2.6指数函数导学案——2027届高三数学一轮复习

第六节　指数函数 知识清单 1.指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2．指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 ________________ 值域 ________________ 性质 过定点________，即x＝0时，y＝1 当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x<0时，________； 当x>0时，________ ________函数 ________函数 【常用结论】 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，)．底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (3)2－3>2－4.(　　) (4)若am<an(a>0且a≠1)，则m<n.(　　) 2．(人教A版必修一P118练习T1改编)函数y＝与y＝3x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 3．设a＝，b＝1.10.9，c＝1.11.1，则(　　) A．c>b>a B．c>a>b C．a>c>b D．b>a>c 4．(人教A版必修一P115T2改编)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝2，＝2，…，＝2，n∈N*，则f(x)＝________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　指数函数的图象及应用 例1 (链接· 2025年全国Ⅰ卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自北师大版必修一P92B组T5改编)在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系： y＝3x，y＝3x＋3，y＝3x－1. 学霸笔记：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 命题点二　指数函数的性质及应用 考向1　比较指数式的大小 例2 已知0<a<1<b，则(　　) A．ba<ab<aa<bb B．ab<aa<ba<bb C．bb<ab<aa<ba D．ab<ba<aa<bb [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P117例3改编)下列大小关系正确的是(　　) A．1.72.5>1.73 B．1.70.3<0.93.1 C．1.52.5<1.53.2 D．0.6－1.2>0.6－1.5 考向2　解简单的指数不等式 例3 求不等式2x2－2x－3<()x－1的解集． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)性质法：解形如ax＞ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解．如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论． (2)隐含性质法：解形如ax＞b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 　跟踪训练　函数f(x)＝的定义域是________． 命题点三　指数型函数性质的综合问题 例4 (1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) (2)已知函数f(x)＝()ax2－2x＋2a的最大值为2 025，则a的值为(　　) A． B．－1 C．1 D．或－1 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断，其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解． (2)对于函数y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)，一般要通过换元令ax＝t，化为函数y＝g(t)再研究 　跟踪训练　(1)(2026·河南名校联考)已知函数f(x)＝3sin x＋m的值域为，则m＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 (2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________． 第六节　指数函数 必备知识·助学教材 知识清单 2．R　(0，＋∞)　(0，1)　y>1　0<y<1　y>1　0<y<1　增　减 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．解析：因为y＝－3－x，即－y＝3－x，所以函数y＝－3－x与y＝3x的图象关于原点对称． 答案：C 3．解析：因为1.11.1>1.10.9>1>0.91.1，所以c>b>a. 答案：A 4．解析：∵＝2，n∈N*，∴＝2n，∴f(0.5n)＝3·2n，令0.5n＝x，∴n＝2x，∴f(x)＝3·22x＝3·4x. 答案：3·4x 考教衔接·活用教材 例1　解析：方法一　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，此时x>y>z，A有可能；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．故选B. 方法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示．易知，随着m的变化可能出现x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B. 答案：B 真题探源　解析：在同一坐标系内作出函数y＝3x，y＝3x+3， y＝3x-1的图象，如图， 函数y＝3x+3的图象可看作由函数y＝3x的图象向左平移3个单位而得； 函数y＝3x-1的图象可看作由函数y＝3x的图象向右平移1个单位而得． 例2　解析：因为函数y＝ax(0<a<1)是减函数，所以0<ab<aa<1，同理，函数y＝bx(b>1)是增函数，所以1<ba<bb.综上，可得ab<aa<ba<bb.故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：对于A，函数y＝1.7x在R上单调递增，则<1.73，故A错误；对于B，函数y＝1.7x在R上单调递增，则1.70.3>1.70＝1，函数y＝0.9x在R上单调递减，则<0.90＝1，因此1.70.3>0.93.1，故B错误；对于C，函数y＝1.5x在R上单调递增，则1.52.5<1.53.2，故C正确；对于D，函数y＝0.6x在R上单调递减，则0.6-1.2<0.6-1.5，故D错误． 答案：C 例3　解析：原不等式可化为2x2－2x－3<2-3(x-1)． ∵y＝2x是增函数，∴x2－2x－3<－3(x－1)． 整理得x2＋x－6<0，∴－3<x<2，故原不等式的解集为{x|－3<x<2}． 跟踪训练　解析：要使函数f(x)＝有意义，则9－3x+1≥0，变形可得3x+1≤9＝32，因为指数函数y＝3u在R上单调递增，则x＋1≤2，解得x≤1，故函数f(x)的定义域是(－∞，1]. 答案：(－∞，1] 例4　解析：(1)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. (2)令y＝t，t＝ax2－2x＋2a，因为y＝t单调递减，又因为函数f(x)＝的最大值为2 025，则t＝ax2－2x＋2a的最小值为－1，所以a>0，且当x＝－时，tmin＝＝－1，即得2a2＋a－1＝0，解得a＝或a＝－1，所以a＝.故选A. 答案：(1)D　 答案：(2)A 跟踪训练　解析：(1)由sin x∈[－1，1]和y＝3x是增函数可知3sin x∈，所以可得m＝1.故选D. 解析：(2)函数f(x)＝4x－2x+1＝(2x－1)2－1，令t＝2x(t>0), 则y＝(t－1)2－1在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，由t＝2x>1得x>0，而t＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)或． 答案：(1)D　 答案：(2)(0，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $