2.7 对数函数导学案——2027届高三数学一轮复习

第七节　对数函数 知识清单 1.对数函数 (1)定义：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是________． (2)图象与性质 项目 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：________ 值域：R 图象过定点________，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 ______函数 ______函数 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论 2.反函数：指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，y＝ax与y＝logax的函数图象关于直线________对称． 【常用结论】 对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律： 在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　) 2．(人教A版必修一P135T1改编)函数y＝log3x与y＝x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 3．已知a＝log32，b＝log23，c＝log34，则(　　) A．a>c>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>c>a 4．(人教A版必修一P140T1(2)改编)函数y＝的定义域为________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　对数函数的图象及应用 例1 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) (2)(多选)(2026·合肥模拟)已知m>0且m≠1，则函数f(x)＝(x＋)＋3的图象一定经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． 　跟踪训练　已知函数y＝loga(x－c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论中成立的是(　　) A．a>1，c<－1 B．a>1，－1<c<0 C．0<a<1，c<－1 D．0<a<1，－1<c<0 命题点二　对数函数的性质及应用 考向1　比较对数值的大小 例2 (1)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b (2)已知实数a，b满足loga2>logb2>1，则(　　) A．1<a<2<b B．1<a<b<2 C．1<b<a<2 D．a<1<b<2 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断． (2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． (3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较． 　跟踪训练　设a＝log0.20.3，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a 考向2　解简单的对数不等式 例3 (1)已知loga<，则实数a的取值范围为(　　) A．(0， B．(－∞，－，＋∞) C．(，＋∞) D．(0，，1) (2)不等式(x2－3x－(2x＋10)的解集为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数形式，再借助y＝logax的单调性求解． 　跟踪训练　函数g(x)＝的定义域为(　　) A．(－，＋∞) B．[，＋∞) C．[－，＋∞) D．(，＋∞) 命题点三　对数型函数性质的综合问题 例4 (1)(链接· 2023年新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 B．0 C．　　 D．1 (2)(多选)已知函数f(x)＝(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中错误的是(　　) A．函数f(x)的定义域是[－4，2] B．函数y＝f(x－1)是偶函数 C．函数f(x)在区间[－1，2)上单调递减 D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教B版必修二P53B组T9)已知函数f(x)＝ln (ex＋1)－ax是偶函数，求a的值． 学霸笔记：(1)与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． (2)函数y＝logaf(x)的值域是R，这说明函数y＝f(x)可以取遍所有大于0的数，而函数y＝logaf(x)的定义域是R，则说明f(x)＞0在R上恒成立． 　跟踪训练　(1)若函数y＝lg (2＋mx)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．[－2，0) D．(0，1] (2)(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－8x＋a2)的值域为R，则a的取值范围为(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2] C．[－4，4] D．(－∞，－4] 第七节　对数函数 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)(0，＋∞)　(2)(0，＋∞)　(1，0)　增　减 2．y＝x 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．解析：由y＝得y＝－log3x，所以函数y＝log3x与y＝的图象关于x轴对称．故选A. 答案：A 3．解析：设函数y＝log3x，函数在(0，＋∞)上单调递增，故log32<log34，即a<c；因为log23>log2，log34<，故b>c.故选D. 答案：D 4．解析：由题意知<解得<x≤1. 答案： 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)由lg a＋lg b＝0可知，＝b，故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B. 解析：(2)由f(x)＝＋3＝2logm＋3，m>0且m≠1，则f(0)＝2logm＋3＝－2＋3＝1，即函数f(x)过点(0，1)，当m>1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限；当0<m<1时，函数f(x)单调递减，过第一、二、四象限．故选AB. 答案：(1)B　 答案：(2)AB 跟踪训练　解析：由函数的图象知该函数为减函数，∴0<a<1.图象通过第一、二、四象限且图象与x轴的交点横坐标在区间(0，1)内，∴0<c＋1<1，解得－1<c<0.故选D. 答案：D 例2　解析：(1)∵log43＝ ＝log6427，log86＝ ＝<a<b；又log62<log6，∴c<a<b.故选D. (2)∵loga2>logb2>1＝log22，∴1<a<b<2.故选B. 答案：(1)D　 答案：(2)B 跟踪训练　解析：a＝log0.20.3<log0.20.2＝1，b＝log23>log22，1＝log33<c＝log34<log33，∴b>c>a.故选D. 答案：D 例3　解析：(1)loga<＝loga，①⇒a>1；⇒0<a<.所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)．故选A. (2)因为y＝在定义域(0，＋∞)上是减函数，所以原不等式等价于⇒ 解得－2<x<－1或4<x<7，所以原不等式的解集为(－2，－1)∪(4，7)． 答案：(1)A　 答案：(2)(－2，－1)∪(4，7) 跟踪训练　解析：由题可得⇒因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，则ln ≥ln 1⇒x＋≥1⇒x≥.所以函数g(x)＝的定义域为.故选B. 答案：B 例4　解析：(1)因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，或，关于原点对称．f(－x)＝＝(－x)ln ＝(－x)ln -1＝＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 解析：(2)函数f(x)＝－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数定义域为(－4，2)，故A错误；由f(x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]＝，定义域为(－3，3)，显然f(x－1)为偶函数，故B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log28，f(－1)<f(0)，故C错误；由f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)图象向左平移1个单位得到y＝f(x)的图象，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故D正确．故选AC. 答案：(1)B　 答案：(2)AC 真题探源　解析：f(x)＝ln (ex＋1)－ax，f(－x)＝ln (e－x＋1)＋ax＝ln ＋ax＝ln (1＋ex)－x＋ax，又f(x)是偶函数，∴－ax＝－x＋ax，∴a＝. 跟踪训练　解析：(1)因为函数y＝lg (2＋mx)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以y＝2＋mx在区间[1，＋∞)上单调递增，且大于零恒成立，则解得m>0.故选B. 解析：(2)因为f(x)＝log2(x2－8x＋a2)的值域为R，所以y＝x2－8x＋a2的值域包含(0，＋∞)，所以Δ＝(－8)2－4a2≥0，解得－4≤a≤4.故选C. 答案：(1)B　 答案：(2)C 学科网（北京）股份有限公司 $