2026届高考数学解答题限时集训（十三）

限时集训：2026高考数学解答题（十三) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(I3分)记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，sinB sinC 1+cosB 2-cosC (1)证明：a,b,c成等差数列： 2)若B=60°，延长BC至D,使得BC=2CD,求4D AB 【答案】(1)证明见解析 2D-7 AB2 【分析】(1)根据已知结合两角和的正弦公式，诱导公式及正弦定理即可证明： (2)由B=60°及已知得出三角形ABC是等边三角形，设AB=2k(k>O),则CD=k,由余 弦定理即可求解. 【详解】(1)因为，sinB sinC ,所以2sinB-sinBcosC=sinC+cosBsinC, 1+cosB 2-cosC 2sinB-sinC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C), 因为A+B+C=l80°，所以sin(B+C)=sin(180°-A)=sinA,所以2sinB=sinA+sinC, 由正弦定理得，2b=a+c,所以a,b,c成等差数列. 2)因为9=，代入，。-2c可得n(C,0=1 因为0<C<120°，所以C=60°，所以△ABC是等边三角形， 设AB=2k(k>0),则CD=k,在△ACD中，由余弦定理， 得AD=VAC2+CD2-2AC-CD·cos∠ACD=V7k,所以D-5 AB 2 16.(15分)如图甲，多边形ABCDE是由一个等腰三角形ABE和一个菱形BCDE组成，其 中AB=AE=√13，BC=2,∠D=60.现将△ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置，得到 四棱锥P-BCDE,如图乙所示. D D E G B 甲 (I)求证：PC⊥CD: (2)如图乙，若二面角P-BE-D的大小为120°，点G为△PBE的重心，点F在线段BC上，且 BF=-BC. 3 ()求证：GF/平面PCD; (m)求平面CGF与平面PCD夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)()证明见解析 (i) 5v5 14 【分析】(1)要证明线线垂直，可证明CD垂直于含有PC的平面即可 (2)(1)建立空间直角坐标系，利用已知条件将点P,C,D,G,F的坐标表示出来，然后将平 面PCD的法向量求出来，最后利用向量的数量积是否为0即可证明；()将平面CGF的法 向量求出来，基于()中求出的平面PCD的法向量，利用两个法向量的数量积公式可将两 平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值， 【详解】(1)证明：取BE的中点H,连接PH,CH,CE 因为△PBE为等腰三角形，点H为BE的中点，所以PH⊥BE,因为四边形BCDE为菱形， 所以BE/CD,所以PH⊥CD.因为四边形BCDE为菱形， 所以△BCE为等边三角形，所以CH⊥BE,进而CH⊥CD 又PH∩CH=H,所以CD⊥平面PCH,又PCc平面PCH,所以PC⊥CD G B (2)(i)以H为原点，HB,HC以及垂直于平面BCDE的直线分别为x,y,z轴，建立空间直 角坐标系.因为PH⊥BE,CH⊥BE,二面角P-BE-D的大小为120°，所以∠PHC=120°. 则aLao.caao.p20小.p5r作5小da9 所以PC=(0,2N5,-3),CD=(-2,0,0),GF 225 设平面PCD的法向量为i=(x,y,z),则 PC=0 2V3y-3z=0 所以 CD-=0 -2x=0 ，令y=1,则万 fau2 所以G际元=0x2+1x251×2 -=0 3 3 所以GF与平面PCD的法向量垂直，所以GF/平面PCD. (ii) 设平面CGF的法向量为m=(x,y,z), 4v5 CGm=0 则 所以 3y+2s0 ,令y=1,则 GF-m=0 2.,2 3 -y-z=0 1+234W5 11 3x=5,所以m= ,14v3 所以cos(m,= mn 3 3 s3、11 3 网 416、 1414 B+1+3×+3 3 所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为 1 4 14 ZA D 17.(15分)为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机 器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好， 是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两 类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展 测试 (I)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率： (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X,求X的分布列及数学期望E(X). 【将案10月 ②x的分布列见解折，E(X)）=专 【分析】(1)利用条件概率公式计算即可求解： (2)利用超几何分布求解即可。 【详解】(1)记第一次抽取到有效馆藏图书为事件A,第二次抽取到有效馆藏图书为事件B, 2 则小-子国-是-子所a利 P(AB)5_3 P(A)25' 3 所以第二次也袖取到有效馆藏图书的概率 (2)随机变量X的值为0,1,2， C-6-2 ΓC155 所以X的分布列为： X 0 1 2 15 15 5 所以E(X)=0×1+1x8+2x24 1515 53 18.15分)已知4B分别是双酯线C:等君=1(e>00>0)的左：有顶点，点r 2 是双曲线C上的一点，且BP} (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点(4,0)的直线l:x=y+4,交双曲线C的左、右两支于D,E两点（异于A,B). (i)求m的取值范围； (i)设直线AD与直线BE交于点Q,求证：点Q在定直线上. 【答案】片=1 (2)(i)m的取值范围为(-∞，-2)U(2,+o):(i)证明见解析. 【分析】(1)根据BP=3求出a=2或a=4,验证后a=4不符合题意舍去，然后求出62=1， 得到双曲线方程： (2)(i)由题意知，直线1的方程为x=my+4,设D(x,y),E(x2,2),联立双曲线和直 线方程，结合根的判别式和y2>0得到不等式组，从而求出m的取值范围： ()在(i)的基础上，得到两根之和，两根之积，得到y必，= 3(y+y2 表达出直线AD -2m 与直线E的方程，联立得到x-2+2”+64,将以-3(+代入，化简得到x=1 3y2-y -2m 即可得证 【详解】(1) B 解得a=2 或a=4,若a=4,则双曲线C的方程为-二 16b2 =1(b>0), 2 因为P35 2 是C上一点，所以32 解得b2=- 20 （2 不满足题意： 7 16 b2 若a=2, 则双曲线C的方程为 y2 46京=1(b>0), 因为P35 v)2 是C上一点，所以32 ,解得b2=1,满足题意： =1 4 b2 所以双曲线C的方程为-少=1： 4 (2) Q/D AO B (i)由题意知，直线I的方程为x=my+4,设D(x,y),E(x2,y2), x2 联立4=1 ,化简得(m2-4)y2+8my+12=0, (x=my+4 因为直线1与双曲线左右两支相交，所以y2>0, m2-4≠0 所以{(8m)-48(m2-4)>0,解得m<-2或m>2, 12 (m24>0 所以m的取值范围为(-o,-2)U(2,+oo): (ii)为+y2 -8m m2-4’h m一4则=3+2) 12 -2m 直线0的方程为y三x+2O,直线E的方程为少2-2回 x+2 联立0@得2+2引产2-2)，所以4+2+2)4习 m+4-2-2), 化简得(3y-乃)x=2my+2y+6y,所以x2m5+29+2 2n30+2+6, -2m 3y-y=1 3y%-4 3y-片 3y-% 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上. 2 19.(17分)己知函数f(x)=lnx+二-a(x+1)(a∈R). (1)当a=0时，求f(x)的最小值： (2)若，x,(:<x)是f)的两个极值点，且三≥2，求a的最大值. 【答案】(1)1+ln2 a时 【分析】(1)求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最小值： (2)求导，得到x,x,(x<x2)是方程x2-x+2=0的两个正根，从而得到不等式，求出 ☑发，由韦达定理整理得到2+生=2，结合函数单调性得到-22多， x x2 2a 2a 案 解】0D当a=0时，f)=nx+2,定义域为0，+o,所以了)=三 当x>2时，f'(x)>0,当0<x<2时，'(x)<0, 所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+oo)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)=1+n2. (2)由题意知，函数f()的定义域为(0，+∞)，求导得f)=-ar+x-2, 因为x,x2(<2)是f(x)的两个极值点， △=1-8a>0, 所以5k任<)是方程m-文+2=0的两个正根，则有任+名合解得0<a<令 2 xx3=二>0， a 2 且（出+x) ,而s+-+2+E-点+2点，所以点+点=-2， 1 x式2 22a xX2 xX2 X x2 2a a 又点≥2，下面证明y=1+,在1∈[2，+∞)上单调递增，理由如下： t 1-0在1e+@)上相皮立，故r+在.-小止单递瑞， 点+5=点+1≥ 易知+号元+五之2，即22≥3，所以0<as)故a-) 1 2a限时集训：2026高考数学解答题（十三) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sinB sinC 1+cosB 2-cosC (I)证明：a,b,c成等差数列； 2若B=60°，延长BC至D,使得BC=2CD,求4D AB 16.(I5分)如图甲，多边形ABCDE是由一个等腰三角形ABE和一个菱形BCDE组成，其 中AB=AE=√13，BC=2,∠D=60°.现将△ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置，得到 四棱锥P-BCDE,如图乙所示 P E G 甲 (1)求证：PC⊥CD: (②)如图乙，若二面角P-BE-D的大小为120°，点G为△PBE的重心，点F在线段BC上，且 BF-1BC (①)求证：GFI1平面PCD; ()求平面CGF与平面PCD夹角的正弦值 17.(15分)为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机 器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好， 是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器入应正确排除的无效图书.两 类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展 测试 ()己知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X,求X的分布列及数学期望E(X)· 18。《15分)已知AB分别是双面线C:等茶-a>06>0的去、右顶点，点 3 是双线C上的一点，且B职-子 (1)求双曲线C的方程； (2)己知过点(4,0)的直线l:x=my+4,交双曲线C的左、右两支于D,E两点（异于A,B), (i)求m的取值范围； (ⅱ)设直线AD与直线BE交于点Q,求证：点Q在定直线上. 19.(17分)已知函数f=nx+2-ax+1a∈R). (1)当a=0时，求f(x)的最小值： (2)若x,x(x<x)是f)的两个极值点，且点≥2，求a的最大值. 限时集训：2026高考数学解答题（十三） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：，，成等差数列； (2)若，延长至，使得，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合两角和的正弦公式，诱导公式及正弦定理即可证明； （2）由及已知得出三角形ABC是等边三角形，设，则，由余弦定理即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由正弦定理得，，所以，，成等差数列． （2）因为，代入，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 设，则，在中，由余弦定理， 得，所以． 16．（15分）如图甲，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成，其中.现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥如图乙所示. (1)求证:； (2)如图乙，若二面角的大小为点为的重心，点在线段上，且. (i)求证:平面; (ii)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析 （ii） 【分析】（1）要证明线线垂直，可证明垂直于含有的平面即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面的法向量求出来，最后利用向量的数量积是否为0即可证明；（ii）将平面的法向量求出来，基于（i）中求出的平面的法向量，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点，连接. 因为为等腰三角形，点为的中点，所以，因为四边形为菱形， 所以，所以.因为四边形为菱形， 所以为等边三角形，所以，进而. 又，所以平面，又平面，所以. （2）（i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系.因为，二面角的大小为120°，所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则. 所以. 所以与平面的法向量垂直，所以平面. （ii），，设平面的法向量为， 则，所以，令，则 ，所以.所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 17．（15分）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)X的分布列见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式计算即可求解； （2）利用超几何分布求解即可. 【详解】（1）记第一次抽取到有效馆藏图书为事件，第二次抽取到有效馆藏图书为事件， 则，，所以， 所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）随机变量的值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 18．（15分）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为；（ii）证明见解析． 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【详解】（1） 由题意可知，，，因为，解得或，若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ），，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得，所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 19．（17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若是的两个极值点，且，求a的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最小值； （2）求导，得到是方程的两个正根，从而得到不等式，求出，由韦达定理整理得到，结合函数单调性得到，求出答案. 【详解】（1）当时，，定义域为，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为． （2）由题意知，函数的定义域为，求导得， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个正根，则有解得． 且，而，所以， 又，下面证明在上单调递增，理由如下： 在上恒成立，故在上单调递增， 易知，即，所以，故． 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（十三） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(I3分)记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，sinB sinC 1+cosB 2-cosC (1)证明：a,b,c成等差数列： (2)若B=60,延长BC至D,使得BC=2CD,求4D AB I6.(I5分)如图甲，多边形ABCDE是由一个等腰三角形ABE和一个菱形BCDE组成，其 中AB=AE=V13,BC=2,∠D=60.现将△ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置，得到 四棱锥P-BCDE,如图乙所示. D E G-- D 甲 乙 (1)求证：PC⊥CD: (2)如图乙，若二面角P-BE-D的大小为120°，点G为△PBE的重心，点F在线段BC上，且 (①)求证：GF/平面PCD; ()求平面CGF与平面PCD夹角的正弦值. 17.(15分)为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人.现对该机 器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好， 是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两 类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展 测试. (I)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率： (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X,求X的分布列及数学期望E(X). 18.(15分)已知4，B分别是双曲线C:上 去=>0>0)的左，右顶点，点P35】 是双曲线C上的一点，且BP=? 2 (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点(4,0)的直线l:x=y+4,交双曲线C的左、右两支于D,E两点（异于A,B). (i)求m的取值范围： (ⅱ)设直线AD与直线BE交于点Q,求证：点Q在定直线上. 19.(17分)已知函数f)=lnx+2-ax+1(a∈R). (I)当a=0时，求f(x)的最小值： (2)若，(x<)是fm)的两个极值点，且点≥2，求a的最大值. X