2026届高考数学解答题限时集训（十四）

限时集训：2026高考数学解答题（十四） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若· 从下列三个条件中任选一个作为已知补充在横线上，并回答问题. 05=f-m②a+n+=244=12,@受-8≥28-20 (1)求{an}的通项公式： (2)若{bn}满足b=a2, bL=2,求数列{a。b,}的前n项和T. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. I6.(I5分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD,且BC=BD=BA, ∠CBA=∠CBD=I20°，点P在线段AC上，点Q在线段CD上. …C D4 (I)求证：AD L BC; O诺4C1平面aP0,求6的值： (3)在(2)的条件下，求平面ABD与平面PBQ所成角的余弦值. 17.(15分)把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中， 目其中的红球古比依次为子、子、一现面机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为转 然后从选取的盒子中随机摸出一个球， (I)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“R”. (i)求“R”是从乙盒摸出的概率； ()将“R”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. &,(I7分)在平面直角坐标系x0中，已知椭圆C:京+=a>b>0的离心率为2 2 且右焦点F到直线1：x=-a的距离为6N5. M (1)求椭圆的标准方程： (2)设椭圆C上的任一点M(x,y),从原点O向圆M:(x-x)2+(y-,)2=8引两条切线，设 两条切线的斜率分别为k,k(kk≠0)， (i)求证：kk,为定值； (i)当两条切线分别交椭圆于P,Q时，求证：OPP+OQP为定值. 19.(17分)设函数f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aeR. (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间： (3)已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围。限时集训：2026高考数学解答题（十四) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若· 从下列三个条件中任选一个作为已知补充在横线上，并回答问题. ①S=n-n:②a,+a,+a,=24a,=12:③4=n+ S,m-n≥2，S,=20. (I)求{an}的通项公式： (2)若{bn}满足b=a ,b1=2,求数列{a,b,}的前n项和T· b. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 16.(15分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD,且BC=BD=BA, ∠CBA=∠CBD=120°，点P在线段AC上，点Q在线段CD上 D 0 (I)求证：AD⊥BC; ②若4C1平面BrPQ,求S的能： (3)在(2)的条件下，求平面ABD与平面PBQ所成角的余弦值 17.(15分)把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中， 且其中的红球占比依次为亏亏、亏 2、3、4现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为〉一 然后从选取的盒子中随机摸出一个球 ()求摸出的球是红球的概率； (②)若摸出的球是红球，记该红球为“R” ()求“R”是从乙盒摸出的概率； ()将“R”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率 18.(17分)在平面直角坐标系x0,中，已知椭圆C:+二 2+2=1(a>b>0)的离心率为V2 且右焦点F到直线1：x=-口的距离为6√5 (1)求椭圆的标准方程： (2)设椭圆C上的任一点M(x,y),从原点0向圆M:(x-x)+(y-)=8引两条切线，设 两条切线的斜率分别为k,k,(k,k,≠0)， (1)求证：kk2为定值； ()当两条切线分别交椭圆于P,Q时，求证：OPP+OQ2为定值 19.(17分)设函数f(x=xlnx-ax2+(2a-1x,aeR. (1)若a=0,求曲线y=f(x在点1，f(1)处的切线方程； (2)令gx=f'x,求gx的单调区间； (3)己知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围. 限时集训：2026高考数学解答题（十四） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的前项和为，若_____． 从下列三个条件中任选一个作为已知补充在横线上，并回答问题． ①；②；③． (1)求的通项公式； (2)若满足，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①利用与之间的关系式即可求出通项公式；②可以利用等差中项以及所给条件求出公差，再求通项公式即可；③利用所给关系式以及等差中项即可求出首项，进而求出公差，再求通项公式即可. （2）利用错位相减法以及等比数列的前项和公式即可求出. 【详解】（1）选择条件①： 因为，当时，， 所以， 又因为满足，所以． 选择条件②： 由可得，解得， 设等差数列的公差为，因为，则，解得， 所以，故． 选择条件③： 设等差数列的公差为，由得， 当时，，即，解得． 又因为，所以，则公差． 故． （2）由（1）知，又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 故，则， 从而①， ②， 由①－②得：， 整理得． 16．（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上. (1)求证：； (2)若平面，求的值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解. （3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）证明：过作直线于，连接. 由题知， ，即， 又平面,平面， 又平面， ，即 （2）方法一：平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正 方向建立空间直角坐标系，如图，则. 平面. 为中点，由题知 设， ， ， 又在中，， 所以. 方法二：平面.设，由知，. 平面平面，平面平面平面， 平面，又平面，又， 平面. （3）由（2）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则令则，， 平面与平面所成角的余弦值为. 17．（15分）把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）（i）借助贝叶斯公式计算即可得；（ii）借助条件概率公式及全概率公式计算即可得. 【详解】（1）设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则； （2）（i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ，分别记、、为、、， 则. 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为， （i）求证：为定值； （ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）直接列出关于的方程组求解； （2）（i）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出与的关系，从而得出是某个一元二次方程的解，利用韦达定理可得； （ii）设，利用及椭圆方程求得，再求得后可得． 【详解】（1）题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为， 由，化简得， 同理. 所以是方程的两个不相等的实数根， 则. 又因为，所以， 所以. （ii）证明：由（得，，设，则，即， 因为，所以， 得，即， 解得， 所以， 所以为定值. 19．（17分）设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）直接利用导数与切线斜率的关系即可求解； （2）分和两种情况，然后求解不等式和即可得到的单调区间； （3）对不同区间的进行分类讨论，并判断在附近的单调性，即可得到结果. 【详解】（1）若，则，从而， 故，从而曲线在点处的切线斜率为，故所求切线为直线. 又，故所求切线方程为. （2）由，知. 当时，，故在上单调递增； 当时，； 从而的解集是，的解集是. 这表明在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）首先我们有. 当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减. 这意味着当时，；当时，. 故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 而，故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递减. 注意到此时，故当时，； 当时，. 从而在上单调递增，在上单调递减， 这说明是的极大值点，满足条件. 综上，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（十四） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若· 从下列三个条件中任选一个作为已知补充在横线上，并回答问题. ①S=m-n:②a+a,+a,=24a,=12:③=n+( (n22),S,=20. S,n-1 (I)求{an}的通项公式： (2)若{bn}满足b=a ,bu=2,求数列{a,b,}的前n项和7.· 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)an=2n-2 (2)Tn=8+2+2.(n-2) 【分析】(1)①利用an与Sn之间的关系式即可求出通项公式：②可以利用等差中项以及所 给条件求出公差，再求通项公式即可；③利用所给关系式以及等差中项即可求出首项，进而 求出公差，再求通项公式即可. (2)利用错位相减法以及等比数列的前n项和公式即可求出T,. 【详解】(1)选择条件①： 因为Sn=n2-n,当n≥2时，Sn1=(n-1)-(n-1)=n2-3n+2, 所以an=Sn-Sn1=(n2-n)-(n2-3n+2)=2n-2(n≥2)， 又因为a1=S1=0满足an=2n-2,所以an=2n-2. 选择条件②： 由a4+a+a6=24可得3a=24,解得a=8, 设等差数列{an}的公差为d,因为a,=12,则a,-a=2d=12-8=4,解得d=2, 所以a=a-4d=8-4×2=0,故an=0+2(n-1)=2n-2. 选择条件③： 设等差数列{an}的公差为d,由 Smn+1 Sn-得(a+S,=n-1)S, 当n=2时，3S2=S3,即3(a+a2)=3a2,解得a1=0 又因为S,=5a,=20,所以4，=4，则公差d=44=2. 2 故an=0+2(n-1)=2n-2. 2)由（1)知乌=4，=2，又因为会=2，所以0}是首项为2，公比为2的等比数列， 故bn=2”,则anbn=(2n-2)2”, 从而Tn=0×2+2×2+4×23+…+(2n-2)2"①， 2Tn=0×22+2×23+…+(2n-4)2”+(2n-2)2m+1②， 曲0-②得：-7=22+2+…+2）)(2n-习2=20-2】-x7n-小 1-2 整理得Tn=8+2+2.(n-2). 16.(15分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD,且BC=BD=BA, ∠CBA=∠CBD=120°，点P在线段AC上，点Q在线段CD上. B D (I)求证：AD L BC: a若4C1平面B吧，求5的值， (3)在(2)的条件下，求平面ABD与平面PBQ所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 、BPV5 ②B02 36 5 【分析】(1)根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证， (2)建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角 形的边角关系求解 (3)建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解 【详解】(1)证明：过A作AO⊥直线BC于O,连接DO. 由题知BA=BD,BO=BO,∠ABO=∠DBO=60°， .∴△ABO三△DBO,.∠DOB=∠AOB=90°，即BC⊥DO, 又BC⊥AO,AO∩DO=O,AO,DOC平面AOD,.BC⊥平面AOD, 又ADc平面AOD, .BC⊥AD,即AD⊥BC (2)方法一：：平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC, AO⊥BC,AOC平面ABC.AO⊥平面BCD. 以O为原点，以OB的长度为单位长度，以OD,OC,OA的方向分别为x轴，y轴，z的正 方向建立空间直角坐标系0-z,如图，则D(V5,0,0,A(0,0,V3),(0,1,0),C0,3,0 :AC⊥平面BPQ,∴AC⊥BP,AC⊥BQ. BA=BCP为AC中点，由题知CD=(V5,-3,0,AC=(0,3,-V5) 设B0=BC+cD=(0,2,0)+N3,-3,0)N32,2-32,0, 4c-80=3(2-3刘-02子 ∴B0= 2V5 又在△ABC中，BC=BA=2,∠ABC=120°， 所以BP=l BP3 BO 2 方法二：AC⊥平面BPQ∴.AC⊥BP,AC⊥BQ.设BA=BC=2,由∠ABC=120°知， .BP=1. :平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AO⊥BC,AOC平面ABC, .AO⊥平面BCD,又BQc平面BCD,∴.AO⊥BQ,又AC⊥BQ,AC∩AO=A, ∴.BQ⊥平面ABC.BQ⊥BC. 8C=2,∠8CQ=30,B0=2x523BPV5 33“B02 (3)由(2)知，平面PBQ的一个法向量为AC, 设平面ABD的一个法向量为万=(x,y,z)AB=(0,1,-5)DB=（B1,0）, i丽=y-5e=0,令y=5,则元=5，小，cosC,- AC.n。 25-V5 则 DB=-3x+y=0, ACm23×55 三平面4BD与平面PBQ所成角的余弦值为5 17.(15分)把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中， 且其中的红球占比依次为 、氵、：现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为 5、55 然后从选取的盒子中随机摸出一个球 (I)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“R” (i)求“R”是从乙盒摸出的概率； (ⅱ)将“R”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率， 【答案1写 29 2)(D3(i) 【分析】(1)借助全概率公式计算即可得： (2)()借助贝叶斯公式计算即可得；（ⅱ）借助条件概率公式及全概率公式计算即可得 【详解】(1)设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件A、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件B、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件C、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件D, 则Po-P)Po小-5号 13 (2)(i)P(BD)= P(BD)P(B)P(D B)3X3 1 P(D) P(D) (i)设将“R”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件E, 12 P(4D)P(A)P(D)3*3_2 P(4P)-P(D) P(D) 39’ 5 14 P(CD)P(C).P(DC)_3%3 P(CD)=(D) P(D 3 g,分别记AD、BD、CD为H、1、J, 5 2.2,1.3.4.429 则P(E)=P(H)P(EH)+P(I)P(E)+P(J)P(EJ）=×+×2+×-= 95359545 8,7分)在平面直角垫标系x0中，已知椭因C号+发a>6>0叭的离心率为 2 且右焦点F到直线1：x=-a的距离为65. (1)求椭圆的标准方程： (2)设椭圆C上的任一点M(x,),从原点O向圆M:(x-x,)+(y-)}=8引两条切线，设 两条切线的斜率分别为k,k2(飞k2≠0)， (i)求证：kk2为定值： ()当两条切线分别交椭圆于P,Q时，求证：OP2+OQ2为定值， 【紫案1四学若 (2)(i)证明见解析；(i)证明见解析 【分析】(1)直接列出关于a,b,c的方程组求解： (2)()写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出k,k2与x,的关系，从而得 出k,k2是某个一元二次方程的解，利用韦达定理可得； ()设P(x,),Q(x,),利用kk,=-】及椭圆方程求得X+,再求得+巧后可得 0P2+002. c-2 a2 【详解】(1)题意， c+=6N5,解得a=26.c=2W5,b=2N5, b2=a2-c2 所以精圆c的方程为兰+广：1。 2412 (2)(i)证明：依题意，两条切线方程分别为y=kx,y=kx, -W=22,化简得(-8)片-26+6-8=0， 由 1+k2 同理(x-8)k3-2xyk2+y-8=0. 所以k,k是方程(x号-8)k2-2xyk+乃-8=0的两个不相等的实数根， 则6=日二8 x-8 又因为三+片=1，所以6=12-2， 2412 所以kk= 2--86-8) x6-8 x6-8 2 (0证男：由(0得，k=弓设P().Q(,),则堂台=分：即对-花。 因为 2412 =12-x ,所以 2 2412 乃=12- 2 2-〔2)6，即14-6+)+- 解得x2+x号=24， 所以+g=2+12=24+)=24x24=12. 所以OP2+O0=x2++x号+y=36为定值. 19.(17分)设函数f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R. (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间： (3)已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围， 【答案】(1)y=-1 1 (2)当a≤0时，g(x)在(0，+∞)上单调递增：当a>0时，g(x)在0， 上单调递增，在 2a 上单调递减 (3)a> 2 【分析】(1)直接利用导数与切线斜率的关系即可求解： (2)分a≤0和a>0两种情况，然后求解不等式g'(x)>0和g'(x)<0即可得到g(x)的单调 区间： (3)对不同区间的a进行分类讨论，并判断f(x)在x=1附近的单调性，即可得到结果。 【详解】(1)若a=0,则f(x)=xnx-x,从而f'(x)=lnx+1-1=lnx, 故∫'()=0，从而曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0，故所求切线为直线y=f() 又f()=-1,故所求切线方程为y=-1. (2)由g(x)=f(x)=lnr-2amx+2a,知g(x)=1-2a 当a≤0时，g(x)=1-2a>-2a≥0，故g(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时g)-2-0名小月 从而g(,)>0的解集是0, 2a ,g(x)<0的解集是 这表明()在(0石 上单调递增，在 上单调递减。 综上，当a≤0时，8()在(0+四)上单调适增：当a>0时，g()在(Qa 上单调递增，在 (品上单调运说 (3)首先我们有f'(1)=lnl-2a+2a=0 当a=。时，由上一问结论，知f'(x)=g(x)在(0，I)上单调递增，在(1，+o)上单调递减 这意味着当0<x<1时，'(x)<'(1)=0;当x>1时，f'(x)<f'(=0, 故f(x)在(0,1)和(1，+∞)上均单调递减，从而x=1不是f(x)的极值点，不满足条件： 当0<a<时，由上-问结论，知/'()=8()在0,2a 上单调递增， 而1<云故∫()在12a)上单调递增。 这表明当x品时，有f>0=0,从面)) 上单调递增， 故x=1不可能是∫(x)的极大值点，不满足条件： 当a≤0时，由上一问结论，知f'(x)=g(x)在(0，+o)上单调递增， 故f'(x)在(1，+∞)上单调递增 这表明当x∈(1，+o)时，有f'(x)>f'(1)=0,从而f(x)在(1，+∞)上单调递增， 故x=1不可能是f(x)的极大值点，不满足条件： 当a时，由上一间结论：知/创8在a 上单调递减。 注此时0，校当（会云时./小0=0， 当x∈(L,+∞)时，f'(x)<f'(1)=0 从而国在云小上单调递增，在化+)止单调递减。 这说明x=1是f(x)的极大值点，满足条件. 综上，a的取值范围是a>} 21