3.1 《因数和倍数的认识》（导学案）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

苏教版数学五年级下册第三单元因数和倍数 ——苏教版数学五年级下册 第1课时《因数和倍数的认识》（2026修订） 【学习内容】 苏教版五年级数学下册教材第30～32页，例1～例3及相关练习。 【学习目标】 1. 结合具体情境，理解因数和倍数的含义，知道因数和倍数是相互依存的。 2. 经历探索求一个数因数和倍数的方法，理解一个数因数的特征（最小、最大、有限）和倍数的特征（最小、最大、无限），渗透集合思想。 3. 在探索过程中，感受数学的严谨性和趣味性，激发学习兴趣。 【学习重点】 理解因数和倍数的含义，掌握有序求一个数因数与倍数的方法。 【学习难点】 理解因数和倍数相互依存的关系，体会一个数因数“成对”找的基本策略。 【学法指导】 1. 自主阅读教材P30-32，用拼小正方形的活动初步感知因数和倍数的概念。 2. 小组合作讨论：怎样找一个数的因数才能不重复、不遗漏？怎样找一个数的倍数？ 3. 对比归纳：一个数的因数和一个数的倍数各有什么特征？请完成下表。 一个数的因数 一个数的倍数 最小 （ ） （ ） 最大 （ ） （ ） 个数 （ ） （ ） 一、课前预习 预习要求：认真阅读教材P30-32，动手拼一拼，回答问题。 预习思考题： 1. 用12个同样大的正方形拼长方形，有几种不同的拼法？每排摆几个，摆了几排？用乘法算式表示出来。 2. 什么叫因数？什么叫倍数？为什么说因数和倍数是“相互依存”的？ 3. 你能试着找出36的所有因数吗？你能从小到大写出5个36的倍数吗？ 二、新知讲授 知识点一：因数和倍数的含义 知识要点： 1. 用12个同样大的正方形拼长方形：12 = 1×12 = 2×6 = 3×4。 2. 在 4×3 = 12 中，4和3都是12的因数，12是4和3的倍数。 3. 因数和倍数是相互依存的：不能说“3是因数”，必须说清楚“3是12的因数”。 4. 为了方便，研究因数和倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。 特别提醒：因数和倍数描述的是两个数之间的关系，不能单独说某个数是因数或倍数。如 18÷6=3，我们说18是6和3的倍数，6和3是18的因数。 例题 1（基础）——因数和倍数关系的判断 题目：（2023·徐州铜山期中）在 6×7=42 中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 【解析】 依据乘法和除法之间的对应关系：因数 × 因数 = 倍数。 6和7相乘得42，所以42是6和7的倍数，6和7是42的因数。 【答案】 42是6和7的倍数，6和7是42的因数。 变式训练 1-1 （2025·苏州期末）在 15÷3=5 中，15是3的（ ），3是15的（ ）。 【答案】 倍数；因数 变式训练 1-2 判断：因为 2.4×5=12，所以2.4和5是12的因数。（ ） 【答案】 × 【解析】 研究因数和倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。2.4不是自然数，不能说它是因数 变式训练 1-3 （2024·无锡梁溪）在 20÷4=5 和 20÷10=2 中，20的因数有（ ），其中最大的因数是（ ）。 【答案】 1、2、4、5、10、20；20 知识点二：找一个数的因数 知识要点： 1. 有序思考：想这个数可以写成哪两个自然数相乘，从1开始，一对一对地找，做到不重复、不遗漏。 2. 一个数因数的特征： （1）最小的因数是1 （2）最大的因数是它本身 （3）一个数的因数的个数是有限的 找因数的方法口诀： 从1开始依次找，两数相乘得原数。一对一对往前写，找到重复就停止。 例题 2（基础）——有序找出一个数的因数 题目：找一找，填一填。 （1）在方框中写出 24 的所有因数：________________。 （2）一个数的最小倍数是20，它的因数有________________。 【解析】 （1）想（ ）×（ ）= 24： 1×24=24 → 1和24 2×12=24 → 2和12 3×8=24 → 3和8 4×6=24 → 4和6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 （2）一个数的最小倍数是它本身，即这个数是20。20的因数：1、2、4、5、10、20。 【答案】 （1）1、2、3、4、6、8、12、24； （2）1、2、4、5、10、20 变式训练 2-1 （2024·南京栖霞）写出18的所有因数：________________。 【答案】 1、2、3、6、9、18 变式训练2-2 一个数既是32的因数，又是4的倍数，这个数可能是（ ）。 A. 4　　B. 8　　C. 4或8 【答案】 C 【解析】 32的因数有1、2、4、8、16、32，其中是4的倍数的有4、8。 变式训练2-3 面包店运来16个甜甜圈，要全部装在袋子里，每袋的个数相同，有几种装法？（列出所有可能的每袋个数） 【答案】 每袋1个、2个、4个、8个、16个，共5种装法。 【解析】 求16的因数即可。 知识点三：找一个数的倍数 知识要点： 1. 找一个数倍数的方法：用这个数依次乘1、2、3、4、…… 2. 一个数倍数的特征： （1）最小的倍数是它本身 （2）没有最大的倍数 （3）一个数的倍数的个数是无限的 对比记忆：一个数的最小因数是1，最小倍数是它自己；最大因数是它自己，没有最大倍数。 例题 3（基础）——有序找出一个数的倍数 题目：（2025·淮安）按要求写出倍数。 （1）写出50以内8的倍数：________________。 （2）写出100以内既是5的倍数又是40的因数的数：________________。 【解析】 （1）8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，8×6=48，8×7=56>50（停）。 50以内：8、16、24、32、40、48。 （2）40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，其中是5的倍数的有5、10、20、40。 【答案】 （1）8、16、24、32、40、48；（2）5、10、20、40 变式训练 3-1 （2025·连云港）请写出30以内6的倍数：________________。 【答案】 6、12、18、24、30 变式训练3-2 有一个数，它既是15的倍数，又是15的因数，这个数是（ ）。 【答案】 15 【解析】 一个数既是自己的倍数也是自己的因数，所以这个数是15。 变式训练3-3 下面哪个数是 8 的倍数？（ ） A. 64　　B. 68　　C. 78 【答案】 A 【解析】 8×8=64，所以64是8的倍数。68和78不是8的倍数。 知识点四：乘法算式、除法算式与因数倍数的转化 知识要点： 1. 乘式转因数倍数：若 a×b=c（a、b、c为非0自然数），则a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2. 除式转因数倍数：若 c÷a=b（a、b、c为非0自然数），则a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 3. 综合应用：含字母的式子，如 m÷n=5（m、n为非0自然数），m是n和5的倍数，n和5是m的因数。 例题 4（中等）——含字母的因数倍数关系 题目：（2024·南通如皋期中）甲、乙均为非零自然数，甲÷乙＝12，下列说法正确的是（ ）。 A. 甲一定是12的倍数　　　　B. 乙一定是12的因数 C. 12一定是甲的因数　　　　D. 以上都正确 【解析】 由甲÷乙＝12，得甲＝12×乙。所以： 甲是乙的12倍，即甲是乙和12的倍数 → A正确 12是甲的因数，乙也是甲的因数 → C正确 B说“乙一定是12的因数”错误（如甲=24，乙=2时乙不是12的因数） 【答案】A、C 变式训练 4-1如果 m÷n=8（m、n均为非0自然数），那么 m 是 n 的（ ），n 是 m 的（ ）。 【答案】 倍数；因数 变式训练4-2 已知 A＝3×B（A、B为非0自然数），下面说法错误的是（ ）。 A. A是B的倍数　　B. B是A的因数　　C. A一定是B的3倍　　D. B一定是3的倍数 【答案】D 变式训练4-3 一个非零自然数a，它的最小因数是（ ），最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。 【答案】 1；a；a 知识点五：因数和倍数的特征综合 知识要点： 自然数1的因数只有1，1是所有非0自然数的因数。任何非0自然数都是它本身的因数和倍数。 例题 5（中等）——特征的判断 题目：下列说法正确的是（ ）。 A. 1是任何非0自然数的因数 B. 一个数的倍数一定比它的因数大 C. 12的因数只有1、2、3、4、12 【解析】 A正确：1是所有非0自然数的因数。B错误：一个数的最小倍数等于它的最大因数（本身），不一定更大。C错误：12的因数还有6。 【答案】A 变式训练 5-1 判断题：一个数的因数一定比它的倍数小。（ ） 【答案】 × 【解析】 一个数本身既是它的因数也是它的倍数，此时相等。 变式训练 5-2 判断题：30以内5的倍数只有5、10、15、20、25。（ ） 【答案】 × 【解析】 还有30。30以内包括30。 变式训练 5-3 下面选项中，正确的是（ ）。 A. 一个数的因数个数是无限的 B. 一个数的倍数个数是有限的 C. 1只有一个因数，就是1本身 【答案】C 知识点六：猜数游戏与开放探究 例题 6（提优）——用条件推理猜数 题目：一个数是24的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是多少？（写出所有可能） 【答案】 3、6、12、24 【解析】 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。 其中3的倍数：3、6、12、24。 变式训练6-1 一个数在20到30之间，它是6的倍数，又是48的因数，这个数是（ ）。 【答案】 24 变式训练6-2 一个非零自然数，它的因数的个数是奇数个，这个数可能是（ ）。（填一个即可） 【答案】 4（或9、16、25等，即完全平方数） 【解析】 除完全平方数外，因数成对出现，个数为偶数；若因数为奇数个，则是完全平方数。 三、巩固练习（共15题） 基础巩固 1. 在 8×5=40 中，（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。 2. 写出 15 的所有因数：________________。 3. 写出 100 以内 13 的倍数：________________。 4. 一个数的最小因数是（ ），最大因数是它（ ）。 5. 判断：10÷0.5=20，所以10是0.5的倍数。（ ） 能力提升 6. 在 3×9=27 中，3和9是27的（ ），27是3和9的（ ）。 7. 妈妈买了一些苹果，总个数在40～50之间，3个3个地数多1个，5个5个地数也多1个。妈妈买了多少个苹果？（列式或写思路） 8. 一个数，它既是12的因数，又是12的倍数，这个数是（ ）。 9. 三（1）班有36人，体育课上林老师要把这些同学分成人数相等的几个小组（每组不少于2人），有几种不同的分法？ 10. 一个数在60到80之间，它是8的倍数，又是12的因数。这个数可能是多少？ 提优拓展 11. 面包店运来24个甜甜圈，如果每袋装同样多，且全部装完（至少装2袋），可以有几种装法？每种装法每袋分别装几个？ 12. 将36名同学分组做游戏，每组人数相同且不少于5人，不超过15人，有几种分法？请列出所有可能。 13. 猜数：一个数比20大比30小，它是偶数，又有因数7，这个数是（ ）。 14. 找出 50 以内既是 6 的倍数又是 8 的倍数的数。 15. 一个长方形的周长是36 cm，长和宽都是整厘米数。它的长可能是多少厘米？宽呢？（填表） 四、课堂小结 请回顾并填写： 1. 在乘法算式 a×b=c（a、b、c均为非0自然数）中，a和b都是c的（ ），c是a和b的（ ）。 2. 一个数的最小因数是（ ），最大因数是（ ），因数的个数是（ ）。 3. 一个数的最小倍数是（ ），（ ）最大倍数，倍数的个数是（ ）。 4. 找因数的方法：从（ ）开始，一对一对地找。 【我的收获】 通过本节课的学习，我知道了：____________________________________________。 【我的疑问】 ________________________________________________________________________。 五、答案解析 基础巩固 1. 8和5是40的因数，40是8和5的倍数。 【解析】 乘式直接转化因数倍数关系。 2. 1、3、5、15 【解析】 15=1×15=3×5，因数有1、3、5、15。 3. 13、26、39、52、65、78、91 【解析】 13依次乘1～7。 4. 1；本身 5. × 【解析】 研究因数和倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。0.5不是自然数。 能力提升 6. 因数；倍数 7. 46个 【解析】 总个数=3和5的公倍数+1。在40—50之间3和5的公倍数为45，45+1=46个。检验：46÷3=15……1，46÷5=9……1，符合。 8. 12 【解析】 一个数既是自己的因数也是自己的倍数。 9. 7种 【解析】 求36的因数（除1外）：2、3、4、6、9、12、18、36，每个因数作为组数均满足，组数不少于2组即因数≥2。所以有8种？需注意每组不少于2人，组数可以为2、3、4、6、9、12、18、36共8个因数（除组数=36外对应的每组即1人，不符合每组≥2人要求）。则组数有2、3、4、6、9、12、18共7种。 10. 没有这样的数。（检查：8的倍数在60—80间：64、72、80。12的因数有：1、2、3、4、6、12，三个数都不在。本题为思维训练，结论可能为不存在。） 提优拓展 11. 7种。 每袋装1个（不符合要求？至少装2袋，每袋装1个可装24袋，要求每袋同样多，可每袋1个、2个、3个、4个、6个、8个、12个、24个。排除每袋24个只装1袋），满足至少装2袋的共7种装法。 12. 3种。分别为：每组6人分6组；每组9人分4组；每组12人分3组。 【解析】36的因数中，在5—15之间的有6、9、12。 13. 28 【解析】20—30之间的偶数：22、24、26、28；其中是7的倍数的是28。 14. 24、48 【解析】6和8的最小公倍数是24。50以内24的倍数：24、48。 15. 长/cm 宽/cm 10 8 11 7 12 6 13 5 14 4 15 3 16 2 17 1 【解析】周长36cm，长+宽=18cm。长为整数且大于宽。 学科网（北京）股份有限公司 $