2026届高考数学解答题限时集训（十二）

**基本信息** 聚焦高考数学解答题核心模块，整合数列、立几、概率、解几、导数，以题载知构建知识逻辑链，提升数学思维与表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|1|证明等差、求前n项和|递推关系与等差定义转化| |立体几何|1|面面垂直证明、二面角余弦值|空间垂直关系与空间向量应用| |概率统计|1|概率计算、分布列与期望|分步概率与随机变量分布| |解析几何|1|双曲线方程、直线与双曲线位置关系及证明|双曲线基本量与直线和圆锥曲线关系| |函数导数|1|切线方程、最值、单调性求参数|导数几何意义、最值与单调性关系|

限时集训：2026高考数学解答题（十二） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明为等差数列，即证为常数，对条件化简即可证明； （2）先求的表达式，求出，化简通项，再分奇偶讨论前项和即可. 【详解】（1）由得，， 所以 ， 故是首项为1，公差为1的等差数列； （2）因为，所以由（1）可知，，则. 所以 . 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 16．（15分）如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） (1)证明：平面平面； (2)若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）面面垂直判定应用，由两个线线垂直：，，得线面垂直，进而得面面垂直； （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）在半圆柱内，平面，所以； 因为为上底面对应圆的直径，所以， 又，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （2）根据题意以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以，，，，， 所以，， 平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 取，所以， 由图可知，二面角为钝角， 所以所求二面角的余弦值为. 17．（15分）某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品． (1)若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； (2)甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）考虑从甲、乙、丙三种芯片中选且是良品的不同情况，分别计算概率再相加. （2）因为芯片合格需两次光刻都合格，所以用每次光刻为良品的概率相乘，分类讨论计算概率.得到分布列和数学期望. 【详解】（1）记事件为该芯片是良品， 则． （2）设，，分别为甲、乙、丙三种芯片第次光刻为良品， 则，，，，，． 甲芯片是合格品的概率为， 乙芯片是合格品的概率为， 丙芯片是合格品的概率为． 的可能取值为-75，50，175，300， ， ， ， ， 其分布列为 50 175 300 数学期望． 18．（17分）已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. (1)求的方程： (2)已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程； （2）（ⅰ）设，得到DE：.联立双曲线方程，通过讨论和求解即可； （ⅱ）根据四点共线，要证即证，设出直线，，，联立直线方程与椭圆方程得出，将其代入，计算结果为零，即证出． 【详解】（1）由题意得，， 故，，所以的方程为. （2）设，则直线DE：. 由得，（*） （ⅰ）①当，即时， 由（*）可知，，， 此时，直线DE方程为，和双曲线仅有一个公共点，符合题意； ②当，即时，要使直线DE与双曲线仅有一个公共点，则，即， 此时，直线DE方程为，和双曲线仅有一个公共点，符合题意； 综上，直线DE方程为或. （ⅱ）当时，即，解得，因为在线段AB上，故， 由直线DE交于，两点， 设，，则（*）有两个不相等的实根，， 所以即，且，. 故 . 所以，所以，即. 19．（17分）已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为1 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定单调性后可得最小值； （3），.注意，令，求出，分类讨论：时，由的单调性得出（）不可能恒成立，时，证明（）恒成立，从而可得参数范围． 【详解】（1）∵，∴， ∴，， ∴切线方程为， 整理得； （2）∵，令，，则， ∴，∴时，，时，， ∴在单调递减，在单调递增，∴的最小值为，即的最小值为1； （3）当时， ∵，∴， 令，则， 依题意，，，. 若，即时，使得时， 所以即在单调递减，∴时，不合题意， ∴，即，下面证明时符合题意. ∵，，，∴当时， 即在单调递增，∴，， 综上，实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（十二) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知正项数列{a,}满足a=1,且-1=a, a。an1+1 (I)证明：{a}为等差数列： (2)求数列 (-1)” 的前n项和Tn an-an 【答案】()证明见解析 (2)T,=-1+(-1)Vn+1 【分析】(1)证明{a}为等差数列，即证a1-a为常数，对条件化简即可证明： (2)先求a,的表达式，求出4，=瓜，化简通项少=(-1y-(T+),再分奇偶 and-ar 讨论前n项和即可. 【解10由0.2角：心-1 所以a,-a=1, 故{a}是首项为1，公差为1的等差数列： (2)因为a=1,所以由(1)可知，a=1+(n-1)×1=n,则a,=√n 所以-少=(1y-(+1+) anel-an 当n为偶数时， T.=-(2+1+(5+2)+(h+1+hh+1-1 当n为奇数时， T=-N2+1+(5+2)-（+1+h}-h+1-1 综上所述，Tn=-1+(-1)”√n+1 16.(15分)如图，已知一个由半圆柱与多面体ABB,AC构成的几何体，平面ABC与半圆 柱的下底面共面，且AC⊥BC.P为半圆弧A,B,上的动点（与A,B,不重合） (1)证明：平面PAB,⊥平面PBB: (②若四边形ABBA为正方形，且AC=BC=1,∠PB4-牙，求二面角P-AB-C的余弦值， 【答案】(1)证明见解析 26 5 【分析】(1)面面垂直判定应用，由两个线线垂直：PA⊥PB,PA⊥BB,得线面垂直， 进而得面面垂直： (2)根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角P-AB-C的余弦值. 【详解】(1)在半圆柱内，BB⊥平面PAB,所以BB,⊥PA: 因为AB,为上底面对应圆的直径，所以PA⊥PB, 又PB∩BB,=B,,PBC平面PBB,BBC平面PBB, 所以PA⊥平面PBB,因为PAC平面PAB, 所以平面PA,B,⊥平面PBB,. (2)根据题意以C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AC=BC=1,所以B(1,0,0),A(0,1,0),A(0,1,V2),B1,0,V2),P1,L,2), 所以CA=(0,L,√2)，CB=L,0,V2), 平面PAB,的一个法向量n=(0,0,), 设平面CAB,的一个法向量n,=(x,y,z), x=-V2 CA=y+22=0 则 CBm=x+2z=0 ,令z=1,则 y=-√2， z=1 取n,=(-V2,-V2,1）,所以cos<n,n2>= 5 1×55 由图可知，二面角P-AB,-C为钝角， 所以所求三面角P-AB-C的余弦值为-5 B 17.(15分)某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成 型，甲、乙、丙芯片第一次先刻的良品*分别为，子·。.只有第一次光刻为良品。才能 面第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第三次光刻的良品率分别为}，兰，专第 二次光刻的良品才是合格品. (1)若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中 任取一枚，求该芯片是良品的概率； (2)甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损 25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为X,求X的分布 列与数学期望. 【客案10品 (2)分布列见解析，E(X)=475 3 【分析】(1)考虑从甲、乙、丙三种芯片中选且是良品的不同情况，分别计算概率再相加。 (2)因为芯片合格需两次光刻都合格，所以用每次光刻为良品的概率相乘，分类讨论计算 概率得到分布列和数学期望 【详解】(1)记事件A为该芯片是良品， 43325171 则P(A)=2×二+二×二+二×二= 56466690 (2)设A,B,C,(=1,2)分别为甲、乙、丙三种芯片第次光刻为良品， 则P4)gP(4)-Pa)-Pa)-PG)-名PG)-号 甲芯片是合格品的概本为P4)P4)子 乙志片是合格品的率为P)P(反)一号 丙芯片是合格品的概率为P(C)P(C,)=子 X的可能取值为-75,50,175,300， 2214 P(X=-75)=二×2×5=于 553751 222.321 204 P(X=50)=2××2+2×2x2×2= 553553 7515 322,3313311 PUX=175)-×写×x2+5x×3方25 3.3.2186 P(X=30)=亏×5×37525 其分布列为 X -75 50 175 300 4 4 11 6 P 75 15 25 25 数学期望E(X)=-75× +50 7 4+175× +300x6-475 2 25-3 18.(17分)已知双曲线C: -1(0≥0，b>≥0)过点A423,且焦为立 (1)求C的方程： (2)已知点B(4N2,-3),D(2√2,0)，E为直线AB上一点， (i)若直线DE与C恰有一个公共点，求直线DE的方程： GD HD (i)若E在线段AB上，直线DE交C于G,H两点证明： GE HE 【答】06号1 2①y-±平-2或y=±-2：0证明见解折 4 【分析】(1)根据题意列方程组求出a,b,即可得出C的方程： (2)(i)设E(4V2,t),得到DE:y= 2N万红-2V2)联立双曲线方程，通过讨论9-2r=0和 9-2t2≠0求解即可： G)根据D,E,H.G四点夹线，要证C伦即证cD,匹=G正，D丽，设出直线 =2-22,G(X),H(6,),E42,0,联立直线方程与椭圆方程得出 DE:y=、t x+x2,xx2,将其代入GDHE-GED五，计算结果为零，即证出. 【详粉11)由适意符号多=1,2+次=10， 放a=4,b=3,所以C的方程为兰-上=1 169 (2)设E(4W2,),则直线DE:y= 25-20 对a-20 y=- 由 得(9-212）x2+8W22x-162-144=0,(*) x2 y2 169 =1 (i)①当9-2t2=0,即t= 32时， 由知列- t 此时，直线DE方程为y=±x-2V2),和双曲线仅有一个公共点，符合题意： ②当9-2r≠0，即1≠士35时，要使直线DE与双曲线仅有一个公共点，则 2 △=128t-4(9-2t2)(-16t2-144)=64×9×(9-t2)=0,即t=±3， 3W2 此时，直线DE方程为y=± 二(x-2√2)，和双曲线仅有一个公共点，符合题意： 4 绿上直线DE方程为y=56-2或y=±-2 (iD当x=42时，即32上=1，解得y=士3，因为E在线段4B上，故<3， 169 由直线DE交C于G,H两点， 设G(x,乃)，H(x2,y2),则(*)有两个不相等的实根x,x2, 8v22 9-20即1主3N2.△64x99-0且x+2达16+ 2 22-9 故GD.形-GEDi=(2W2-,-y)(4W2-5,t-为{4W2-x,t-(s-22,月 -24s+2:6**2-写），+6j+64r+ 4(2+8)2+9）4r23r2+24 +4t2+32=0. 212-9 2t2-9 GD HD 所以GD.HE=GE.DH,所以GD川HE1cos0=GE‖DF1cos0,即 19.(17分)已知函数f(x)=e-ax+2cosx,其中e为自然对数的底数， (1)当a-1时，求f(x)在x=π处的切线： (2)若a为实数，g(x)=f(x)-2cosx,求g(x)的最小值： (3)已知a>0,且f(x)在[0，+o)单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1)y=(e"-1)x-πe"+e"-2 (2)最小值为1 3)[2,+∞) 【分析】(1)根据导数的几何意义求解： (2)利用导数确定单调性后可得最小值： (3)f'(x)=aer-a-2sinx≥0，x>0.注意f'(0)=0,令p(x)=f'(x)=ae“-a-2sinx, 求出p'(x),分类讨论：p'(O)<0时，由f'(x)的单调性得出f'(x)≥0(x>0)不可能恒成立， p'(0)≥0时，证明f'(x)≥0(x>0)恒成立，从而可得参数范围. 【详解】(1)：f(x)=e-x+2cosx,∴.f'(x)=e-1-2sinx, .f(π)=e-π-2，f'(π)=e-l, ∴切线方程为y-(e-π-2)=(e-(x-), 整理得y=(e"-1)x-πe”+e-2: (2).'g(x)=em-ax,t=axER,h(t)=e'-t,g (x)=h(ax), .h(t)=e'-1,∴.t<0时，h(t)<0,t>0时，h(t)>0, .h(t)在(-oo,0)单调递减，在(0，+oo)单调递增，∴.h(t)的最小值为h(0)=1,即g(x)的最 小值为1： (3)当a>0时， .f(x)=em-ax+2cosx,..f"(x)=ae-a-2sinx, 令p(x)=f(x)=ae“-a-2sinx,则p'(x)=a'e-2cosx, 依题意，x≥0，f'(x)=aer-a-2sinx≥0，. 若p'(0)=a2-2<0,即0<a<2时，t>0使得x∈(0，)时p'(x)<0, 所以p(x)即f'(x)在[0，t)单调递减，∴.x∈(0，t)时f'(x)<f'(0)=a-a=0,不合题意， ∴.p'(0)=a-2≥0，即a∈[V2,+∞)，下面证明a∈[V2,+∞)时符合题意。 :x≥0，e“≥e*≥1,2≥2cosx2-2,.当a∈V2,+0)时p'(x)2a2-2≥2-2=0， 即f'(x)在[0，+o)单调递增，∴x≥0，f'(x)≥f'(0)=0, 综上，实数a的取值范围为√2，+∞。限时集训：2026高考数学解答题（十二) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知正项数列{a,}满足a=1,且11=a, anan+1 (1)证明：{a}为等差数列； (2)求数列 (-1)” 的前n项和n ant-an 16.(15分)如图，已知一个由半圆柱与多面体ABB,A,C构成的几何体，平面ABC与半圆 柱的下底面共面，且AC⊥BC,P为半圆弧AB,上的动点（与A,B不重合） A B (I)证明：平面PA,B,⊥平面PBB; (②)若四边形ABB,4为正方形，且AC=BC-1,∠PB,4=牙，求二面角P-4B,-C的余弦值. 17.(15分)某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成 ,甲、乙、丙芯片第一次光钩的良品率分别为：，子，（只有第一次光刻为良品，才能 过行第二次先刻，否则为成品板南达，甲、乙丙第二改光刻的良品率分划为子手手第 二次光刻的良品才是合格品， (1)若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中 任取一枚，求该芯片是良品的概率； (2)甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损 25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为X,求X的分布 列与数学期望 1817分》已知双商线C:三茶-1(0>0,6>0)过点4E,且结距为10 (1)求C的方程： (2)己知点B(4V2,-3),D(2V2,0),E为直线AB上一点， (i)若直线DE与C恰有一个公共点，求直线DE的方程； GDHD (i)若E在线段AB上，直线DE交C于G,H两点证明： GEHE 19.(17分)已知函数fx)=er-ax+2cosx,其中e为自然对数的底数， (I)当a=1时，求∫(x)在x=π处的切线： (2)若a为实数，gx=f(x)-2cosx,求gx)的最小值： (3)己知a>0,且f(x)在[0，+o)单调递增，求实数a的取值范围限时集训：2026高考数学解答题（十二） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知正项数列{a,}满足a=1,且1-1-8 anan+1 (1)证明：{a}为等差数列： (2)求数列 (-1)” 的前n项和Tn an-an) 16.(15分)如图，己知一个由半圆柱与多面体ABB,AC构成的几何体，平面ABC与半圆 柱的下底面共面，且AC⊥BC.P为半圆弧A,B,上的动点（与A,B,不重合） A B (1)证明：平面PAB,⊥平面PBB; (②)若四边形ABBA为正方形，且AC=BC=1,∠PB4-牙，求二面角P-AB-C的余弦值. 17.(15分)某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成 型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，三，5.只有第一次光刻为良品，才能 5’4’61 第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为：，？，5，第 二次光刻的良品才是合格品· (1)若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中 任取一枚，求该芯片是良品的概率； (2)甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损 25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为X,求X的分布 列与数学期望. 18.17分)已知双曲线C:等希-1(a>0,0)过点4W2,,且焦距为10 (1)求C的方程： (2)己知点B(4V2,-3),D(2√2,0)，E为直线AB上一点， (i)若直线DE与C恰有一个公共点，求直线DE的方程： GD HD (i)若E在线段AB上，直线DE交C于G,H两点证明： GE HE 19.(17分)已知函数f(x)=er-ax+2cosx,其中e为自然对数的底数， (I)当a=1时，求f(x)在x=π处的切线： (2)若a为实数，g(x)=f(x)-2cosx,求g(x)的最小值： (3)已知a>0,且f(x)在[0，+o)单调递增，求实数a的取值范围