2026届高考数学解答题限时集训（十五）

限时集训：2026高考数学解答题（十五） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4 a cos B+4 bcosA+3 c tan C=0, a=b=5 (I)求c的值以及三角形ABC的面积： ②已知点M在线段48上.若C=2C☑+uCB,且∠4CM-子，求子的值 16.(15分)甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发 球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次 发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的 概率为)，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为X,求X的分布列与数学期望 17.(I5分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AB=1,PA=AC=2,D 是棱AC上一点，且AC=3AD,M为棱PC的中点，N是线段BM上的动点. M (I)证明：PC⊥平面ABM; (2)求直线DN与平面ABM所成的角的余弦值的最小值： (3)在(2)取到最小值的情况下，求三棱锥N-BDP的体积. 5分)已知椭圆E+片1a>b>0)的左顶点为C,过右焦点F且斜率不为0的直线 E交于A,B两点.当A为E的上顶点时，AF=2,AC=√万. (1)求E的方程； (2)过点A、B分别作直线m:x=4的垂线，垂足分别为M、N,AW与BM交于点D ①求△ABC与△ABD面积之比； ②若直线BD与直线CA交于点P,求点P的轨迹方程. 19.(17分)己知函数f(x)=ln(x+1)-x,函数g(x)=sinx+ax3-x,a∈R. (1)讨论函数∫(x)的单调性并求最值； (2)若对x>0,g(x)>0恒成立，求实数a的取值范围： 64n2下sin1 3)已知n∈N,证明：n2- nt+sin-1 +2+…+sin 4n限时集训：2026高考数学解答题（十五） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4 a cos B+4 bcos A+3 c tan C=0, a=b=√5 (I)求c的值以及三角形ABC的面积： 求子的值 (2)已知点M在线段AB上，若CM=CA+uCB,且∠ACM=T, 【答案】(1)4,2 【分析】1D由正孩定理及三角恒等变换可得amC=手，从而求得smC 3 S, cosC=- 再由 余弦定理求边c的值，利用面积公式求解即可： (2)由两角和差公式可得sin∠BCM=7V5 在△MCM和△BCM中，由正弦定理得 AM 5 10 BM 7,由 向量的线椎运算可科。天=从=多即可得答案 【详解】(1)由正弦定理得，4 sin AcosB+4 cos Asin B+3 sin C tan C=0, 4sin(A+B)+3sin Ctan C=4sin C+3sin Ctan C=0. 因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以4+3tanc=0,则tanC=- 3,故sinC=4 5 CosC=-3 所c=+-2-5+5-2x5=4，m-6nC-5x52. 5 (2)如图，∠BCM=∠ACB-T B 故sin∠BCM=sin 2 10 在△ACM中，由正弦定理得， AM CM sin∠4CM sin A' sin∠BCMsin B,又因为a=b=V5,所以A=B,sinA=siB, BM CM 在△BCM中，由正弦定理得， 故 Sin∠ACM=sn∠BcM所以/=sin ZACM-V2、l05 AM BM 3Msin∠BCM2727所以1M二B 所以CM=CA+AM=CA+5AB-CA+5CB-CA=7a+5d CB 1 12 12 12 因为C西=C+c.所以2-A=言房 5 元7127 所以u12*55 16.(15分)甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发 球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球：若某次发球不成功，则该次 发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的 概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立。 (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为X,求X的分布列与数学期望 【省装1后 (2) X 0 2 4 6 P 1-8 7 13 24 36 29 E)-器 【分析】(1)设A=“第i(i=1,2,3)个球甲发球成功”，B,=“第i(i=1,2,3)个球乙发球 成功”，C=“在前两个球发完后，甲共得2分”，由C=BB,UB,A,,结合互斥事件、独立事件概率 公式即可求解： (2)确定X的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】(1)设A,=“第i(i=1,2,3)个球甲发球成功”， B,=“第i(i=1,2,3)个球乙发球成功”，C=“在前两个球发完后，甲共得2分”， 则C=BB,UB,A,且B与B2相互独立，B1与A2相互独立，BB2与B1A2互斥， 所以PG)=H4西u网4=以网+（耳利专1到昌 (2)X的可能取值为0,2,4,6. P=-888)-- x-2=a可4ar国)-目写 Px=4到=Pa瓦AP旧AB,P原，（因子子子分子子背品 P(X=6)=P(B,44)-2×5×号9 ×2×2-2 X的分布列为： X 0 2 4 6 > 13 8 24 36 29 故E(x)=0x+2×7+4x+6x2-12 8 2436 936 17.(I5分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AB=1,PA=AC=2,D 是棱AC上一点，且AC=3AD,M为棱PC的中点，N是线段BM上的动点. M B (1)证明：PC⊥平面ABM; (2)求直线DN与平面ABM所成的角的余弦值的最小值： (3)在(2)取到最小值的情况下，求三棱锥N-BDP的体积. 【答案】()证明见解析 9 69 【分析】(1)以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法 可证PC⊥AB,PC⊥AM,进而可证结论： (2)由(1)知，平面ABM的一个法向量可取i=(0,l,-1),令BN=tBM,te[0,1],可得 DN-()进而利用向量法可求得直线DN与平面AM所成的角的余弦值的最水值 4 由(2)可求得V2c。,进而可得，m。,记d为N到平面BDP的距离，d,为到 面BDP的距离，故d,=d,进而可求三棱锥N-BDP的体积。 9 【详解】(1)以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系 M 由已知：AB=1,AC=2,PA=2得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2). D在C上且4C-340,故40子p0号0 M为PC中点，则M(0,1,1).计算向量：AB=(1,0,0),AM=(0,1,1),PC=0,2,-2) PC.AB=0×1+2×0+（-2X0=0→PC⊥AB, PC.AM=0×0+2×1+(-2)×1=0→PC⊥AM 由于AB与AM相交于点A,且均在平面ABM内，故PC⊥平面ABM, (2)由(1)知，平面ABM的一个法向量可取元=(O1,-I),其模=√2. 设N在线段BM上，B(1,0,0),M(0,1,1),令BN=tBM,t∈[0,1]： 则N=0-),于是丽-（--子小 DN. 直线DN与平面ABM所成角O满足sinO= DN· 计算DN万=0-)0+11+1(-=子 为常数 2 因此sin0= √2 DN 2 3DN 从而sin0与DN成反比，要使sinO最大（即0最大，余弦最小），需DN最小， 即求点D到线段v的最短距高，计算0网，D=-+-引-号+号 31 这是关于1的二次函数，开口向上，在1-弓处取得最小值。 此时si如0=5.9=35.3T 3√42√42V217 7 因此直线DN与平面ABM所成角的余弦的最小值为2yY7 7 6)当=时，N9 455 点D在AC上，且AD=3,故CD=22、4 3-3 SANcn =5AWe-SA-1-x1x2-1-12 21x 离为P1=2,做w子2-号 Γ9 现在，考虑三棱锥N-BDP,由于点B,D,P确定平面BDP,而N在线段BM上， M为PC中点，故点M到平面BDP的距离等于点C到该平面距离的一半. 而w=w-专于是m一m-号 4 2 接下来，因为B也在平面BDP上，所以对于直线BM上的任意点X,它到平面BDP的距离与线段 5 BX的长度成正比.已知N分BM为BN:BM=t= 9 记4为N到平面BDP的距离，4为M到平面BDP的距离，故d-高4， -5210 因此p=)-0=g×987 综上，三棱锥N-BDP的体积为是。 。15分)已知椭圆+(a>h>0的左顶点为C,过右焦点F且斜率不为0的直线乳 E交于A,B两点.当A为E的上顶点时，AF=2,AC=√万. (1)求E的方程； (2)过点A、B分别作直线m:x=4的垂线，垂足分别为M、N,AW与BM交于点D ①求△ABC与△ABD面积之比： ②若直线BD与直线CA交于点P,求点P的轨迹方程. (2)①2：②5x2-16x-4y2-52=0(x<-2或x> 【分析】(1)由题意可得 a=2 a2+b=7’求出a,b即可求解： (2)①设1：x=my+1,A(x,y),B(x2,2),联立椭圆方程，利用韦达定理表示出乃+y2My2, 根据直线的点斜式方程求出直线AN,BM方程，求出点D的坐标，结合三角形面积公式计算即可求 解：②表示出直线BD、CA方程，联立直线AB、CA方程，表示点A的坐标，代入椭圆方程，化 简整理即可求解， 【详解】(1)由题意知 2+6=7户6=g”后的方程为：+上=1. a=2 a=2 43 (2)①设直线1方程为：x=y+1,A(x,y),B(x2,2),M(4,乃)，N(4,y2), -61m 13x2+4y2=12→(3m2+4)P2+6my-9=0→ x=y+1 y+y2=3m2+4 -9 y2=3m2+4 直线心方程为：=女4(：-到+⅓①，直线方程为：=经(-斯② x2-4 联0@→导怎-4+⅓=片学红-4到+% x2-4 1 m(y+y2)-6 而 2+11 x-4x2-4my-3'my2-3my-3)6y2-3) -6m2 -6 3m2+4 =-24m2-242 m2. -9 3m+4+936m+363 -3m -6m 3m2+4 x0=2’ =当-3) -42y2= 0加s@副 x-4 -2(+y:)+myiy 36m 9m 2=23m2+43m2+40 x-4 -4 0+2-y S.ABD =2 ②直线BD方程为： y=5 5 直线CA方程为：y=片，x+2). X22 x-2, 七+2 当+=2m yiy2 3 3m=片+2， y ViV2 2 3 23=3 2 m%22 m212(0y+) 3=3 2 直线0y引 X1= 3(xp+2）-2= 16-xp 2xp-5 联立 y=- y。(x+2) x1+2 3yp =2x,5 “A在椭圆士+ =1上， 4 3 316-x2 2 2xp-5 +492。=12→5-16，-46-52=(， (2xp-5) .P的轨迹方程为：5x2-16x-4y2-52=0. :直线I的斜率不为0，且P为有限点 ∴点P的完整的轨迹方程为5x2-16x-4y2-52=0(x<-2或x> M B X- 19.(17分)已知函数f(x)=ln(x+1)-x,函数g(x)=sinx+ax3-x,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性并求最值： (2)若对x>0,g(x)>0恒成立，求实数a的取值范围； 64n2sin 3)已知n∈N,证明：n2-, nt+sin- +2+…+sin 1 4n 【答案】()f(x)在区间(-1,0)上单调递增，在区间(0，+∞)上单调递减，最大值f(0)=0,无最小 值 「1 26+0 (3)证明见解析 【分析】(1)对f(x)求导，根据导数正负判断单调性，进而求最值： (2)将恒成立问题转化为参数分离，构造函数求其最大值，即可得α的取值范围： 1 ③)结合前两问的不等式结论，进行加，中< <ln(n+1)-lnn和 sin-1>11 11 1 n+1n+16(n+1 In(n+2)-In(n+1) 的放缩，即可证明结论， 12n2（n+1) 【详解】(1)由题意可得f(x)的定义域为(-山，+o),f(x)=一x x+1 当x∈(-1,0)，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(0，+o),f'(x)<0,f(x)单调递减 ∴f(x)在区间(-1,0)上单调递增，在区间(0，+∞)上单调递减 ∴.f(x)有最大值f(0)=0,无最小值. (2)由题意，g(x)=sinr+ax-x>0对x>0恒成立，且g(0)=0. ∴g'(x)=cosx+3ax2-1,且g'(0)=0. 令h(x)=cosx+3ax2-1,则h(x)=-sinx+6ar,且(0)=0， 令I(x)=-sinx+6ax,则I'(x)=-cosx+6a,且I'(0)=6a-1. ①当6a-1≥0，即a≥二时，有1'(x)=-cosx+6a≥0，∴N(x)在(0，+o)上单调递增， ∴.h(x)>h(0)=0,∴g'(x)在(0，+∞)上单调递增，g(x)>g'(0)=0 ∴g(x)在(0，+∞)上单调递增，∴g(x)>g(0)=0成立. ②当0<a<名时，}-6>01'o)=a-1<0,且xe(0引1()-coax+6a单调递增， 有I'(x)=0,∴当x∈(0，)时，I'(x)<0,h(x)单调递减，∴.hN(x)<h(0)=0 ∴g'(x)在(0，x)上单调递减，g(x)<g(0)=0,g(x)单调递减， g(x)<g(0)=0,与题干矛盾，舍去 国当a≤0时，r引-=如s0当xe0引kk0he)单调选减，则()<0)=0， ∴g'(x)单调递减，g(x)<g(0)=0,∴g(x)单调递减，g(x)<g(0)=0,舍去. 综上，实数a的取值葡调为店+ (3)由(1)可知h(x+l)≤x,lx≤x-l,ln≤1-1，即1nr≥1- 1.1 xx ,neN,则h"之1-”=1 令x=n+1 nn+l n+1' lh(n+1)-lnn≥ n+1 inin 1)-In. 又：x>0,sinx<x,即sin1<L < n+1 nn+2<h(n+2)-n(a+l), 则sin1 … sin<ln(4n）-ln(4n-l）, 4n sin、1 1 +sin n+1 +…+sin<ln(4n）-ln(n)=n4,右式得证. n+2 4n 下证左式：由(2)可知sinx>x-xx>0),令x=1 6 中则sim1之1 n+1n+16(n+1)3 由可知t>ln1+0),令t=1,则1>ln1+1)=1na+2)-1nbn+. n+1 n+1 n+1 1 111 (n+1522(0n+1 证明如下： 111 1 2(n+1 (n+1 =n+)2-n2 1 2n2(n+1)2(n+1 2n+11 2n2(n+1)2(n+1 (2n+1)n+1)2n2 2n2(n+1月 3n+1 2n2(n+1 .neN', .3n+1>0,2n2(n+1>0, >0，即证 1 111 6n+12元(+1] tmc可ie明d m>6+2小 n+11 lda (t sin- sm动>h4a-h4wban4 1「11 1 1 ∴.sin +Sin- n+1 行*+>+-+日喝 n+2 =n4n+15 n+164n2>h2-,5 64n2 所以上式得证 限时集训：2026高考数学解答题（十五） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在三角形ABC中，角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求的值以及三角形ABC的面积； (2)已知点在线段上，若，且，求的值. 【答案】(1)4，2 (2) 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得，从而求得，，再由余弦定理求边的值，利用面积公式求解即可； （2）由两角和差公式可得，在和中，由正弦定理得，由向量的线性运算可得，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得，， 故. 因为，，所以，则，故，， 所以，. （2）如图，，    故. 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，，又因为，所以， 故，所以.所以, 所以, 因为，所以,所以. 16．（15分）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) X 0 2 4 6 P . 【分析】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”，“第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”，由，结合互斥事件、独立事件概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”， “第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”， 则，且与相互独立，与相互独立，与互斥， 所以. （2）X的可能取值为0，2，4，6. ， ， ， . 的分布列为： 0 2 4 6 P 故. 17．（15分）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点，是线段上的动点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的余弦值的最小值； (3)在（2）取到最小值的情况下，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证，进而可证结论； （2）由（1）知，平面的一个法向量可取，令，可得，进而利用向量法可求得直线与平面所成的角的余弦值的最小值； （3）由（2）可求得，进而可得，记为到平面的距离，为到平面的距离，故，进而可求三棱锥的体积． 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．    由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 由于与相交于点，且均在平面内，故平面． （2）由（1）知，平面的一个法向量可取，其模． 设在线段上，，令， 则，于是． 直线与平面所成角满足. 计算， 故，为常数． 因此. 从而与成反比，要使最大（即最大，余弦最小），需最小， 即求点到线段的最短距离．计算： 这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值． 代入得故． 此时， 因此直线与平面所成角的余弦的最小值为． （3）当时，． 点在上，且，故． 高为，故. 现在，考虑三棱锥．由于点确定平面，而在线段上， 为中点，故点到平面的距离等于点到该平面距离的一半． 而，于是. 接下来，因为也在平面上，所以对于直线上的任意点，它到平面的距离与线段的长度成正比．已知分为， 记为到平面的距离，为到平面的距离，故， 因此 综上，三棱锥的体积为． 18．（15分）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且斜率不为0的直线与交于，两点．当为的上顶点时，，． (1)求的方程； (2)过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，与交于点 ①求与面积之比； ②若直线与直线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)①2；②或． 【分析】（1）由题意可得，求出即可求解； （2）①设：，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据直线的点斜式方程求出直线方程，求出点的坐标，结合三角形面积公式计算即可求解；②表示出直线、方程，联立直线、方程，表示点的坐标，代入椭圆方程，化简整理即可求解. 【详解】（1）由题意知，的方程为：． （2）①设直线方程为：，，，，， ， 直线方程为：①，直线方程为：②， 联立①② ，， 而 ， ， ， ，； ②直线方程为：，直线方程为：. ， ， 直线， 联立， 在椭圆上， ， 的轨迹方程为：． 直线的斜率不为0，且为有限点 点的完整的轨迹方程为或)． 19．（17分）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值，无最小值. (2) (3)证明见解析 【分析】对求导，根据导数正负判断单调性，进而求最值； 将恒成立问题转化为参数分离，构造函数求其最大值，即可得的取值范围； 结合前两问的不等式结论，进行 和的放缩，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得的定义域为. 当单调递增，当单调递减. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 有最大值，无最小值. （2）由题意，对恒成立，且. ，且. 令，则，且. 令，则，且. ①当，即时，有在上单调递增， 在上单调递增，. 在上单调递增，成立. ②当时，，且单调递增， ，有当时，单调递减，. 在上单调递减，单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当时，当单调递减，则， 单调递减，单调递减，，舍去. 综上，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，即. 令，则， . 又∵，即. 则， ， ，右式得证. 下证左式：由可知 ，令 ，则 . 由可知 ，令 ，则 . 又∵ ，证明如下： ∵， ∴， ∴，即证. ∴ . 综上可得 . ， ， ， . 所以上式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（十五） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 4a cos B+4bcos A+3ctan C=0,a=b=5 (I)求c的值以及三角形ABC的面积； ②已知点y在线般6上，若CW:aG+0,且∠4CM-子求产的能 16.(15分)甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发 球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次 2 发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球已知甲每次发球成功的概率为了，乙每次发球成功的 概率为？，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立 ()在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (②)设甲这次发球练习的总得分为X,求X的分布列与数学期望. 17.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AB=1,PA=AC=2,D 是棱AC上一点，且AC=3AD,M为棱PC的中点，N是线段BM上的动点. P A D B (I)证明：PC⊥平面ABM; (2)求直线DN与平面ABM所成的角的余弦值的最小值： (3)在(2)取到最小值的情况下，求三棱锥N-BDP的体积. 5分)已知圆P千+>b>0的左顶点为C,过右焦点F且斜率不为0的童 E交于A,B两点，当A为E的上顶点时，AF=2,AC=V万. (1)求E的方程； (②)过点A、B分别作直线m:x=4的垂线，垂足分别为M、N,AN与BM交于点D ①求ABC与△ABD面积之比； ②若直线BD与直线CA交于点P,求点P的轨迹方程. 19.(17分)已知函数f(x=lnx+1-x,函数gx=sinx+ax3-x,a∈R (I)讨论函数∫(x)的单调性并求最值； (2)若对Hx>0,gx>0恒成立，求实数a的取值范围： 64n35sin-1 (3)已知n∈N,证明：n2- n+tsin-1 +2+…+sin 1 <In4 4n