2.9 函数与方程导学案——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程核心考点，涵盖函数零点概念、零点存在定理、二分法及零点区间判断、个数判定、参数确定等高考高频题型，知识清单系统梳理概念与关系，自主诊断夯实基础，命题点按难度梯度分层讲解。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练对接高考命题，助力学生突破函数零点问题难点。 讲义突出数学思维与数学眼光的培养，如在零点个数判定中，通过函数图象交点分析，引导学生用数学眼光观察函数性质，用逻辑推理判断零点存在性。设置基础诊断、典例精讲、跟踪训练分层教学环节，配合学霸笔记总结解题通法，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第九节　函数与方程 知识清单 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有________⇔函数y＝f(x)的图象与________有公共点． 剖析　函数f(x)的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 剖析　函数f(x)在[a，b]上连续且单调，f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．二分法：对于在区间上图象连续不断且________的函数，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【常用结论】 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．特别地，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　) (4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　) 2．(多选)(人教A版必修一P155T1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是(　　) 3．(人教A版必修一P144T2改编)函数f(x)＝x－5＋3x的零点所在的区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 4．(人教A版必修一P143例1改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　函数零点所在区间的判断 例1 (1)(链接· 2025年天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) (2)若函数f(x)＝2ex的图象与函数g(x)＝＋5的图象交点的横坐标所在的区间为(k，k＋1)，则整数k可能为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 　跟踪训练　(1)函数f(x)＝ln x－－2的零点所在区间是(　　) A．(0，1) B．(1，e) C．(e，e2) D．(e2，e3) (2)(衔接·必修一P160T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 命题点二　函数零点个数的判定 例2 (1)函数f(x)＝－log2x的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 　跟踪训练　(1)设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2]＝2，[2.3]＝2，[－2.3]＝－3，则方程x－|log6x|＝[x]解的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋f(－x)，则函数g(x)的零点个数为________． 命题点三　根据零点情况确定参数 考向1　根据零点个数求参数 例3 已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[2，＋∞) [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题． 　跟踪训练　已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A．(0，1] B．[0，1] C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 考向2　根据零点所在区间求参数范围 例4 (2026·抚顺模拟)函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　) A．[－4，1) B．(－4，1] C．[－1，4) D．(－1，4] [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：根据零点所在区间求参数范围问题的常用方法：首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理构建不等式组求解． 　跟踪训练　某同学用二分法求函数f(x)＝log2x＋2x＋a零点的近似值时，确定零点所处的初始区间为(1，2)，则实数a的取值范围为(　　) A．(－5，－3) B．(－5，－2) C．(－∞，－5) D．(－∞，－5) 第九节　函数与方程 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)f(x)＝0　(2)零点　x轴　 (3)f(a)f(b)<0　f(c)＝0 2．f(a)f(b)<0　一分为二　零点　 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：题图A，C中不存在区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0. 故选AC. 答案：AC 3．解析：因为y＝x和y＝3x是R上的单调递增函数，所以f(x)＝x－5＋3x是R上的单调递增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，又f(1)＝1－5＋31＝－1<0，f(2)＝2－5＋32＝6>0，故函数f(x)＝x－5＋3x的零点所在的区间为(1，2)． 答案：A 4．解析：由于函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，故函数f(x)在(1，3)内有唯一零点，即也在(0，＋∞)内有唯一零点．故选B. 答案：B 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)由指数函数、幂函数的单调性可知y＝0.3x在R上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在定义域上单调递减，显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0，所以根据零点存在定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5)．故选B. (2)作图易知函数f(x)＝2ex的图象与函数g(x)＝＋5的图象在y轴两侧各有一个交点．设h(x)＝f(x)－g(x)＝2ex－－5，则h(－1)＝－4<0，h＝＋5>0，h(1)＝2e－6<0，h(2)＝2e2－>0，故h(－1)h<0，h(1)h(2)<0，所以函数h(x)的零点所在区间是∪(1，2)，故k＝－1或k＝1.故选C. 答案：(1)B　(2)C 跟踪训练　解析：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－3<0，f(e)＝ln e－<0，f(e2)＝ln e2－<0，f(e3)＝ln e3－<0，所以函数f(x)在(e2，e3)上必有一个零点．故选D. (2)由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，所以c＝0.由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x.在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝log2 x，y＝－x的图象如图所示．由图象知a<0，b>0，所以a<c<b.故选B. 答案：(1)D　(2)B 例2　解析：(1)由f(x)＝0，得＝log2x，因此函数f(x)的零点即为函数y＝log2x与y＝ 的图象交点横坐标，在同一坐标系内作出函数y＝log2x与y＝的图象，如图，观察图象知，函数y＝log2x与y＝的图象有唯一公共点，所以函数f(x)＝－log2x的零点个数为1.故选B. 解析：(2)因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin 有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点．故选C. 答案：(1)B　 答案：(2)C 跟踪训练　解析： (1)方程x－|log6x|＝[x]解的个数等价于函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象交点个数，作函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象如图所示．由图可知函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象的交点个数为5.方程x－|log6x|＝[x]解的个数为5.故选B. 解析： (2)当x＝0时，g(0)＝2f(0)＝0，所以0是g(x)的零点，当x>0时，g(x)＝x3－1＋x＝x3＋x－1.因为y＝x3，y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(0)＝－1<0，g(1)＝1>0，则g(0)·g(1)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．当x<0时，g(x)＝－x＋(－x)3－1＝－x3－x－1，易知g(x)在(－∞，0)上单调递减．又g(－1)＝1>0，g(0)＝－1<0，则g(－1)·g(0)<0，所以g(x)在(－∞，0)上有且仅有1个零点．综上，g(x)的零点个数为3. 答案：(1)B　 答案：(2)3 例3　解析：由函数f(x)＝因为g(x)＝f(x)－x－a，令g(x)＝0，即f(x)＝x＋a. 由函数g(x)有2个零点，即y＝f(x)和y＝x＋a有两个交点，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：由题意，函数g(x)＝f(x)－b有三个不同的零点，即方程f(x)＝b有3个解，即函数y＝f(x)与y＝b有3个交点，画出函数f(x)的大致图象． 由图可知，要使函数y＝f(x)与y＝b有3个交点，则b>1，所以实数b的取值范围为(1，＋∞)．故选D. 答案：D 例4　解析：当x∈[1，4)时，由f(x)＝kx－4＋xlog2x＝0可得＝0.令g(x)＝k＋log2x－，因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)上均单调递增，故函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)上单调递增．因为函数f(x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点，所以解得－1<k≤4.因此，实数k的取值范围是(－1，4].故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：函数f(x)＝log2x＋2x＋a在定义域(0，＋∞)上单调递增，又零点所处的初始区间为(1，2)，所以即解得－5<a<－2，所以实数a的取值范围为(－5，－2)．故选B. 答案：B 学科网（北京）股份有限公司 $