专题 易错训练94题64大考点（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦初中数学全部内容，通过94道易错题为载体，覆盖64大考点，融合解题方法提炼与知识逻辑建构，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|25题|完全平方公式变形、分式方程求解技巧|从概念（如科学记数法）到运算（幂的乘方），形成“定义-性质-应用”链条| |函数综合|28题|一次函数图像变换、二次函数最值求法|函数概念→图像性质→实际应用（如行程、利润问题），体现模型意识| |几何综合|36题|倍长中线法、轴对称最短路径|从三角形中位线到四边形综合，构建“性质-判定-辅助线”逻辑| |统计概率|5题|中位数计算、几何概率求法|数据收集→分析→决策，培养数据意识|

2026年中考数学综合复习（易错训练94题64大考点） 训练范围：初中数学全部内容 一．正数和负数（共1小题） 1．一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为198g，则该面包厂家 　没有　 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 二．用数字表示事件（共1小题） 2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 　　 个． 一．数轴（共1小题） 3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．﹣a＜b D．|a|＞|b| 二．科学记数法—表示较大的数（共1小题） 4．中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 三．算术平方根（共1小题） 5．的算术平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 四．实数的运算（共1小题） 6．的值等于（　　） A．0 B．1 C． D． 五．用数字表示事件（共1小题） 7．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 　 　 个． 六．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 8．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　） A．1 B．6 C．7 D．12 七．同底数幂的除法（共1小题） 9．下列计算正确的是（　　） A．m5+m5＝m10 B．（m3）4＝m12 C．（2m2）3＝6m6 D．m8÷m2＝m4 八．完全平方公式的几何背景（共2小题） 10．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 11．（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　6　 ． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　6　 ； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 九．完全平方式（共2小题） 12．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 13．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为　　 ． 十．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题） 14．分解因式：2a2﹣8＝　 　 ． 十一．分式有意义的条件（共1小题） 15．若分式有意义，则x的取值范围是 　 ． 十二．分式的值为零的条件（共1小题） 16．如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 十三．分式的加减法（共2小题） 17．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 18．照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　） A． B． C． D． 十四．分式的化简求值（共1小题） 19．先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 十五．二元一次方程组的解（共1小题） 20．已知方程组，则x+3y的值为 　　 ． 十六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 21．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 十七．分式方程的解（共1小题） 22．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 23．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或 B．或 C．﹣3或或 D．﹣3或 十八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题） 24．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程 ． 十九．不等式的性质（共1小题） 25．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y 二十．解一元一次不等式组（共1小题） 26．解不等式组：． 二十一．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 27．若关于x的一元一次不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1≤m≤0 二十二．一元一次不等式组的应用（共1小题） 28．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　） A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5 二十三．点的坐标（共1小题） 29．已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 　 　 ． 30．在平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，﹣4），则点M到x轴的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 二十四．函数关系式（共1小题） 31．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 二十五．函数自变量的取值范围（共1小题） 32．函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4 二十六．动点问题的函数图象（共1小题） 33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 二十七．一次函数的应用（共4小题） 34．如图，入射光线MN遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P（﹣1，0），若光线MN满足的一次函数关系式为，则a的值是（　　） A． B． C． D． 35．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行xmin，收费yA元，且；B品牌电动车骑行xmin，收费yB元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义． （2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 36．自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案． 37．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 二十八．一次函数综合题（共1小题） 38．对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2﹣MB2|＝AB2，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB的等垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1）． （1）如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是 ，　 ； （2）已知点P（t，1），Q（t+2，0）． ①如图2，当t＝0时，若直线yx+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值； ②如图3，若△ABC边上（包含顶点）存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是 　﹣4≤t＜1　 ． 二十九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 39．如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 三十．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 40．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（　　） A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3 41．如图，点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　 　 ． 三十一．反比例函数综合题（共1小题） 42．如图，两个反比例函数y和y的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（　　） A．3 B．4 C． D．5 三十二．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 43．已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（　　） A．y＝3x B．y＝3x2 C．y D．y 44．若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（　　） A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0 45．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 46．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于x1＝1，y1＝y2，请用t表示x2； （2）若对于﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1，都有y1＞y2，求t的取值范围． 三十三．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 47．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0； ②3b+2c＞0； ③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立； ④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．有下列说法： ①abc＞0； ②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1； ③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0； ④当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； ⑤am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程：ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的是（　　） A．②④ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④ 50．已知抛物线y＝x2﹣2ax+m． （1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值； （2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由； （3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围． 三十四．二次函数图象与几何变换（共1小题） 51．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 　 ． 三十五．抛物线与x轴的交点（共1小题） 52．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 　 ． 53．如图，抛物线yx2−x−2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为 　 　 ． 三十六．二次函数的应用（共4小题） 54．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 ﹣3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．当x＝2时，该函数有最大值 C．当x＝0时，y＝﹣3 D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2 55．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 56．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 57．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 y（x+3）2　 ； （2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 三十七．二次函数综合题（共2小题） 58．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 59．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 60．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 三十八．展开图折叠成几何体（共1小题） 61．在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD是正方形； 乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD是正方形； 丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD是长方形，AB＝2AD． 将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正确的是（　　） A．甲＞乙＞丙 B．甲＞丙＞乙 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲 三十九．勾股定理（共1小题） 62．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 四十．勾股定理的证明（共1小题） 63．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 四十一．三角形中位线定理（共1小题） 64．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　　 ． 四十二．多边形内角与外角（共2小题） 65．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 66．正八边形一个内角的度数为 　　 ． 67．如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为 　　 ． 四十三．正方形的性质（共1小题） 68．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 三十七．四边形综合题（共1小题） 69．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 70．如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G． （1）求证：GE＝GF． （2）当AE＝2DG时，求AE的长． （3）令AE＝a，DG＝b． ①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4． ②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a＝1时，求的值． 四十四．点与圆的位置关系（共1小题） 71．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．1 B． C．21 D．2 四十五．扇形面积的计算（共1小题） 72．如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交于点E，∠CAB＝30°，AC＝AE、CD＝2，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 四十六．轴对称-最短路线问题（共1小题） 73．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 　　 ． 四十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 74．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P为边CD上一个动点，将△APD沿AP折叠得到△APQ，点D的对应点为Q，当射线PQ恰好经过AB的中点M时，DP的长为 　2或8　 ． 75．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为边CD的中点，连接AE，BE，P为边AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折，若点A的对应点A'恰好落在△ABE的边上，则线段AP的长为 　1或1　 ． 76．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 　　 ． 四十八．几何变换综合题（共1小题） 77．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边在△ABC外作等腰△AMC，满足MA＝MC，AM∥BC，O是边AC的中点，连结BO，作射线BO交折线段A﹣M﹣C于点N，若MN＝2，ON＝3，则AM的长为 　 ． 四十九．黄金分割（共1小题） 78．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4，则线段AC的长为 　 　 ． 五十．旋转的性质（共1小题） 79．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2018的坐标为　 　 ． 五十一．中心对称图形（共1小题） 80．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 五十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 81．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4） 五十三．相似多边形的性质（共1小题） 82．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 五十四．解直角三角形的应用（共1小题） 83．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（　　） A．l12＝24Rsin15° B．l12＝24Rcos15° C．l12＝24Rsin30° D．l12＝24Rcos30° 84．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 五十五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 85．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 五十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 86．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm． （1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明． （精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 五十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 87．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：∠PAB＝ 　　 °，∠APC＝ 　　 °，AB＝ 　　 海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：1.41，1.73，2.45） 五十八．简单几何体的三视图（共1小题） 88．如图，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 五十九．简单组合体的三视图（共1小题） 89．如图所示的钢块零件的主视图为（　　） A． B． C． D． 六十．扇形统计图（共1小题） 90．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 　 　 °． （2）请你将图2的统计图补充完整； （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好． （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 六十一．中位数（共1小题） 91．某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 六十二．方差（共1小题） 92．甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为160cm，身高的方差分别为s甲2＝10.5，s乙2＝1.2．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是 　 　 ．（填“甲队”或“乙队”） 六十三．全面调查与抽样调查（共1小题） 93．下列调查中，适合用抽样调查的是（　　） A．订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 B．考查一批灯泡的使用寿命 C．发射运载火箭前的检查 D．对登机的旅客进行安全检查 六十四．几何概率（共1小题） 94．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学综合复习（易错训练94题64大考点） 训练范围：初中数学全部内容 一．正数和负数（共1小题） 1．一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为198g，则该面包厂家 　没有　 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 【解答】解：∵总质量（200±3）g， ∴质量在（200+3）g与（200﹣3）g之间都合格， 而产品有198g在范围内，故合格， ∴厂家没有欺诈行为． 故答案为：没有． 二．用数字表示事件（共1小题） 2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 　1838　 个． 【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6＝1838， 故答案为：1838． 一．数轴（共1小题） 3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．﹣a＜b D．|a|＞|b| 【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2， ∴ab＜0，﹣a＞b，|a|＞|b|， ∴选项ABC是错误的，只有选项D是正确的． 故选：D． 二．科学记数法—表示较大的数（共1小题） 4．中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013． 故选：B． 三．算术平方根（共1小题） 5．的算术平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 【解答】解：2，2的算术平方根是． 故选：B． 四．实数的运算（共1小题） 6．的值等于（　　） A．0 B．1 C． D． 【解答】解：cos45°﹣1 1 ＝1﹣1 ＝0， 故选：A． 五．用数字表示事件（共1小题） 7．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 　1838　 个． 【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6＝1838， 故答案为：1838． 六．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 8．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　） A．1 B．6 C．7 D．12 【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4， ∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12． 故选：D． 七．同底数幂的除法（共1小题） 9．下列计算正确的是（　　） A．m5+m5＝m10 B．（m3）4＝m12 C．（2m2）3＝6m6 D．m8÷m2＝m4 【解答】解：A、m5+m5＝2m5，故本选项不合题意； B、（m3）4＝m12，故本选项符合题意； C、（2m2）3＝8m6，故本选项不合题意； D、m8÷m2＝m6，故本选项不合题意． 故选：B． 八．完全平方公式的几何背景（共2小题） 10．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8． ∴a2+b2＝40． ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴2ab＝64﹣40＝24， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积等于ab12＝6． 故选：A． 11．（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为 　6　 ． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为 　6　 ； （ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值． 【解答】解：（1）3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2） ＝3a2﹣6ab+3b2﹣2a2+mab﹣2b2 ＝a2+（m﹣6）ab+b2， ∵不含有ab项， ∴m﹣6＝0， ∴m＝6， 故答案为：6． （2）（i）设正方形BCFG和AEDC的边长分别为a和b，则△AFC的面积为ab． 根据题意，得a+b＝8，a2+b2＝40， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64， ∴ab＝12， ∴S△AFC12＝6， 故答案为：6． （ii）令（9﹣x）＝m，（x﹣6）＝n，则（9﹣x）2+（x﹣6）2＝m2+n2， ∴m+n＝3，mn＝2， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝9， ∴m2+n2＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣6）2＝5． 九．完全平方式（共2小题） 12．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式， ∴2m＝±6， ∴m＝±3， 故选：B． 13．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为　1　 ． 【解答】解：∵a+b＝1， ∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b ＝1×（a﹣b）+2b ＝a﹣b+2b ＝a+b ＝1， 故答案为：1． 十．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题） 14．分解因式：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　 ． 【解答】解：2a2﹣8 ＝2（a2﹣4） ＝2（a+2）（a﹣2）， 故答案为：2（a+2）（a﹣2）． 十一．分式有意义的条件（共1小题） 15．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠1　 ． 【解答】解：由题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1， 故答案为：x≠1． 十二．分式的值为零的条件（共1小题） 16．如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 【解答】解：根据题意，得 |x|﹣1＝0且x+1≠0， 解得，x＝1． 故选：B． 十三．分式的加减法（共2小题） 17．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【解答】解∵1 又∵x为正整数， ∴1 故表示的值的点落在② 故选：B． 18．照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：（v≠f）， ， ， ， u． 故选：C． 十四．分式的化简求值（共1小题） 19．先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【解答】解： • • ， ∵x+3≠0，x﹣1≠0， x≠﹣3，x≠1， ∴当x＝2时，原式2． 十五．二元一次方程组的解（共1小题） 20．已知方程组，则x+3y的值为 　9　 ． 【解答】解：， ①﹣②得，x+3y＝9． 故答案为：9． 十六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 21．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得： ， 故选：A． 十七．分式方程的解（共1小题） 22．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 【解答】解：原分式方程可化为：2， 去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2， 解得x， ∵分式方程解是非负数， ∴0，且1， ∴m的取值范围是：m≤5且m≠3， 故选：C． 23．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或 B．或 C．﹣3或或 D．﹣3或 【解答】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3， 原分式方程可化为：1， 去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2）， 整理得（3+m）x＝﹣7， ∵分式方程无解， ∴3+m＝0， ∴m＝﹣3， 把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7， 得m或m， 综上所述：m的值为m或m或m＝﹣3， 故选：C． 十八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题） 24．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程　　 ． 【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：， 故答案为：． 十九．不等式的性质（共1小题） 25．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y 【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意； B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意； C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意； D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意． 故选：D． 二十．解一元一次不等式组（共1小题） 26．解不等式组：． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x＜2， ∴原不等式组的解集为：1＜x＜2． 二十一．一元一次不等式组的整数解（共1小题） 27．若关于x的一元一次不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1≤m≤0 【解答】解：， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x＞m﹣1， ∴原不等式组的解集为： m﹣1＜x＜1， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴﹣2≤m﹣1＜﹣1， 解得：﹣1≤m＜0， 故选：C． 二十二．一元一次不等式组的应用（共1小题） 28．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　） A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5 【解答】解：由题意得，， 解不等式①得x≤3， 解不等式②得，x＞2， ∴x的取值范围是2＜x≤3． 故选：B． 二十三．点的坐标（共1小题） 29．已知点P（m+2，2m﹣4）在y轴上，则点P的坐标是 　（0，﹣8）　 ． 【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在y轴上， ∴m+2＝0， 解得：m＝﹣2， 故2m﹣4＝﹣8， 故点P的坐标为：（0，﹣8）． 故答案为：（0，﹣8）． 30．在平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，﹣4），则点M到x轴的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【解答】解：在平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，﹣4），则点M到x轴的距离是|﹣4|＝4． 故选：B． 二十四．函数关系式（共1小题） 31．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 【解答】解：由图可知，小桌的长为2x尺，则y＝x+x+2x，即y＝4x． 故选：B． 二十五．函数自变量的取值范围（共1小题） 32．函数y中自变量x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4 【解答】解：x﹣4≥0 解得x≥4， 故选：B． 二十六．动点问题的函数图象（共1小题） 33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝4，∠A＝45°， ∵CD⊥AB于点D， ∴AD＝BD＝2， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴四边形CEPF是矩形， ∴CE＝PF，PE＝CF， ∵点P运动的路程为x， ∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时， 即0＜x＜2时， AP＝x， 则AE＝PE＝x•sin45°x， ∴CE＝AC﹣AE＝2x， ∵四边形CEPF的面积为y， y＝PE•CE x（2x） x2+2x （x﹣2）2+2， ∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下； 当点P沿D→C路径运动时， 即2≤x＜4时， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴PE＝PF， ∴四边形CEPF是正方形， ∵AD＝2，PD＝x﹣2， ∴CP＝4﹣x， y（4﹣x）2（x﹣4）2． ∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A． 故选：A． 二十七．一次函数的应用（共4小题） 34．如图，入射光线MN遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P（﹣1，0），若光线MN满足的一次函数关系式为，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，延长MN交x轴于点P′，过点N作AB⊥y轴． 根据光的反射定律，∠MNA＝∠PNA， ∵∠MNA＝∠BNP′， ∴∠PNA＝∠BNP′， ∵∠PNA+∠PNO＝90°，∠BNP′+∠P′NO＝90°， ∴∠PNO＝∠P′NO， 在Rt△PNO与Rt△P′NO中， ， ∴Rt△PNO≌Rt△P′NO（ASA）， ∴OP＝OP′， ∵P（﹣1，0）， ∴P′（1，0）， 将P′（1，0）代入y＝ax， 得a0， 解得a． 故选：A． 35．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行xmin，收费yA元，且；B品牌电动车骑行xmin，收费yB元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义． （2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【解答】解：（1）由图象可得，P（20，8）， 交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元． （2）由题意，设当x＞10时，y2＝k1x+b， 将点（10，6），（20，8）代入得， ， ∴． ∴当x＞10时，y2＝0.2x+4． ∴y2． 又由题意，王老师从家骑行到学校所需时间为9000÷300＝30（min）， ∴A品牌所需费用为0.4×30＝12（元），B品牌所需费用为0.2×30+4＝10（元）， ∵12＞10， ∴选择B品牌共享电动车更省钱． （3）由题意，当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3， ∴6﹣0.4x＝3， ∴x＝7.5． 当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3， ∴0.2x+4﹣0.4x＝3或0.4x﹣（0.2x+4）＝3， ∴x＝5（舍去）或x＝35． 综上，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 36．自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案． 【解答】解：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元， 根据题意得，4， 解得：x＝2500． 经检验，x＝2500是原方程的解． ∴1.2x＝3000， ∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元． （2）设购买a台A型设备，则购买（50﹣a）台B型设备， ∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000， 由实际意义可知，， ∴12.5≤a≤50且a为整数， ∵500＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝13时，w的最小值为500×13+125000＝131500（元）． ∴w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元． 37．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【解答】解：（1）∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴桐桐所用时间为：1500÷60＝25（分）． ∴m＝25． ∴m的实际意义是桐桐25分钟步行1500米到达A景点． （2）由题意，∵桐桐在A景点休息10分钟， ∴此时图象起点为（35，0）． 又∵桐桐比小兴早5分钟到达C景点， ∴图象过（45，3500）． 设桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝at+b， ∴． ∴． ∴桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝350t﹣12250． （3）由题意可设小兴的路程s与t的解析式为s＝kt， 又∵图象过（50，3500）， ∴3500＝50k． ∴k＝70． ∴小兴的路程s与t的解析式为s＝70t． 又∵桐桐从B景点出发步行去A景点的图象过（0，1500）（25，0）， 设此时的解析式为s＝pt+q， ∴． ∴． ∴桐桐从B景点出发步行去A景点的解析式为s＝﹣60t+1500（0≤t≤25）． ∵两人在途中相遇，结合函数图象， ∴令70t＝﹣60t+1500，则t；令70t＝350t﹣12250，则t． ∴两人在途中相遇时的时间为分或分． 二十八．一次函数综合题（共1小题） 38．对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2﹣MB2|＝AB2，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB的等垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1）． （1）如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是 D（1，2），F（﹣1，﹣1）　 ； （2）已知点P（t，1），Q（t+2，0）． ①如图2，当t＝0时，若直线yx+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值； ②如图3，若△ABC边上（包含顶点）存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是 　﹣4≤t＜1　 ． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（1，1）， ∴AB2＝4， ∵|CA2﹣CB2|＝|（﹣1﹣0）2+（1﹣4）2﹣[（1﹣0）2+（1﹣4）2]|＝0， ∴|CA2﹣CB2|≠AB2， ∴点C不是线段AB的垂点； ∵|DA2﹣DB2|＝|（1+1）2+（2﹣1）2﹣[（1﹣1）2+（2﹣1）2]|＝4， ∴|DA2﹣DB2|＝AB2， ∴点D是线段AB的垂点； ∵|EA2﹣EB2|＝|（3+1）2+（﹣2﹣1）2﹣[（3﹣1）2+（﹣2﹣1）2]＝12， ∴|EA2﹣EB2|≠AB2， ∴点E不是线段AB的垂点； ∵|FA2﹣FB2|＝|（﹣1+1）2+（﹣1﹣1）2﹣[（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2]＝4， ∴|FA2﹣FB2|＝AB2， ∴点F是线段AB的垂点； 综上所述，点D、F是线段AB的垂点； 故答案为：D（1，2），F（﹣1，﹣1）； （2）①当t＝0时，点P（0，1），Q（2，0）， 设点M是直线yx+b上存在的线段PQ的等垂点，则M（m，m+b）， 过点M作MG⊥y轴于点G，过点M′作M′H⊥y轴于点H， ∴MP＝PQ，MP⊥PQ， ∴∠PGM＝∠QOP＝90°， ∴∠MPG+∠PMG＝90°，∠QPO+∠MPG＝90°， ∴∠PMG＝∠QPO， ∴△PMG≌△QPO（AAS）， ∴MG＝OP＝1，PG＝OQ＝2， ∴OG＝OP+PG＝1+2＝3， ∴M（1，3）， ∴， 解得：； 同理可得：M′（﹣1，﹣1）， ∴， 解得：； ∴b的值为或； ②∵P（t，1），Q（t+2，0）． ∴线段PQ的垂点一定在直线y＝2x+b′上， 把C（0，4）代入y＝2x+b′，得b′＝4， 当Q（t+2，0）在直线y＝2x+4上时，0＝2（t+2）+4， 解得：t＝﹣4， 把B（1，1）代入y＝2x+b′，得b′＝﹣1， 当P（t，1）在直线y＝2x﹣1上时，1＝2t﹣1， 解得：t＝1， ∴t的取值范围是﹣4≤t＜1； 故答案为：﹣4≤t＜1． 二十九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 39．如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D． 由题意，设A（a，）（a＞0）， ∵AO＝AC，AD⊥OC， ∴OC＝2OD＝2a． 又设直线OA为y＝mx， ∴ma． ∴m． ∴直线OA为yx． 联立， ∴x2． ∴x＝±． ∴B（，）． ∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC OC•|yB|OC•|yA| 2a（） k． 又∵S△ABC＝6， ∴k＝6． ∴k＝4． 故选：C． 三十．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 40．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（　　） A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3 【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上， ∴k＝6． 又B（m，﹣2）在反比例函数上， ∴m＝﹣3． ∴B（﹣3，﹣2）． 结合图象， ∴当ax+b时，﹣3＜x＜0或x＞2． 故选：A． 41．如图，点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　（，2）　 ． 【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上， ∴2． ∴k＝4． ∴双曲线解析式为y． 如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G． ∵A（2，2）， ∴AD＝OD． ∴∠AOD＝45°． ∴∠AOB＝45°． ∵OA∥BC， ∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°． ∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°． ∴∠CBG＝∠BCG． ∵BC＝2， ∴BG＝CG． ∴C点的横坐标为． 又C在双曲线y上， ∴C（，2）． 故答案为：（，2）． 三十一．反比例函数综合题（共1小题） 42．如图，两个反比例函数y和y的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（　　） A．3 B．4 C． D．5 【解答】解：如图所示，过点A作AM⊥y轴，过点B作BM⊥x轴， ∵由题意得，， ∴，， ∴矩形PDOC∽矩形PBMA， ∴， ∵P在y上， ∴S矩形PDOC＝1， ∴S矩形PBMA＝9， ∴S△PAB， 故选：C． 三十二．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 43．已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（　　） A．y＝3x B．y＝3x2 C．y D．y 【解答】解：A．y＝3x，因为3＞0，所以y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3，不符合题意； B．y＝3x2，当x＝1和x＝﹣1时，y相等，即y3＝y2，故不符合题意； C．y，当x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3，不符合题意； D．y，当x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而增大，所以y3＜y1＜y2，符合题意； 故选：D． 44．若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（　　） A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0 【解答】解：将（k，2k）代入二次函数，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0． ∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的一元二次方程，总有两个不同的实根， ∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0． 令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s ∵f（t）＞0， ∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0， 即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1． 故选：D． 45．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 【解答】解：由题意，∵当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线xm+1． ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ∵﹣m﹣3＜﹣m+1， 又A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q， ∴﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|． ∴|3m﹣1|＜4． ∴﹣4＜3m﹣1＜4． ∴﹣1＜m． 故选：A． 46．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于x1＝1，y1＝y2，请用t表示x2； （2）若对于﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1，都有y1＞y2，求t的取值范围． 【解答】解：（1）∵y1＝y2， ∴M（x1，y1）与N（x2，y2）关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线x＝t，x1＝1， ∴x2＝2t﹣1； （2）对于﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1，都有y1＞y2，分情况讨论： ①M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴的左侧，如图1， ∵﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1， ∴， 解①得：t≥1． 解②得：t≤1． ∴t＝1， ②M（x1，y1）在对称轴左侧，N（x2，y2）在对称轴的右侧，如图2： ∵﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1， ， 解①得：t， 解②得：t≥2， 解③得：t≥0， ∴t≥2； ③M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴的右侧，如图3， ∵﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1， ∴， 解①得：t， 解②得：t≥2， ∴不等式组无解； ④M（x1，y1）在对称轴右侧，N（x2，y2）在对称轴的左侧，如图4： ∵﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1， ， 解①得：t≤0， 解②得；t≤1， 解③得：t≤﹣2， ∴不等式组的解集为：t≤﹣2． 综上分析，t的取值范围为t≥1或t≤﹣2． 三十三．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 47．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0； ②3b+2c＞0； ③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立； ④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴对称轴是直线x1． ∴1． ∴b＝2a． 又图象可得，a＞0，c＜0， ∴b＝2a＞0． ∴abc＜0，故①正确． ∵B（1，0）在抛物线上， ∴a+b+c＝0． 又b＝2a， ∴b+c＝0． ∴3b+2c＝0，故②错误． ∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为a﹣b+c． ∴对应任意的m，当x＝m时，函数值y＝am2+bm+c≥a﹣b+c． ∴am2+bm≥a﹣b，故③正确． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵|﹣4﹣（﹣1）|＝3＞|（﹣1）|， ∴y1＞y2，故④错误． 综上，正确的有2个． 故选：B． 48．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．有下列说法： ①abc＞0； ②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1； ③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0； ④当x＞1时，y的值随x值的增大而减小； ⑤am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴抛物线的对称轴是直线x1，故②正确． ∴b＝2a＞0． 又抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0． ∴abc＜0，故①错误． ∵抛物线开口向上，且抛物线与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴当﹣3＜x＜0时，y＝ax2+bx+c＜0，故③错误． ∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．故当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误． ∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为a﹣b+c． ∴对于抛物线上任意的x＝m时，y＝am2+bm+c≥a﹣b+c． ∴am2+bm≥a﹣b，故⑤正确． 综上，正确的有②⑤共2个． 故选：B． 49．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程：ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的是（　　） A．②④ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④ 【解答】解：根据图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴1，即b＝﹣2a． ∴b＜0， ∴abc＞0． 故①错误． 方程ax2+bx+c＝0，即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点， 根据图象已知一个交点﹣1＜x1＜0，关于x＝1对称， ∴另一个交点2＜x2＜3． 故②正确． ∵对称轴是直线x＝1， ∴点（，y2）离对称轴更近， ∴y1＞y2， 故③错误． ∵1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+c， 根据图象，令x＝﹣1， y＝a+2a+c＝3a+c＞0， ∴6a+2c＞0， ∵a＞0， ∴11a+2c＞0， 故④正确． m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a， am2﹣2am≥﹣a， 即证：m2﹣2m+1≥0， m2﹣2m+1＝（m﹣1）2， ∴m为任意实数，m2﹣2m+1≥0恒成立． 故⑤正确． 综上②④⑤正确． 故选：C． 50．已知抛物线y＝x2﹣2ax+m． （1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值； （2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由； （3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝2，m＝﹣5时， y＝x2﹣4x﹣5 ＝（x﹣2）2﹣9 所以抛物线的最小值为﹣9． （2）当a＝2时， y＝x2﹣4x+m ＝（x﹣2）2+m﹣4 因为该抛物线与坐标轴有两个交点， 所以①抛物线与y轴有1个交点，与x轴有1个交点，Δ＝0， 即16﹣4m＝0，解得m＝4， ∴m＝4 ②当抛物线过原点时，m＝0， ∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点， ∴y＝x2﹣4x+4+k或y＝x2﹣4x+k 此时Δ＜0， 即16﹣4（4+k）＜0或16﹣4k＜0， 解得4+k＞4， ∴k＞0或k＞4， ∴k＞4； ∴m＝0时，k＞4或当m＝4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点； （3）当m＝0时，y＝x2﹣2ax 抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0． 直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点， 平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方， ①当a＞0时，如图1所示， 此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1； ②当a＜0时，如图2所示， 此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1． 综上：a＜﹣1或a＞1． 三十四．二次函数图象与几何变换（共1小题） 51．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 y＝（x+1）2+4　 ． 【解答】解：由题意，抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1+3＝（x+1）2+4． 故答案为：y＝（x+1）2+4． 三十五．抛物线与x轴的交点（共1小题） 52．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 c　 ． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点， ∴Δ＝1﹣4c＜0． ∴c． 故答案为：c． 53．如图，抛物线yx2−x−2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为 　（﹣6，10）　 ． 【解答】解：延长DC交x轴于点M， ∵∠DCA＝2∠CAB， ∴∠CAB＝∠CMA． ∴CA＝CM． ∵抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A，B， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． 过点C作CQ⊥AM于点Q， ∴QM＝AQ＝8． ∴点M坐标为（14，0）． 由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：yx+7， 令yx+7x2x﹣2， 解得x＝﹣6或6（舍去）， ∴x＝﹣6，y（﹣6）+7＝10． ∴点D坐标为（﹣6，10）． 故答案为：（﹣6，10）． 三十六．二次函数的应用（共4小题） 54．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 ﹣3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．当x＝2时，该函数有最大值 C．当x＝0时，y＝﹣3 D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2 【解答】解：由表中数据可知，y随x先增大后减小， ∴函数图象开口向下， 故A正确，不符合题意， ∵x＝1，y＝0；x＝3，y＝0， ∴对称轴为直线x2， ∵开口向下， ∴当x＝2时，该函数有最大值， 故B正确，不符合题意， ∵对称轴为x＝2，x＝4时，y＝﹣3， ∴x＝0时，y＝﹣3， 故C正确，不符合题意， 在函数图象上有两点A（x1，﹣4），， 当A，B都在对称轴左侧时，x1＜x2， 当A，B都在对称轴右侧时，x1＞x2， 当A在左侧，B在右侧时，x1＜x2， 当A在右侧，B在左侧时，x1＞x2， 故D不正确，符合题意， 故选：D． 55．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6）， ∴81a+9＝3.6． 解得：a． ∵yx+b经过点（9，3.6）， ∴3.69+b． 解得：b＝8.1； ②由①得：yx2+x （x2﹣15x） （x）2（0≤x≤9）． ∴火箭运行的最高点是km． ∴1.35＝2.4（km）． ∴2.4x2+x． 整理得：x2﹣15x+36＝0． 解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3． 由①得：yx+8.1． ∴2.4x+8.1． 解得：x＝11.4． ∴11.4﹣3＝8.4（km）． 答：这两个位置之间的距离为8.4km； （2）当x＝9时，y＝81a+9． ∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）． 设火箭落地点与发射点的水平距离为15km． ∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0） ∴． 解得：． ∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 56．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）∵甲种灯笼单价为x元/对， ∴乙种灯笼的单价为（x+9）元/对， 由题意得： ， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 57．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 y（x+3）2　 ； （2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【解答】解：（1）由题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C（﹣3，）， ∴可设抛物线为y＝a（x+3）2． 又B（0，2）， ∴2＝a（0+3）2． ∴a． ∴抛物线为y（x+3）2． 故答案为：y（x+3）2． （2）①由题意，∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称， ∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称． ∴B是它们的中点． 又C（﹣3，），B（0，2）， ∴抛物线BD的顶点为（3，）． ∴此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线BD为y＝a'（x﹣3）2， 将B（0，2）代入得， ∴a'（0﹣3）22． ∴a'． ∴抛物线BD的解析式y（x﹣3）2． ②由①得y（x﹣3）2， 令y＝0， ∴0（x﹣3）2． ∴x＝8或x＝﹣2（舍去）． ∴OD＝8米． 又OE＝12米， ∴DE＝12﹣8＝4＞3． ∴落点D在安全范围内． （3）由题意，如图，EF即为所求钢架． ∵ACB所在抛物线y（x+3）2， 令y＝4， ∴4（x+3）2． ∴x＝﹣8或x＝2（舍去）． ∴M（﹣8，4）． 又B（0，2）， ∴直线BM为yx+2． ∵EF∥BM， ∴可设EF为yx+m． 联立方程组， ∴（x+3）2x+m． ∴x2+8x﹣8m+16＝0． ∴Δ＝64﹣4（﹣8m+16）＝0． ∴m＝0 ∴直线EF为yx，过原点，即F与O重合． ∵M（﹣8，4）， ∴令x＝﹣8，则yx（﹣8）＝2． ∴EN＝2米，ON＝8米． 又∠ENO＝90°， ∴EF＝EO2（米）． 答：这条钢架的长度为2米． 三十七．二次函数综合题（共2小题） 58．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D， 由对称性得：D（3，0）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把A（0，3）代入得：3＝3a， a＝1， ∴抛物线的解析式：y＝x2﹣4x+3； （2）如图2，∵△AOE的面积是定值，所以当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大， 设P（m，m2﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式为：y＝x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m）， ∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3， ∴S四边形AOPE＝S△AOE+S△POE， 3×3PG•AE， 3×（﹣m2+5m﹣3）， ， （m）2， ∵0， ∴当m时，S有最大值是； （3）分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM＝PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m， 解得：m（舍）或， ∴P的坐标为（，）； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3， 同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得：m1（舍）或m2， ∴P的坐标为（，）； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时， 如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN＝FM， 则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2， 解得：m或（舍）； P的坐标为（，）； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5， 同理得m2﹣4m+3＝m﹣2， 解得：m或（舍）， P的坐标为：（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 59．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）， ∴， 解得， 故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）令x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 则点C的坐标为（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4）， 设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F， ∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12， ∵DC＝DE， ∴m2+9＝m2+8m+16+1， 解得m＝﹣1， ∴点D的坐标为（0，﹣1）； （3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1， 根据勾股定理，CD， 在△COD和△DFE中， ∵， ∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF＝∠DCO， 又∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠EDF+∠CDO＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°， ∴CD⊥DE， ①分OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴， 即， 解得DP， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则， 即， 解得DG＝1，PG， 当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0， 所以点P（，0）， 当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2， 所以，点P（，﹣2）； ②OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴， 即， 解得DP＝3， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则， 即， 解得DG＝9，PG＝3， 当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8， 所以，点P的坐标是（﹣3，8）， 当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10， 所以，点P的坐标是（3，﹣10）， 综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）． 60．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1）， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3． （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 令y＝0，则x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0）． ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h， 令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0， ∵该抛物线与直线BC始终有交点， ∴Δ＝9﹣4h≥0， ∴h． ∴h的最大值为． （3）存在，理由如下： 由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2， ∴E（2，﹣1）， ∴DE＝2， 设点M（m，﹣m2+4m﹣3）， 若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况： ①当DE为边时，DE∥MN， 则N（m，m﹣3）， ∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|， ∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m或m． ∴N（1，﹣2）或（，）或（，）． ②当DE为对角线时， 设点N的横坐标为t， 则N（t，t﹣3）， ∴， 解得m或（舍）， ∴N（3，0）． 综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）． 三十八．展开图折叠成几何体（共1小题） 61．在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD是正方形； 乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD是正方形； 丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD是长方形，AB＝2AD． 将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正确的是（　　） A．甲＞乙＞丙 B．甲＞丙＞乙 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲 【解答】解：甲所折成的无盖长方体的容积为：5×3×3＝45（cm3）， 乙所折成的无盖长方体的容积为：10×2×2＝40（cm3）， 丙所折成的无盖长方体的容积为：6×4×2＝48（cm3）， ∴丙＞甲＞乙． 故选：C． 三十九．勾股定理（共1小题） 62．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB6， 故选：D． 四十．勾股定理的证明（共1小题） 63．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①， ∵（m+n）2＝21， ∴m2+n2+2mn＝21②， ①+②得2（m2+n2）＝26， ∴大正方形的面积为：m2+n2＝13， 故选：B． 四十一．三角形中位线定理（共1小题） 64．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　5　 ． 【解答】解：延长BP与AC相交于D， 因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP 所以△ABP≌△APD（ASA）， 于是AB＝AD＝12，BP＝PD 又∵M是BC边的中点 故PM∥AC 所以PM＝DC10＝5 故MP的长为5． 故答案为5． 四十二．多边形内角与外角（共2小题） 65．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【解答】解：由题意得： ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝280°， ∴∠5＝360°﹣280°＝80°， 故选：B． 66．正八边形一个内角的度数为 　135°　 ． 【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°， 每一个内角的度数为1080°＝135°． 故答案为：135°． 67．如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为 　15°　 ． 【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形， ∴AB＝BC＝BG， ∴∠BCG＝∠BGC， ∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6＝120°， 正方形ABGH的每个内角是90°， ∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∴∠BCG+∠BGC＝180°﹣150°＝30°， ∴∠BCG＝15°． 故答案为：15°． 四十三．正方形的性质（共1小题） 68．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM， 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， 设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x， 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32， 解得x． 故选：D． 三十七．四边形综合题（共1小题） 69．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 【解答】解：（1）1＜AD＜5． ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜AE＜6+4， ∴2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5． 证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示． 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得： BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF． （3）如图③，延长AE，DF交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠G， 在△ABE和△GCE中， CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE≌△GEC（AAS）， ∴CG＝AB， ∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG＝∠GAF， ∴∠FAG＝∠G， ∴AF＝GF， ∵FG+CF＝CG， ∴AF+CF＝AB． 70．如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G． （1）求证：GE＝GF． （2）当AE＝2DG时，求AE的长． （3）令AE＝a，DG＝b． ①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4． ②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a＝1时，求的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠GEF＝∠BFE， ∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称， ∴∠BFE＝∠GFE， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴GE＝GF； （2）解：过G作GH⊥BC于H，如图： 设DG＝x，则AE＝2x， ∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝8﹣3x＝GF， ∵∠GHC＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形GHCD是矩形， ∴GH＝CD＝AB＝4，CH＝DG＝x， ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴CF＝AE＝2x， ∴FH＝CF﹣CH＝x， 在Rt△GFH中，FH2+GH2＝GF2， ∴x2+42＝（8﹣3x）2， 解得x＝3（此时AE大于AD，舍去）或x＝3， ∴AE＝2x＝6﹣2； ∴AE的长为6﹣2； （3）①证明：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图： ∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O， ∴O为EF中点，OA＝OD，OQAB＝2， ∵GE＝GF， ∴OG⊥EF， ∴∠GOQ＝90°﹣∠EOQ＝∠QEO， ∵∠GQO＝90°＝∠OQE， ∴△GOQ∽△OEQ， ∴，即GQ•EQ＝OQ2， ∴GQ•EQ＝4， ∵OA＝OD，OQ⊥AD， ∴AQ＝DQAD＝4， ∴EQ＝AQ﹣AE＝4﹣a，GQ＝DQ﹣GD＝4﹣b， ∴（4﹣a）（4﹣b）＝4； ②解：连接B'D，OG，OB，如图： ∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称， ∴BF＝B'F， ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴BF＝DE， ∴B'F＝DE， 同理OD＝OB＝OB'， 由（1）知GF＝GE， ∴B'F﹣GF＝DE﹣GE，即B'G＝DG， ∵OG＝OG， ∴△DOG≌△B'OG（SSS）， ∴∠ODG＝∠OB'G， ∵DG＝B'G，∠DGK＝∠B'GH， ∴△DGK≌△B'GH（ASA）， ∴DK＝B'H，GK＝GH， ∴OD﹣DK＝OB'﹣B'H，即OK＝OH， ∵OG＝OG， ∴△OGK≌△OGH（SSS）， ∴S△OGK＝S△OGH， ∴S1＝2S△OGK， ∴， ∵∠EGF＝∠DGB'，GE＝GF，GD＝GB'， ∴∠GEF＝∠GFE＝∠GDB'＝∠GB'D， ∴EF∥B'D， ∴△OKF∽△DKB'，△EGF∽△DGB'， ∴， ∵， ∴， ∵△EGF∽△DGB'， ∴， 当a＝1时，由①知（4﹣1）×（4﹣b）＝4， ∴b， ∴AE＝1，DG， ∴GE＝AD﹣AE﹣DG， ∴， ∴的值为． 四十四．点与圆的位置关系（共1小题） 71．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．1 B． C．21 D．2 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD，即OM的最大值为； 故选：B． 四十五．扇形面积的计算（共1小题） 72．如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交于点E，∠CAB＝30°，AC＝AE、CD＝2，则图中阴影部分的面积为 　1　 ． 【解答】解：连接OC、OD． ∵AC＝AE，∠CAB＝30°， ∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAB）÷2＝75°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝∠ACE﹣∠OCA＝75°﹣30°＝45°， ∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝90°， ∴OD＝CD•sin∠OCD＝2， ∴SRt△CODOC•OD＝1， ∵S扇形CODπOD2， ∴S阴影＝S扇形COD﹣SRt△COD1． 故答案为：1． 四十六．轴对称-最短路线问题（共1小题） 73．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE的长度最小值为 　44　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∵∠ABE＝∠BCE， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴点E在以BC为直径的半圆上移动， 如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F， 连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE＝4， ∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8， ∴OG＝12， ∴OF4， ∴EF＝44， ∴PD+PE的长度最小值为44， 故答案为：44． 四十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 74．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P为边CD上一个动点，将△APD沿AP折叠得到△APQ，点D的对应点为Q，当射线PQ恰好经过AB的中点M时，DP的长为 　2或8　 ． 【解答】解：①PQ的延长线过AB的中点M，如题干图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠D＝90°， ∴∠APD＝∠PAM， ∵将△APD沿AP折叠得到△APQ，AD＝4， ∴∠APD＝∠APM，∠AQP＝∠D＝90°，AQ＝AD＝4，DP＝QP， ∴∠APM＝∠PAM，∠AQM＝90°， ∴MP＝MA， ∵AB＝10，M是AB的中点， ∴MP＝MA＝5， 在Rt△AMQ中， 由勾股定理，得MQ3， ∴DP＝QP＝MP﹣MQ＝5﹣3＝2； ②PQ过AB的中点M，如图， 同①，可求得MQ＝3，PM＝AM＝5， ∴DP＝QP＝MP+MQ＝5+3＝8． 综上，DP＝2或8． 故答案为：2或8． 75．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为边CD的中点，连接AE，BE，P为边AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折，若点A的对应点A'恰好落在△ABE的边上，则线段AP的长为 　1或1　 ． 【解答】解：分两种情况： ①如图所示，当点A'落在AE上时， ∵AP＝A'P，AB＝A'B， ∴BP垂直平分AE， ∴∠ABP+∠BAE＝90°＝∠DAE+∠BAE， ∴∠ABP＝∠DAE， 又∵AB＝AD，∠BAP＝∠ADE＝90°， ∴△ABP≌△DAE（ASA）， ∴AP＝DE， ∵正方形ABCD中，AB＝2，E为边CD的中点， ∴DE＝1， ∴AP＝1； ②如图所示，当点A落在BE上时，连接PE， 设AP＝x，则DP＝2﹣x，A'P＝x， 由折叠可得，A'B＝AB＝2，∠BA'P＝∠BAP＝90°， Rt△BCE中，BE， ∴A'E2， ∵A'P2+A'E2＝PE2＝PD2+DE2， ∴x2+（2）2＝（2﹣x）2+12， 解得x1． ∴AP1． 综上所述，线段AP的长为1或1． 故答案为：1或1． 76．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：根据翻折的性质可知：∠FBD＝∠DBC， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠FBD， ∴BF＝DF， 设BF＝DF＝x， ∴AF＝9﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴AF2+AB2＝BF2， （9﹣x）2+32＝x2， 解得x＝5， ∴S△FDB5×3． 故答案为：． 四十八．几何变换综合题（共1小题） 77．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边在△ABC外作等腰△AMC，满足MA＝MC，AM∥BC，O是边AC的中点，连结BO，作射线BO交折线段A﹣M﹣C于点N，若MN＝2，ON＝3，则AM的长为 　3或1　 ． 【解答】解：分N在AM和CM上两种情况： ①当N在CM上，分别延长AM，BN，并交于点P，如图， ∵∠ABC＝90°，O是边AC的中点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵MA＝MC， ∴∠MAC＝∠MCA， ∵AM∥BC， ∴∠MAC＝∠OCB， 在△PAO和△CBO中， ， ∴△PAO≌△CBO（ASA）， ∴OP＝OC， ∴OA＝OC＝OB＝OP，∠P＝∠OBC＝∠MCA， ∴△MNP∽△CNB，△MNP∽△ONC， ∴，， 设MA＝MC＝x， ∵MN＝2，ON＝3， ∴，， ∴OB，OB， ∴， ∴x2﹣6x﹣10＝0， 解得x＝3或x＝3（不符合题意，舍去）， 经检验，x＝3时，x﹣4≠0， ∴x＝3是原方程的解； ②当N在AM上时，连接CN，如图， 设MA＝MC＝x， ∵∠ABC＝90°，O是边AC的中点， ∴OA＝OB＝OC， ∵AM∥BC， ∴∠MAC＝∠OCB， 在△AON和△COB中， ， ∴△AON≌△COB（ASA）， ∴AN＝BC，ON＝OB， ∴OA＝OC＝OB＝ON＝3，AN＝AM﹣MN＝x﹣2， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCN是矩形， ∴∠ANC＝∠CNM＝90°， ∴CN2＝AC2﹣AN2＝CM2﹣MN2， ∵AC＝AO+CO＝6， ∴62﹣（x﹣2）2＝x2﹣22， ∴x2﹣2x﹣18＝0， 解得x＝1或x＝1（不符合题意，舍去）， 综上所述：AM的长为：3或1． 故答案为：3或1． 四十九．黄金分割（共1小题） 78．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4，则线段AC的长为 　22　 ． 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4， ∴， ∴AC＝22， 故答案为：22． 五十．旋转的性质（共1小题） 79．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2018的坐标为　（6054，2）　 ． 【解答】解：∵A（，0），B（0，2）， ∴Rt△AOB中，AB， ∴OA+AB1+B1C226， ∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2）， ∴B4的横坐标为：2×6＝12， ∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2， 即B2018的坐标是（6054，2）． 故答案为：（6054，2）． 五十一．中心对称图形（共1小题） 80．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 五十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 81．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4） 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）． 故选：B． 五十三．相似多边形的性质（共1小题） 82．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【解答】解：设HG＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1， 由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1， ∴四边形ADHE是矩形， ∵AD＝DH， ∴四边形ADHE是正方形， ∴AD＝HE＝1， ∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似， ∴， ∴， 解得：x1或x1， 经检验：x1或x1都是原方程的根， ∵GH＞0， ∴GH1， ∴DC＝2+x1， 故选：C． 五十四．解直角三角形的应用（共1小题） 83．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（　　） A．l12＝24Rsin15° B．l12＝24Rcos15° C．l12＝24Rsin30° D．l12＝24Rcos30° 【解答】解：∵十二边形A1A2…A12是圆内接正十二边形， ∴∠A6OA730°， ∵OA6＝OA7，OH⊥A6A7， ∴∠A6OH∠A6OA7＝15°，A6A7＝2A6H， 在Rt△OA6H中，OA6＝R， ∴A6H＝OA6•sin15°＝Rsin15°， ∴A6A7＝2A6H＝2Rsin15°， ∴圆内接正十二边形的周长l12＝24Rsin15°， 故选：A． 84．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G， 由题意得：四边形DGBF是矩形， ∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm， 在Rt△DGB中，tan∠BDG， ∴∠BDG＝53°， ∴∠PDH＝∠BDG＝53°， ∴入射角α的度数为53°； （2）∵BG＝16cm，BC＝7cm， ∴CG＝BG﹣BC＝9（cm）， 在Rt△CDG中，DG＝12cm， ∴DC15（cm）， ∴sinβ＝sin∠GDC， 由（1）得：∠PDH＝53°， ∴sin∠PDH＝sinα， ∴折射率n， ∴光线从空气射入水中的折射率n约为． 五十五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 85．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C． ∵BC＝5米，∠CBA＝∠α． ∴AB． 故选：B． 五十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 86．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm． （1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明． （精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F， 在Rt△AEF中，tan∠EAF， ∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm）， ∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°， ∴△ADF≌△AEF（ASA）， ∴EF＝DF＝35.1cm， ∴CE＝160+35.1＝195.1（cm）， ∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别； （2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P， 在Rt△APM中，tan∠MAP， ∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm）， ∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°， ∴△AMP≌△ANP（ASA）， ∴PN＝MP＝54.0cm， ∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm）， ∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm）， ∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm， ∴踮起脚尖小若能被识别． 五十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 87．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示． 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：∠PAB＝ 　30　 °，∠APC＝ 　75　 °，AB＝ 　5　 海里； （2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：1.41，1.73，2.45） 【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC于点D，则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形， 由题可知：∠APD＝60°，∠BPD＝45°，∠CPD＝15°， ∴∠PAB＝30°，∠APC＝∠APD+∠CPD＝60°+15°＝75°， 由题可知渔船每小时航行10海里，渔船从A处航行至B处时间为30分钟， 即半小时，故AB5海里； 故答案为：30，75，5； （2）设PD为x海里， 在Rt△BPD中，∠BPD＝45°， ∴∠PBD＝45°， ∴BD＝PD＝x， 在Rt△APD中，∠APD＝60°， ∴∠A＝30°， tan∠APD，cos∠APD， ∴ADPD，AP＝2PD， ∵AB＝AD﹣BD， ∴PD﹣PD＝5， ∴PD＝BD， ∴AP＝2PD13.65， 在△APC中，∠A＝30°，∠APC＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠APC＝75°， ∴∠C＝∠APC， ∴AC＝AP≈13.65， 设上午9时渔船航行至E处，则AE＝10， ∴CE＝AC﹣AE≈3.65＜5， ∴该渔船会进入“海况异常”区． 五十八．简单几何体的三视图（共1小题） 88．如图，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从上面可看到一个圆，它的底还有一个看不见的圆，用虚线表示，故选C． 五十九．简单组合体的三视图（共1小题） 89．如图所示的钢块零件的主视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从正面看是一个“凹”字形， 故选：A． 六十．扇形统计图（共1小题） 90．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 　144　 °． （2）请你将图2的统计图补充完整； （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好． （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 【解答】解：（1）利用扇形图可以得出： “7分”所在扇形的圆心角＝360°﹣90°﹣72°﹣54°＝144°； （2）利用扇形图：10分所占的百分比是90°÷360°＝25%， 则总人数为：5÷25%＝20（人）， 得8分的人数为：203（人）． 如图； （3）根据乙校的总人数，知甲校得9分的人数是20﹣8﹣11＝1（人）． 甲校的平均分：（7×11+9+80）÷20＝8.3分； 中位数为7分． 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲 校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断， 乙校的成绩较好． （4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校． 六十一．中位数（共1小题） 91．某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 【解答】解：（1）由条形图可知，第10个数据是3分，第11个数据是4分， ∴中位数为3.5分， 由统计图可得平均数为3.5分， ∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分， ∴该部门不需要整改． （2）监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有 ， 解得x＞4.55， ∵满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档． ∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分， ∵4＜5， ∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列后，第11个数据不变还是4分，即加入这个数据后，中位数是4分， ∴与（1）相比，中位数是发生了变化，由3.5分变成4分． 六十二．方差（共1小题） 92．甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为160cm，身高的方差分别为s甲2＝10.5，s乙2＝1.2．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是 　乙队　 ．（填“甲队”或“乙队”） 【解答】解：∵两队队员的平均身高为160cm，s甲2＝10.5，s乙2＝1.2， 即s甲2＞s乙2． ∴如果单从队员的身高考虑，演出形象效果较好的队是乙队． 故答案为：乙队． 六十三．全面调查与抽样调查（共1小题） 93．下列调查中，适合用抽样调查的是（　　） A．订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 B．考查一批灯泡的使用寿命 C．发射运载火箭前的检查 D．对登机的旅客进行安全检查 【解答】解：A．订购校服时了解某班学生衣服的尺寸，适合用全面调查，不符合题意； B．考查一批灯泡的使用寿命，适合用抽样调查，符合题意； C．发射运载火箭前的检查，适合用全面调查，不符合题意； D．对登机的旅客进行安全检查，适合用全面调查，不符合题意． 故选：B． 六十四．几何概率（共1小题） 94．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 　　 ． 【解答】解：如图， 由题意可知，AB＝CD＝5，BC＝9， ∴BD＝BC﹣CD＝9﹣5＝4， ∴S大正方形＝AC2＝AB2+BC2＝106， 则中间小正方形的面积为4×4＝16， 小正方形的外阴影部分的4S△ABD＝44×5＝40， ∴阴影部分的面积为16+40＝56， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $