2026届高考数学解答题限时集训（十一）

限时集训：2026高考数学解答题（十一） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在数列a,}中，已知a,n24,a=方 an 1 (1)求证数列 -1是等比数列： a。 (2)设bn=l0g2 a ,记数列c的前项和为S,若2以-1≥S,对于neN恒 成立，求1的取值范围 16.(I5分)如图，在三棱柱ABF-DCE中，侧面ADEF⊥侧面ABCD,侧面ABCD为矩 形，∠FAD=120°，AD=2AF=4,点M在棱FB上，且BD//平面AME. D B (1)求证：MB=MF; (②若三棱锥M-ABF的体积为25， 点N为BC的中点，求平面MAE与平面NAE夹角的余 3 弦值. 17.(15分)晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金、罩漆、抛光 三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.己知某工艺师在描金、罩漆、抛光环节的 成时率分为号 (各环节相互独立)若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失 25元；若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功， 则为精品普品和精品均为成品，可对外销售，假设每件漆器的制作过程相互独立 (1)求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率； (②)该工艺师共制作件漆器，记其中精品的数量为X,普品的数量为y,若 E(Y)-E(X)=5,求n的值； (③)该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售， 普品每件可获利80元，精品每件可获利300元；方案②：成品全部线上零售，在方案①获 利的基础上，每件成品均需支付5元快递费，且每件精品可获得25元的线上平台补贴分别 求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好 18.(17分)在平面直角坐标系x0y中，点T到点0,2V2)的距离是它到直线y=√2距离的 √2倍，记点T的轨迹为C (1)求C的方程： (2)设点A为C的下顶点，直线1过点P(0,且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P 的直线交C于G,H两点，直线AG,AH分别交I于M,N两点 (1)证明：OM.ON为定值； (i)是否存在实数t使得0，A,N,M四点共圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理 由 19.(17分)己知函数fx=e-ax-1a∈R,gx=xlnx-x. (1)当a=-1时，求曲线y=∫(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)令F(x=f(x)-gx,求函数F(x)在(0，+0)上的零点个数. 限时集训：2026高考数学解答题（十一） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）可得，故 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 由单调递增，可知，，故，解得， 即的取值范围为. 16．（15分）如图，在三棱柱中，侧面侧面，侧面为矩形，，，点在棱上，且平面．     (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为，点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，连接，利用线面平行的性质，结合三角形中位线的性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质，结合锥体体积公式求出，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，连接， 由平面，平面平面，平面，得， 由四边形为平行四边形，得是线段中点，因此是线段的中点， 所以. （2）由侧面为矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，过点作交于， 于是平面，在中，，， 则，， 解得，由（1）得，令边上的高为， 由，得，在平面内过作，由（1）得平面， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，又点为的中点，则， ， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（15分）晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金､罩漆､抛光三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.已知某工艺师在描金､罩漆､抛光环节的成功率分别为（各环节相互独立）.若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失25元；若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功，则为精品.普品和精品均为成品，可对外销售，假设每件漆器的制作过程相互独立. (1)求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率； (2)该工艺师共制作件漆器，记其中精品的数量为，普品的数量为，若，求的值； (3)该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售，普品每件可获利80元，精品每件可获利300元；方案②：成品全部线上零售，在方案①获利的基础上，每件成品均需支付5元快递费，且每件精品可获得25元的线上平台补贴.分别求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好. 【答案】(1) (2) (3)100元，元，方案②更好 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式，将描金、罩漆、抛光三道工序成功的概率直接相乘，得到一件漆器为精品的概率； （2）先确定精品、普品件数服从二项分布，写出各自的期望表达式，再根据两者期望的差值建立方程，解出制作漆器的总数； （3）分别列出两种方案下单件漆器利润的分布列，计算各自的数学期望，通过比较期望大小判断更优方案 【详解】（1）设事件为“描金成功”，事件为“罩漆成功”，事件为“抛光成功”， 则，且相互独立. 所以该工艺师制作的一件漆器为精品的概率为. （2）由题可知该工艺师制作一件漆器为精品的概率，为废品的概率，为普品的概率. 由题可知，故. 因为，所以，解得. （3）当采用方案①时，设一件漆器的利润为元，则的所有可能取值为，的分布列为 -25 80 300 所以（元）. 当采用方案②时，设一件漆器的利润为元，则的所有可能取值为，的分布列为 -25 75 320 所以（元）. 因为，所以对该工艺师来说，方案②更好. 18．（17分）在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在， 【分析】（1）设，将题设中的几何性质代数化后可求的方程； （2）（i）设，联立直线方程后可用的坐标表示，再设的直线方程，并联立双曲线方程，消元后结合韦达定理化简可得定值；（ii）根据四点共圆可得对角互补，从而，结合（2）中结果化简前者可求. 【详解】（1）设，由题意可知，化简整理得：， 故的方程为. （2）（i）由题意可知，设， 则直线，直线， 因为在直线上，所以，代入直线方程，可知， 故点的坐标为，同理可得点的坐标为. 当直线斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线，代入双曲线方程中， 可得，所以， 又 ， 所以. （ii）由四点共圆可知，， 又，即，故， 即，所以.所以，又，由， 则，整理可得， 所以， 故，即，所以点坐标为. 19．（17分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由可得，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题意可得，， 令可得， 令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数， ， 令，其中，则， 令，则，由可得，由可得， 所以函数在处取得极大值，也是最大值， 所以，所以，即恒成立， 所以函数在上单调递减，且， 故当时，，所以，则函数在上单调递减， 当时，；当时，. 所以直线与函数的图象有且只有一个公共点， 故函数在上只有一个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训川：2026高考数学解答题（十一） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在数列{a,}中，已知a2-a 1 a=3 (1)求证数列 是等比数列： a 1 (2)设bn=log -,记数列{cn}的前n项和为Sn,若2九-1≥Sn对于neN恒 a, 成立，求的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2[l,+∞） 1一1 【详解】(1) an+an an 所以 仁-小是以二-1=2为首项，2为公比的等比数列 a。 a 2)由可知-=2,6=g 1-1=1og22"=n a 1 111 c.bhn+)nn+S,=G+6+心，=1- +t+1 223 nn+l'n+l 由Sn单调递增，1>0可知，S,<1,故2元-1≥1，解得2≥1， n+1 即2的取值范围为[L,+o). I6.(15分)如图，在三棱柱ABF-DCE中，侧面ADEF⊥侧面ABCD,侧面ABCD为矩 形，∠FAD=120°，AD=2AF=4,点M在棱FB上，且BD/平面AME (I)求证：MB=MF; (2若三棱锥M-AEF的体积为2V5 点N为BC的中点，求平面MAE与平面NAE夹角的余 弦值. 【答案】(1)证明见解析： 2)0 10 【分析】(1)连接DF∩AE=O,连接MO,利用线面平行的性质，结合三角形中位线的性 质推理得证。 (2)利用面面垂直的性质，结合锥体体积公式求出AB,以A为原点建立空间直角坐标系， 求出平面MAE与平面NAE的法向量，再利用面面角的向量法求解， 【详解】(1)在三棱柱ABF-DCE中，连接DF∩AE=O,连接MO, 由BD/I平面AME,平面BDF∩平面AME=MO,BDc平面BDF,得MO//BD, 由四边形ADEF为平行四边形，得O是线段DF中点，因此M是线段BF的中点， 所以MB=MF (2)由侧面ABCD为矩形，得AB⊥AD,而平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面 ABCD=AD ABC平面ABCD,则AB⊥平面ADEF,过点M作MP/IAB交AF于P, 于是MP⊥平面ADEF,在口ADEF中，∠FAD=120°，AD=2AF=4, 则Sw=Saw号4D-4in120-25,专SeMn=25 1 3 3 解得MP=1,由(1)得AB=2MP=2,令ADEF边EF上的高为h, 由SmEF,点，得A-5,在平面ADBF内过A作ELAD,由（①得1平面ABCD, 则直线AB,AD,Az两两垂直，以A为原点，直线AB,AD,Az分别为x,y,z轴建立空间直角坐 ,又点N为BC的中点，则40,0.0)，N2,20,F0,-lV3,E0,33),M(1,号 瓜=20，正-035=--号 设平面NAE与平面MAE的法向量分别为m=(a,b,c),n=(x,y,z), m.AE=3b+√5c=0 则 ,取a=1,得m=(1,-1,V3), m·AN=2a+2b=0 i…AE=3y+V3z=0 ,取y=1,得n=(2,1,-√3)， i·AM=x- 15 z=0 2 所以平面MAE与平面ME夹角的余弦值为1cos(m.mFm:n-一2 vio 1m‖nV5.2210 17.（15分)晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金、罩漆、抛光 三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.己知某工艺师在描金、罩漆、抛光环节的 成功率分别为】 (各环节相互独立)若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失 25元；若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品：若三个环节均成功， 则为精品.普品和精品均为成品，可对外销售，假设每件漆器的制作过程相互独立. (1)求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率： (2)该工艺师共制作n件漆器，记其中精品的数量为X,普品的数量为Y,若E(Y)-E(X)=5, 求n的值： (3)该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售， 普品每件可获利80元，精品每件可获利300元；方案②：成品全部线上零售，在方案①获 利的基础上，每件成品均需支付5元快递费，且每件精品可获得25元的线上平台补贴.分别 求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好 【答案】月 (2)30 (3)100元， 1235 元，方案②更好 12 【分析】(1)利用相互独立事件的乘法公式，将描金、罩漆、抛光三道工序成功的概率直接 相乘，得到一件漆器为精品的概率： (2)先确定精品、普品件数服从二项分布，写出各自的期望表达式，再根据两者期望的差 值建立方程，解出制作漆器的总数n: (3)分别列出两种方案下单件漆器利润的分布列，计算各自的数学期望，通过比较期望大 小判断更优方案 【详解】(1)设事件A为“描金成功”，事件B为“罩漆成功”，事件C为抛光成功”， 期P以)-号P到=PC)-方且BC相直立 3 所以该工之师制作的一件漆器为精品的楼率为P(C)=P(刘P()P(Q)-子子对 2)由题可知该工艺师制作一件漆器为精品的概率R有：为废品的概率 3行为普品的概率B=1-R-B=1-115 B=1-P(A)=1-2=1 4312 -n. 因为E(Y)-E(X)=5,所以 51 2”-4n=5,解得n=30. 4 (3)当采用方案①时，设一件漆器的利润为乙元，则Z的所有可能取值为-25,80,300，Z, 的分布列为 Z -25 80 300 1 5 P 3 12 1-4 所以E(Z)=-25x号+80× 1 +300×。=100(元). 12 4 当采用方案②时，设一件漆器的利润为Z2元，则Z2的所有可能取值为-25,75,320，Z2的分 布列为 Z -25 75 320 P 1-3 12 4 所以E(2)=-25x+75 +320×=1235 12 412 (元) 因为E(乙2)>E(亿)，所以对该工艺师来说，方案②更好 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，点T到点(0,2√2)的距离是它到直线y=√2距离的√2 倍，记点T的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)设点A为C的下顶点，直线I过点P(0,t)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P 的直线交C于G,H两点，直线AG,AH分别交1于M,N两点. (i)证明：OM.ON为定值： (i)是否存在实数t使得O,A,N,M四点共圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理 由. 【答案】①上 441 (2)(i)证明见解析：(i)存在，t=1 【分析】(1)设T(x,y),将题设中的几何性质代数化后可求C的方程： (2)(i)设G(x,y),H(x2,2),M(xM,yM),N(xw,yw),联立直线方程后可用G,H的坐标表 示M,N,再设GH的直线方程，并联立双曲线方程，消元后结合韦达定理化简OM.ON可 得定值；(i)根据四点共圆可得对角互补，从而kAN kou=1,结合(2)中结果化简前者可 求t=1. 【详解】(1)设T(x,y),由题意可知 x2+(y-2V2)2 =√2，化简整理得：y2-x2=4, 故C的方程为上 44 -1. (2)(i)由题意可知A(0,-2),设G(x,y),H(x2,y2),M(xM,yM),N(xw,yw), 则直线4G:y=当+2x-2,直线H:y=+2-2, X (t+2)x 因为M在直线1上，所以yM=t,代入直线AG方程，可知xw= y+2 故点M的坐标为 (t+2)x 同理可得点N的坐标为 出+2 (t+2t. 2+2 当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线GH:y=+,代入双曲线方程少_ -=1中， 44 可得(k2-1)x2+2k+-4=0,所以x+x==-i -2kt t2-4 又(y+2)(y2+2)=(c+1+2)(kx2+1+2)=k2xx2+k(t+2)(x+x2)+t+2)2 =2.-4 k2-1 +2) +(t+2)2=-(t+2)2 k2-1 所以OM.ON=xwxw+ymyw= t+2)2x52 +2=4. (y+2)(y2+2) (ii)由O,A,N,M四点共圆可知，∠ANM+∠AOM=π， 又∠MOP+∠AOM=π，即∠ANM=∠MOP,故tan∠ANM=tan∠MOP= tan∠OMP w所以kow=1U所以a士2又kw=w女士 2,由KAN·koM=1, +2).+2-1,整理可得+2-0以+2)儿+2) 则+2)x为 xx2 -(t+2)2 所u+2.+20+2）.-+2)-+24240. XX2 t2-4t2-4t-2 k2-1 故t=2-t,即t=1,所以点P坐标为(0,1) 19.(17分)已知函数f(x)=e-ax-1(a∈R),g(x)=xnx-x. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)令F(x)=f(x)-g(x),求函数F(x)在(0，+o)上的零点个数. 【答案】()y=0 (2)1个 【分析】(1)当a=-1时，求出(0)、f'(O)的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的 方程： (2)由F()=0可得a=e-1-nx+l,令)=e-1-1nx+1,则函数F(日的零点个 数即为直线y=a与函数h(x)的图象的公共点的个数，利用导数分析函数h(x)的单调性，即 可得出结论. 【详解】(1)当a=-1时，f(x)=ex+x-1,则f'(x)=1-e,所以f(0)=0,f'(0)=0, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=0. (2)由题意可得F(x)=f(x)-g(x)=e-ax-1-xlnx+x,x>0, 令F()=0可得a=e-1-nx+1, 令hy)=一-1nr+l,则函数F(x)的零点个数即为直线y=a与函数h(y)的图象的公共 点的个数， hy)=-e-e+11--(x+1小e+1-x, x2 x2 令p(x)=-(x+1)e+1-x,其中x>0,则p'(x)=-e+(x+1)ex-1=xe-1, 令m(x)=xe-1,则m'(x)=(1-x)e,由m(x)>0可得0<x<1,由m'(x)<0可得x>1, 所以函数m(x)在x=1处取得极大值，也是最大值， 所以m(x)≤m0=。1<0,所以m()<0,即(x)<0恒成立， 所以函数p(x)在(0，+∞)上单调递减，且p(0)=0, 故当x>0时，p(x)<0,所以h(x)<0,则函数h(x)在(0，+o)上单调递减， 当x→0*时，h(x)→+o:当x→+0时，h(x)→-o. 所以直线y=a与函数h(x)的图象有且只有一个公共点， 故函数F(x)在(0，+∞)上只有一个零点.限时集训：2026高考数学解答题（十一） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在数列{a,}中，已知a2-a.,4= 1 (1)求证数列 是等比数列： (2)设bn=log2 1-1 G6,记数列c.}的前n项和为S,若21-1≥S,对于nN恒 1 成立，求的取值范围， I6.(I5分)如图，在三棱柱ABF-DCE中，侧面ADEF⊥侧面ABCD,侧面ABCD为矩 形，∠FAD=120°，AD=2AF=4,点M在棱FB上，且BD/平面AME. F B M D B (I)求证：MB=MF; 2)若三棱锥M-AEF的体积为25， 点N为BC的中点，求平面MAE与平面NAE夹角的余 3 弦值. 17.(15分)晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金、罩漆、抛光 三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.已知某工艺师在描金、罩漆、抛光环节的 成功率分别为与42 ,231 (各环节相互独立)若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失 25元：若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功， 则为精品普品和精品均为成品，可对外销售，假设每件漆器的制作过程相互独立， (1)求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率； (2)该工艺师共制作n件漆器，记其中精品的数量为X,普品的数量为Y,若E(Y)-E(X)=5, 求n的值； (3)该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售， 普品每件可获利80元，精品每件可获利300元：方案②：成品全部线上零售，在方案①获 利的基础上，每件成品均需支付5元快递费，且每件精品可获得25元的线上平台补贴.分别 求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好」 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，点T到点(0,2√2)的距离是它到直线y=√5距离的2 倍，记点T的轨迹为C. (1I)求C的方程： (2)设点A为C的下顶点，直线l过点P(0,t)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P 的直线交C于G,H两点，直线AG,AH分别交I于M,N两点. (i)证明：OM.ON为定值： (i)是否存在实数t使得O,A,N,M四点共圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理 由. l9.(17分)已知函数f(x)=e-ax-1(a∈R),g(x)=xlnx-x. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)令F(x)=f(x)-g(x),求函数F(x)在(0+o)上的零点个数.