找次品（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

《找次品》 完整课堂实录（逐字稿 ） 一、教学内容 人教版小学数学五年级下册第八单元“数学广角——找次品”第1课时（从若干物品中找出一个较轻的次品）。 二、教材分析 本节课以“找次品”为载体，让学生在“无砝码天平只能比较轻重”的限制条件下，通过操作、推理、优化，探索保证找出次品的最少次数。核心是渗透优化思想与分治策略，发展学生的推理意识与模型意识。教材从3瓶开始，逐步增加数量，引导学生在对比中发现“尽量平均分成3份”的规律。 三、学情分析 五年级学生已具备一定的逻辑思维能力和小组合作经验，对“天平平衡”有生活常识。但学生对“只能比较不能测量”的条件容易产生困惑（常见疑问：为什么不直接称重量？），需要教师制造认知冲突，帮助学生理解数学问题的设定意图。同时，学生初次接触“保证找出”“至少称几次”等确定性语言，需要反复体验。 四、学习目标（ABCD模式） 1. 学生 在3~5瓶钙片的情境中，借助天平模型进行模拟称量，准确、无遗漏地用“平衡→剩余瓶是次品”“不平衡→轻的一边有次品”等语言清晰表达推理过程。 2. 学生 通过小组探究4~10瓶的案例并填写记录表后，能用自己的话说出“把待测物品分成3份（尽量平均分）能最快缩小次品范围”这一优化策略。 3. 学生 在教师引导下，能用自己的话说明为什么本课只能用“比较天平”而不能直接称重量，体会数学问题中条件限制对思维发展的价值。 4. 学生在全班汇报与个人小结环节中，主动完成评价并写出一句收获，养成倾听、质疑、合作的学习习惯，发展推理意识与模型意识。 五、教学重难点 重点：掌握“从3~7瓶中找1瓶较轻次品”的基本推理方法，理解“至少称几次”的含义。 难点：归纳“尽量平均分成3份”的优化策略，并理解其背后的信息论原理（一次称量有三种可能结果）。 六、教学准备 教师：托盘天平（无砝码、遮刻度）、课件、探究记录单（学习单）、小组活动卡片（标号1~10的瓶模）。 学生：每组3~7张瓶形卡片（或实物瓶）、学习单。 七、教学过程 （一）、情境导入，制造认知冲突 教师：同学们，上课！今天我们先来当一次“质检员”。学校保健室新进了三瓶同样的钙片，其中有一瓶因为包装破损，少装了3片——也就是说，这一瓶比其他两瓶轻一些。如果不打开瓶盖，你能想办法把这瓶“次品”找出来吗？ 学生1：用手掂一掂，哪瓶轻就是哪瓶。 教师：好，那请各小组拿起桌上的三瓶钙片，用手掂一掂，看看能不能直接找到轻的那一瓶？ （学生动手掂，纷纷摇头） 学生2：老师，掂不出来，差别太小了。 教师：对，靠感觉不准确。那还有什么更科学的方法？ 学生3：可以用天平！把每一瓶都称一称，看看多少克，少了三片的那瓶肯定轻一些。 教师：你的想法很直接。那老师问大家：如果给你一台没有砝码的天平，你能直接称出每瓶钙片的具体克数吗？ （学生犹豫） 教师：（拿出一台托盘天平，盖住刻度盘）大家看，这是一台托盘天平，它没有砝码，也没有刻度。你只能把物品放在两边，看哪边下沉，或者两边平衡。它能不能像电子秤一样直接显示“多少克”？ 学生4：不能，它只能比谁重谁轻，不知道具体重量。 教师：说得很对！所以我们今天用的天平，只能进行“比较”，不能进行“测量”。也就是说，我们没法直接知道一瓶钙片是10克还是11克，但我们可以知道“左边这瓶比右边那瓶轻”。 教师：回到刚才同学的想法——如果非要称出具体克数，需要什么工具？ 学生5：需要电子秤，或者有砝码的天平。 教师：可是现在，我们手里只有这种只能“比轻重”的天平。那该怎么办呢？这正是今天我们要研究的问题：在只能比较、无法测量的条件下，怎样用最少的比较次数，从一堆瓶子里找出那个轻一些的次品？ （板书课题：找次品） 教师：也许你会觉得不方便，但正是这个“不方便”，逼着我们去动脑筋，去寻找更巧妙的办法。我们一起来试试吧！ （二）、探究新知——从3瓶中找1瓶次品 教师：请以小组为单位，用桌上的3瓶钙片（可用卡片代替）进行模拟操作，并完成探究记录单。想一想：怎样用天平找？有几种情况？时间6分钟。 （学生小组合作，教师巡视） 教师：时间到。哪个小组先来汇报？ 第一小组代表：我们小组是这样做的：先拿两瓶钙片分别放在天平的左右托盘上。如果天平平衡，说明这两瓶一样重，那么剩下的第三瓶就是次品。如果天平不平衡，那么向上翘的那一边就是轻的，也就是次品。 教师：思路非常清晰！你们把两种情况都考虑到了。那如果平衡，需要称几次？ 第一小组代表：只称一次。 教师：如果不平衡呢？ 第一小组代表：也是一次。因为一看就知道了。 教师：所以从3瓶中找一瓶轻的次品，至少称1次就能保证找到。大家同意吗？ 全班：同意。 教师：第二小组有没有补充或不同的方法？ 第二小组代表：我们给三瓶钙片编了号1、2、3。把1号和2号放在天平左右，如果左边翘起来，说明1号是次品；如果右边翘起来，说明2号是次品；如果平衡，3号是次品。也是1次。 教师：非常好，你们用了编号的方法，表述更清楚。第三小组，你们有什么发现？ 第三小组代表：我们注意到，刚才第一、二小组的方法其实是一样的，都是从3瓶里找一次就能找到。而且我们还发现，这种方法必须知道次品是轻一些或者重一些，不然不好判断。 教师：总结得太棒了！这就是我们今天研究的前提：已知次品比正品轻（或重），并且只有一个次品。那如果瓶子更多呢？还能一次找到吗？ （三）、进阶探究——从4瓶、5瓶……中找次品 教师：现在增加难度。请听要求： 第一、二小组从抽屉里再拿出1瓶，现在你们有4瓶。 第三、四小组从抽屉里拿出2瓶，现在你们有5瓶。 第五、六小组从抽屉里拿出3瓶，现在你们有6瓶。 第七、八小组从抽屉里拿出4瓶，现在你们有7瓶。 教师：注意，每一组的钙片中，仍然只有一瓶是少了3片的次品（较轻）。请各小组用天平模型探究：至少称几次才能保证找出次品？ 可以把你的方法记录下来。时间6分钟。 （学生小组合作探究，教师巡视并参与讨论） 教师：时间到。我们先请第二小组（4瓶组）汇报。 第二小组代表：我们组有4瓶钙片，编为1、2、3、4号。我们先把1号和2号放在左边，3号和4号放在右边。这样称一次后，天平一定不平衡，因为四瓶中一定有次品。轻的那一边有两瓶，其中一瓶是次品。然后再把这两瓶分别放在天平左右，轻的那个就是次品。所以一共称了2次。 教师：很好，你们的过程表述很完整。那有没有可能一次就找到呢？ 第二小组代表：不行，因为第一次只能确定次品在哪两瓶中，第二次才能确定是哪一瓶。 教师：对，所以至少需要2次。接下来请第四小组（5瓶组）汇报。 第四小组代表：我们组有5瓶，编号1~5。我们把1、2放在左边，3、4放在右边，5号先放旁边。 如果天平平衡，说明1~4都是好的，那么5号就是次品，只称1次就找到。 如果天平不平衡，轻的那一边的两瓶中有一瓶是次品，再把这两瓶称一次就能找出。这种情况下需要称2次。 为了保证一定能找到，我们要考虑最坏的情况，所以至少需要2次。 教师：表达得非常清晰！你们用了“最坏情况”的思路，这是找次品问题中非常重要的思想。第六小组（6瓶组）有什么发现？ 第六小组代表：我们组有6瓶。我们先分成三组：每组2瓶。先称其中两组：如果平衡，次品在第三组，再称一次即可，共2次；如果不平衡，轻的那一组有两瓶，再称一次，也是2次。所以6瓶也是2次。 教师：那7瓶呢？第七小组。 第七小组代表：我们试了7瓶，发现至少需要2次。我们的方法是分成（2，2，3），先称两个2瓶的，如果平衡，次品在3瓶里，3瓶只需1次，总共2次；如果不平衡，次品在轻的2瓶中，再称1次，也是2次。所以2次就够了。 教师：很好。那如果给你10瓶，你猜至少需要几次？ 学生猜测：3次？4次？ 教师：其实，根据研究，10瓶至少需要3次。我们来看一个表格（出示表格）： 待测物品数量 保证找出次品的最少次数 3 1 4 2 5 2 6 2 7 2 ... 2 10 3 教师： 大家观察这个表格，发现待测物品数量在3、9、27这些“3的倍数”附近时，次数会发生变化。那老师问一个更深的问题：为什么我们总是强调要“分成3份”，而不是分成2份或者4份？ 谁能试着说一说？（学生讨论） 学生1：因为天平有两个托盘，所以应该分成2份？ 教师：这是个很自然的想法。那我们来比一比。假如有8瓶，分成2份（4和4），怎么称？ 学生1：左边4瓶，右边4瓶，称一次，轻的一边有次品，然后从4瓶中找，我们刚才知道4瓶需要2次，所以总共3次。 教师：但如果我们分成3份（3、3、2）呢？我们刚才有小组已经试过，只需要2次。所以分成2份反而次数更多。这是为什么呢？ 学生2：因为分成2份，每次只能排除一半；分成3份，每次能排除三分之二。 教师：说得太好了！我们一起来想一下：天平一次称量，会出现几种结果？ 学生3：三种：左边轻、右边轻、两边平衡。 教师：对！有三种可能的结果。所以，一次称量最多可以从3份中判断出次品在哪一份。如果你只分成2份，那么“平衡”这个结果就浪费了——因为你只有左右两个托盘，平衡时说明两边都是好的，那没称的那一份（如果有的话）就自动被锁定。分成3份，能够充分利用“平衡”这个信息。 教师：我们用打比方的方法：假设你就是“天平”，你有三种回答方式：“左边轻”“右边轻”“一样重”。每次你只能回答这三种之一。如果你每次都想缩小最多的范围，就应该让三种答案对应的物品数量尽可能平均。这就是为什么分成3份，并且尽量平均分，是找次品的最优策略。 学生4：我明白了！就像猜数字游戏，每次问“大了、小了、对了”，三种回答，所以每次能排除掉三分之二的数。 教师：非常棒的类比！数学上，这种思想叫三分法。今天我们在“找次品”中体会到了，以后在更复杂的优化问题中还会用到。 学生代表：我发现每次称量最多能排除三分之二的可能性。因为天平有三种结果：左轻、右轻、平衡，所以一次称量最多能从3个物品中确定次品。数量每扩大到3倍，次数就增加1次。 教师：总结得太精彩了！这就是优化思想——把物品分成3份（尽量平均分），可以最快缩小次品所在的范围。 （四）、深化对比——为什么不用“直接称重法” 教师：学到这儿，老师想问问大家：如果我们有一台电子秤，能直接读出每瓶钙片的克数，从3瓶中找轻的那瓶，需要称几次？ 学生：一次就行！称一下就知道哪瓶轻了。 教师：那从4瓶、5瓶中找呢？用电子秤分别称一下，需要几次？ 学生：最多称4次或5次，但如果一次称一瓶，最多就是瓶数那么多次。 教师：而我们今天用只能“比较”的天平，从3瓶中只用了1次，从4~7瓶也只用了2次。你们发现了什么？ 学生6：用比较的方法，次数反而更少！而且瓶子越多，优势越明显。 教师：对！电子秤给的是绝对数值，每次只能检验一瓶；而比较天平给的是相对关系，一次比较可以同时排除掉好几瓶。这就是数学优化的魅力——在限制中寻找最优解。 教师：现在，如果以后有人问你：“为什么找次品不用电子秤直接称？”你会怎么回答？ 学生7：因为题目给的是无刻度天平，只能比较。 学生8：因为比较的方法更锻炼脑子，而且可能比直接称更快。 教师：说得好！数学问题常常会设定一些“不方便”的条件，正是这些条件，逼着我们去创造更聪明的策略。这也是“数学广角”的学习价值所在。 （五）、巩固应用，联系生活 教师：现在，如果次品可能比正品轻，也可能比正品重，但不知道是轻是重，还是从3瓶中找1瓶次品，至少需要称几次？课后大家可以思考一下，下节课我们继续研究。 教师：生活中哪些地方也用到了“找次品”的方法？ 学生1：工厂里检验零件。 学生2：快递分拣时找破损的包裹。 学生3：超市里检查食品重量是否达标。 教师：是的，数学就藏在我们的生活里，它能帮助我们高效地解决问题。 （六）、全课总结，反思评价 教师：通过今天的学习，你学到了什么？请用一两句话说一说。 学生1：我学会了用天平“平衡”和“不平衡”来推理哪一个是次品。 学生2：我知道了把物品尽量平均分成3份，称的次数最少。 学生3：我学会了“保证找到”要考虑最坏的情况。 学生4：我也明白了，有时候不能直接测量的工具，反而能让我们想出更巧妙的办法。 教师：大家收获真不少。我们还要学会欣赏别人的方法，比如今天第一组、第四组的汇报都非常清晰。最后，请大家在学习单上给自己和小组今天的表现打个星（1~5星），并写一句话的反思。 教师：今天我们用数学思维，做了最聪明的质检员。好，这节课就上到这里。下课！ 学科网（北京）股份有限公司 $