得 解得 根据题意洛伦兹力方向与速度方向始终垂直，令粒子的速度为，沿速度方向利用动量定理有 整理得 联立解得 1．（2026·山东·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限以原点O为圆心、半径为R的四分之一圆内和第四象限均有垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限磁场的磁感应强度是第四象限的倍，M点为第二象限磁场边界的一个端点。在四分之一圆的左侧有长为R、与x轴垂直的线性粒子源，粒子源的下端在x轴上，粒子源上各点持续沿x正向发射质量为m，电荷量为q的带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为，线性粒子源中点发射的粒子在M点离开第二象限。所有粒子第一次经过x轴的位置连线的长度为，不计粒子的重力。求： (1)第二象限内磁场的磁感应强度大小； (2)第一、四象限内匀强电场的电场强度大小； (3)所有粒子第一次经过x轴的位置最右端记为N，研究第一次通过N点进入第四象限的粒子在第四象限的运动，其最大速度记为（未知），速度大小为时运动方向与x轴正方向的夹角记为，写出与k的函数关系式，并写出k的取值范围。 【答案】(1)； (2)； (3)， 【详解】（1）由几何关系可得，所有粒子在第二象限磁场中做匀速圆周运动的半径为 又 联立解得第二象限内磁场的磁感应强度 （2）由于，所有粒子均从M点进入第一象限，对所有粒子第一次在第一象限运动的过程，由动能定理有 某粒子经点时与轴正方向的夹角设为，在第一象限运动时的加速度大小设为，初、末速度之间的夹角设为，该粒子第一次在第一象限运动的速度合成图如图所示 则有 粒子在第一象限运动沿方向的位移为 由以上两式得 时，有最大值为 又 联立解得第一、四象限内匀强电场的电场强度大小 （3）由以上方程还可解得，第一次经过点进入第四象限的粒子在该点的速度大小 方向与轴正方向的夹角为 自点至第一次速度最大的过程，水平方向由动量定理有 由动能定理有 又 联立解得， 自点至速度大小为的过程，水平方向由动量定理有 由动能定理有 解得 最小时有 联立解得， 2．（2026·云南·模拟预测）威尔逊云室是最早的带电粒子径迹探测器，威尔逊也因此获得了1927年的诺贝尔奖。图甲为威尔逊云室的结构图，图乙为用云室拍摄的带电粒子轨迹图，在云室中粒子除受磁场作用外还会受到周围分子的阻力作用，其轨迹常常呈现为螺旋线。某同学为研究这种螺旋线的轨迹特点，在xOy平面内施加垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，由坐标原点沿x轴正方向发射质量为m、电荷量为q、初速度大小为的带正电粒子，如图丙所示，粒子在运动过程中除受到洛伦兹力外，还受到一个始终与速度方向相反、大小与速率成正比的阻力，比例系数为k，不计粒子受到的重力，求： (1)粒子运动的总路程s； (2)粒子停止运动时与坐标原点的距离L； (3)粒子停止运动时与坐标原点连线的斜率K。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）取很短一段时间内运动为研究过程，沿运动方向由动量定理可得 则两边求和可得 整理得 解得 （2）取很短一段时间内运动为研究过程，设方向速度为，方向速度为，对粒子在方向由动量定理可得 则两边求和可得 整理得 同理对粒子在方向由动量定理可得 则两边求和可得 整理得 联立解得, 则粒子停止运动时与坐标原点的距离 （3）代入（2）中的数据，粒子停止运动时与坐标原点连线的斜率 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）机场智能物流系统的一部分模型如图，固定在地面上的倾斜传送带上表面平直部分长，与水平面夹角为，传送带轮的半径，以速度顺时针转动。质量的一小滑块（可视为质点），与传送带间动摩擦因数为，以沿传送带向上的初速度，由其底端点开始上滑并从其上端某处抛出，之后从右下方半径的固定光滑弧形轨道的点切入下滑（连线与水平方向夹角为30°），在即将离开点（竖直，角未知）时，瞬间被带上的正电荷量，沿光滑水平直轨道运动后滑上静止于轨道上可自由滑动的弧形滑槽，滑槽的弧面光滑、绝缘、足够高且最低点切线水平。点右侧的区域存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，不计空气阻力，最大静摩擦等于滑动摩擦力，重力加速度取。求： (1)小滑块在传送带上表面段的运动时间； (2)通过计算说明小滑块能否在点与传送带分离，若能则求出脱离点与点之间的距离； (3)小滑块在弧形滑槽上能够上滑的最大高度。（计算结果可用根式表示） 【答案】(1) (2)0.2m (3) 【详解】（1）小滑块在传送带上运动过程，第一阶段以加速度a1做匀减速运动，则 位移 运动时间 第二阶段以加速度a2做匀减速运动，运动的距离 加速度 设到达B端时小滑块速度为v1，则 解得 运动时间 小滑块在传送带上表面段的运动时间 （2）若小滑块恰好通过B点，则 解得 说明小滑块在B点离开传送带做斜抛运动，设斜抛运动时间为t3，则 解得 脱离点与点之间的距离 （3）小滑块刚进入固定弧形滑槽下滑过程，根据动能定理有 解得 小滑块进入弧形滑槽，运动到最高点，设两物共速时速度为v共，对系统，根据机械能守恒有 对系统，以水平向右为正方向，根据动量定理有 整理可得 代入数据有 解得 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，有沿轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。从点发射一比荷为的带正电微粒，该微粒恰能在坐标平面内做直线运动。已知轴正方向竖直向上，重力加速度为。 (1)求微粒从点发射时的速度大小和方向； (2)若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从点射出后，求微粒在第三象限运动过程中距轴的最远距离； (3)若仅撤去电场，微粒改为从点由静止释放，求微粒运动过程中的最大动能。 【答案】(1)，与轴负方向成角指向第三象限 (2) (3) 【详解】（1）由题意知，微粒做匀速直线运动，受力分析如图甲，则 解得 微粒受洛伦兹力方向指向第二象限，则由左手定则判断其速度指向第三象限，设微粒发射的速度方向与轴负方向夹角为 ，则 解得 ，即微粒速度方向与轴负方向成 角指向第三象限 （2）撤去磁场后，微粒做类平抛运动，如图乙，将速度分解可得 微粒在轴方向的加速度大小 微粒在第三象限距离轴最远时 得 （3）由于洛伦兹力不做功，所以当微粒运动的轨迹与轴的距离最大时，重力做功最大，微粒动能最大，此时速度为，方向与轴平行，设最大距离为，在轴方向上，由动量定理得 即 由动能定理得 解得 5．（2026·山西大同·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有沿轴负方向的匀强电场，第三、四象限内有垂直于坐标平面向里磁感应强度为的匀强磁场。现在一质量为、电荷量为的带正电的粒子从轴上的点，以某一初速度（未知）沿轴负方向射入第二象限，粒子经电场偏转后从轴上的点进入第三象限，之后经磁场偏转从轴上点（未画出）垂直轴射入第四象限，已知、两点的坐标分别为，，不计粒子的重力。 (1)求粒子初速度的大小； (2)求匀强电场的电场强度大小； (3)粒子射入第四象限的磁场后，还始终受到与速度大小成正比、方向相反的阻力（比例系数为），且只在该象限内运动。已知粒子在该象限内的轨迹恰好与轴相切于点（未画出），且点处粒子速度不为零，求：、两点间的距离以及粒子从点运动至点过程克服阻力所做的功。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）设粒子从点运动到点经历的时间为，经过点时的速度为，速度与轴负方向的夹角为，对于该过程，依据运动学公式，沿轴方向，有 沿轴方向，有 联立以上两式，解得 即 同时，又得 设当粒子进入第三象限磁场中后，其做匀速圆周运动的轨迹半径为，根据图中几何关系，得 又据牛顿第二定律，得 联立以上两式，解得 则依据与的关系式，解得 （2）设电场强度的大小为，粒子在电场中的加速度大小为，据牛顿第二定律，得 再对粒子从点运动到点过程，由运动学公式，得 联立以上两式，解得 （3）设、两点间的距离为，粒子从点运动至点过程中，任一时刻的速度为，到达点处的速度大小为，现将沿着轴、轴方向分解得到的速度分别记为和，对于该过程，在轴方向，利用微元法，依据动量定理得 即 同理，在轴方向，依据动量定理得 即 联立以上式子，可得， 对于粒子从点运动至点过程，由于洛伦兹力不做功，据动能定理得 解得，粒子克服阻力所做的功为 【点睛】以下为本题中粒子对应的轨迹图，其中粒子进入第四象限后，由于阻力作用轨迹半径不断减小 6．（2025·浙江湖州·模拟预测）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求： (1)光电子到达极板A的最大速度； (2)极板A上有光电子打中的区域面积； (3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件； (4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程得 电场中动能定理 解得 （2）设极板上有光电子打中的区域为半径为y的圆形区域，电子的最大动能为 当电子以最大速度且沿平行极板方向逸出锌板时，电子打到圆形区域的边缘，此时电子在平行极板方向做匀速直线运动，则 电子在垂直极板方向做匀加速直线运动，有 其中，根据牛顿第二定律可知，电子沿垂直极板方向的加速度大小为 联立得 则极板A上有光电子打中的区域面积为 （3）设电子经过A板时最大速度大小为，与板最小夹角为α，则 解得 所有电子均不从右侧边界飞出临界情况如图 由几何关系得 解得 （4）取向下为y轴正方向，对于速度斜向上的电子，由y方向动量定理得 则 所以 当vy = vm向下时vx = 0，水平位移最大，此时 磁场宽度D′应满足的条件。 7．（2025·浙江杭州·模拟预测）为了探测粒子的轨迹，云室中常用电场和磁场来控制粒子的运动，如图所示，直角坐标系平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度从点垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 (1)求电场强度E的大小和磁感应强度B的大小； (2)若粒子在磁场中受到与速度方向相反、大小与速度成正比的阻力（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； (3)在第（2）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）作出粒子运动轨迹如图所示 粒子在电场中做类斜抛运动，利用逆向思维有， 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 根据几何关系有 解得 （2）将粒子的速度沿x轴与y轴分解，在x轴方向，根据动量定理有 其中， 结合上述解得 即Q点的坐标为。 （3）令粒子在Q点的速度为，结合上述，在y轴方向，根据动量定理有，， 结合上述解得 根据题意洛伦兹力方向与阻力方向始终垂直，令粒子的速度为v，沿速度方向利用动量定理有 则有 结合上述解得 8．（2025·安徽黄山·一模）如图所示，质量为m，下端封闭、上端开口且内壁光滑的绝缘玻璃管竖直放置，管底有一带正电的小球，电量为q，质量也为m。空间存在足够大且垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度。在斜向上的外力作用下，玻璃管在磁场中由静止开始做水平向右的匀加速直线运动，加速度大小为，最终小球从上端开口飞出。设运动过程中小球的电荷量始终保持不变，重力加速度g取10 m/s2。则： (1)求小球在玻璃管内脱离底部之前的运动时间； (2)已知小球飞出玻璃管前的运动时间t = 2 s，求小球运动到玻璃管最高点时的加速度大小； (3)如果小球在玻璃管内脱离底部之后外力保持不变，求玻璃管的最大速度大小（此时小球未飞出玻璃管）。 【答案】(1)0.8 s (2) (3) 【详解】（1）设小球在玻璃管内脱离底部之前经历的运动时间为t1，水平方向速度为v0，小球脱离底部时，有 且 联立可得 （2）小球在玻璃管中向上运动时间为t2，显然 竖直方向 代入数据可得竖直方向最大加速度 故合加速度为 代入数据可得 （3）设玻璃管匀速时玻璃管的速度为v1，此时小球相对玻璃管的速度为v2，当小球刚刚脱离玻璃管底端时水平方向 因为玻璃管达最大速度，加速度为0，所以 解得 竖直方向对小球列动量定理 又玻璃管水平位移 该过程中对系统水平方向列动量定理 又小球竖直位移 该过程中对系统列动能定理 联立解得 9．（2026·河北保定·模拟预测）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f=kv（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； (3)在第（2）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子进入电场后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做类竖直上抛运动，则有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示 根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 解得 由洛伦兹力充当向心力有 解得 （2）对粒子受力分析可知，速度的x轴的分量会产生x轴的阻力与y轴负方向的洛伦兹力；速度y轴的分量，会产生y轴的阻力与x轴负方向的洛伦兹力，其受力分析如图所示 在x轴上，由动量定理有 由微元法累加后可得 解得 则Q点的坐标为 （3）同理在y轴上有 微元法叠加后可得 解得 切线方向，阻力使得粒子速度减小，在切线方向有 - 微元叠加后可得 - 解得轨迹的长度为 10．（2024·江苏南通·二模）如图所示，坐标系xOy平面在纸面内，在的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，的区域Ⅰ和的区域Ⅱ的磁感应强度大小分别为和。大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从原点O在坐标平面内向与x正方向成角射入，粒子的速度大小相等，方向随角度均匀分布。沿y轴正方向射入的粒子在点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 （1）求粒子从原点O射入磁场时的速度大小v； （2）若在两磁场分界处有一垂直于xOy平面的足够大竖直挡板，求打到挡板上的粒子数占总粒子数的百分比； （3）若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k，观察发现沿y轴正方向射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并恰好运动到与两磁场的边界相切于Q点停下（未画出），求该粒子由P点运动到Q点的时间t及该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度l。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）洛伦兹力提供向心力 又 解得 （2）由，当初速度方向沿x轴正向时，轨迹与磁场边界相切，此时粒子刚好打到挡板上，范围内的粒子都能打到挡板，所以打到挡板上的粒子数占总粒子数的百分比 （3）该粒子在区域Ⅱ中的运动轨速如图所示 洛伦兹力提供向心力 可得 即角速度为一定值，又可知粒子与边界相切时转过的弧度为，时间 解得 粒子在区域Ⅱ中做螺旋线运动，由于阻力最后停下来，在切线方向上，牛顿第二定律 有 求和得 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $