2026年中考数学二轮信息必刷卷02（浙江专用）

**基本信息** 聚焦中考素养导向转型，融合数学文化（赵爽弦图）、社会热点（春晚触达数据、马拉松赛程）与跨学科情境（卫星导航），分层考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、视图、位似、反比例函数|陷阱题占两成（几何折叠），结合气体液化温度等真实数据| |填空题|6/18|因式分解、圆性质、概率、四边形综合|开放性问题（满足条件的值），第16题融合直角三角形与正方形拼图| |解答题|8/72|统计分析（阅读时长调查）、二次函数综合、圆与相似几何压轴|分层递进设计，22题以马拉松为背景考函数应用，24题圆与动态几何结合，体现代数推理与几何直观融合|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考二轮信息必刷卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B B A A C D C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.3a+2)(a-2 12.x=3 13.50°/50度 14号 15.1 16.3.2y6+1 3 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 【详解】解：原式=V2-1+1-2-2 22 8分 18.(8分) 【详解】解： 2x-y=3① 3x+2y=8② 法一：由①得y=2x-3③ 将③代入②得3x+2(2x-3=8 解得x=2 将x=2代入③得y=1, x=2 则方程组的解为 y=1 2x-y=3① 法二： 3x+2y=8②' 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①×2得4x-2y=6③ ③+②得：7x=14, 解得：x=2, 将x=2代入①得：4-y=3, 解得：y=1, x=2 则方程组的解为 0y=1‘ 8分 19.(8分) 【详解】(1)解：在ABC中，∠C=90°，∠A=40°， :∠ABC=90°-∠A=90°-40°=50°， 由作图得BD是∠ABC的平分线， 、∠ABD=∠ABC=25°；4分 (2)解：：BD是∠ABC的平分线，DG⊥AB,∠C=90°， .DG=DC=3, 、DG3 AD-5 AD=5, AC=AD+CD=5+3=8.8分 20.(8分) 【详解】(1)解：360°×10%=36°.2分 (2)解：300×1-15%-10%-45%）=90（人）， 阅读时长为“1小时~2小时”的同学人数为90-24-26-10=30（人）， 补全图形如下： “1小时~2小时”的同学在各阅 读时间段的人数的条形统计图 人数个 40 30 30 24 26 5分 20 10 10 0 早读前午休时段放学后其他时间 (3)解：1500×1-10%-45%)=675（人) 答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为675人.8分 2/10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.(8分) 【详解】(1)解：小亮的作法正确，理由如下： 设AC与BD交于点O. 由作图方法可知，AC垂直平分BD, .AB=AD,BO DO,BC=CD :四边形EBFD是平行四边形， DE∥BF,即AD∥BC. ∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC, .AOAD≌△OCB(AAS), .AD=BC, .AD=BC=AB=CD ·四边形ABCD是菱形；.4分 (2)解：作图如下： :四边形EBFD是平行四边形， .AF∥CE,AE=CF,AF=CE .∠DAB=∠EBA, :AB平分∠EAF, ∠EAB=∠DAB, ∠EAB=∠EBA, .EA=EB, 同理可得FD=FC, :DF=BE, .AF-DF CE-BE .AD=BC, :四边形ABCD是平行四边形， 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据现有条件无法证明AB=BC, ·.无法证明ABCD是菱形， 小丽的作法不正确。8分 22.(10分) 【详解】q)解：小明跑步的速度为5-千米分.2分 604 (2)解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为15-5=10（千米)， 故图象经过点(60,10)， 设OD对应的函数表达式y=x, 由题意得图象过点(60,10)， .10=60k, 解得太= 6 :OD对应的函数表达式y=x. 6 令y=21, 解得x=126. .a的值为126.6分 111 (3)解：当0≤x≤60时，根据题意，得5=46x=2, 且s随x的增大而增大， 故r=60时，5取得最大值，且最大值为s=×60=5(千米) 12 当60<r≤70时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为y=, 1 1 故s=15-x, 6 且s随x的增大而减小， 故x=60时，s取得最大值，且设大值为：= 5×60=5(千米)： 此时取不到60，故最大值小于5千米即s<5; 小明跑完最后6km所需的时间为6÷二=24min. 4 当70<x≤94时，根据题意，得小明的路程表达式为y=x-70+15=-25, 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小聪跑的路程表达式为y=x, 1 11 故s=x-2.5--x=二x-2.5, 4 6121 且s随x的增大而增大， 故x=94时，s取得最大值，且最大值为=方×94-25= (千米)： 当94<x≤126时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变： 小聪跑的路程表达式为y=后， 故s=21-二x, 6 且s随x的增大而减小， 故x=94时，5取得最大值，且最大值为s=21-二×94=16（千米）： 6 3 此时服不到94，故经大值小于千米即台 6>5, 3 当=94时，他们之间相距最远，且为6千米.…10 23.(10分) 【详解】(1)解：对于y=ar2-2ax+a-4,令x=0,则y=a-4 .点A(0,a-4, :y=ar2-2ax+a-4=a(x-12-4, .顶点P(1,-4) 设直线PA的函数表达式y=kx+a-4, -4=k+0-4, k=-a, 直线PA的函数表达式为y=-ax+a-4;3分 (2)解：①：P1,-4, “.将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位后，对应点的坐标为(3,0)， :平移后的(3,0)还是在该函数图象上， .a(3-1)2-4=0, 解得a=1;6分 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②：a=1, .y=(x-1)2-4, 当m<1时，y大-y6=(m-2-2-(m-户=2m,解得m=号（舍）： 当1≤m≤2时，y最大-y最水=(m-2-1)2-4-(-4)=2m, 解得m1=4+V7(舍)，m2=4-√7； 当2<m≤3时，y最大-y曼本=(m-1)2-4-(-4)=2m, 解得m,=2+√3（舍），m,=2-V3(舍)： 当m>3时，”爱大-y最本=(m-1)2-(m-3)》=2m，,解得m=4; m的值为4-√7和4.10分 24.(12分) 【详解】(1)①解：连接0E、0F、0G, AE=EF,FG=GD, B 图1 .∠AOE=∠EOF、LFOG=∠D0G, :∠E0F+∠F0G=∠AOE+∠DOG, 即∠E0G=∠A0E+LD0G, :∠E0G+∠A0E+∠D0G)=180°， 2∠E0G=180°， ∠E0G=90°， 、P=2∠EG=、 =2x90°=459；4分 ②证明：连接OE、PF、EO、EG、AF, 6/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D EH BC, B E 图1 ∠PEF=90°， PF为⊙0的直径， :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠DAF=∠AFE, DF=AE, AE EF, .AE=EF=FD, ∠AOE=∠EOF=∠FOD, :∠AOE+∠E0F+∠FOD=180°， .∠E0F=60°， :0E=0F, :EOF是等边三角形， .∠EF0=60°， :∠PGE=∠PFE, ∠PGE=60°， :EH⊥AD, :PH=HE, 在PQE中，QH⊥PE, ∴.△PQE是等腰三角形， ..PO=EO, 由①知，∠P=45°， .∠P=∠HEQ=45°， ∴.∠HQE=90°-∠HEQ=90°-45°=45°， ∴.∠PQH=90°-∠P=45°， ∴.∠GQH=180°-∠PQH=180°-45°=135°， 7/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EQG=∠GQH-∠HQE=135°-45°=90°， 在Rt△EQG中，∠QGE=60°， EO =tan60°=V3, GO :EO=30G, PQ=V3QG;8分 (2)解：连接AE、OE、OC、ED, D D 四边形ABCD是平行四边形， 图2 :AD=BC、AB=DC, :O为AD的中点、E为BC的中点， 6404AD、EC=)BC 2 :AO=EC AD‖BC, ·四边形AEC0是平行四边形， :AE =0C, AD =2AB, :.OE=OD=CD=EC, :四边形0ECD是菱形， :OC⊥ED、∠QDE=∠GDE, '∠EPG=∠EDG, .∠HPQ=∠QDE, ∠HPQ+∠HQP=90°、∠HQP=∠DQG, ∴.∠QDE+∠DQG=90°， ∠QMD=180°-∠QDE+∠DQG)=90°， ∴.QG⊥ED, ∴.QG‖OC, EC=CD, 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠DEC=∠EDC, .DF=EG, :EG=EF+FG、DF=DG+FG, EF=DG, :EF=DG, CF=CG=3, 在△QDM和△GDM中， [∠QMD=∠GMD DM=DM ∠QDM=∠GDM :△QDM≌GDM(ASA), ..OD GD, ∴.OD-QD=CD-DG, .0Q=CG=3, tan∠EPG=2 :设HQ=2a、PH=HE=3a, AE‖PG, .∠AEP=∠QPE, 在△AHE和△QHP中， [∠AHE=∠QHP EH=PH ∠AEH=∠QPH △AHE≌△DHP(ASA, ∴.AH=HQ=2a、PQ=AE, ∴OC=PQ=AE, .0A=0E=4a-3、0H=2a-3, 在Rt△OHE中，EH2+OH=OE2, .(3a2+(2a-32=(4a-32, 解得a=4, AH=8、HE=12、0E=13, 9/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE=√AH2+HE2=82+122=4V3, 0C=P0=43, .OGIlOC, ∴.∠DQG=∠DOC, :∠QDG=∠ODC, ∴.△DGAODC, OD OG OD OC 3-3_9G 即 13413’ 解得0G=40v3 13 PG=P0+QG=4n5+40E_92 12分 1313 10/10函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考二轮信息必刷卷 数学 考情速递 >》 中考新动向：命题正从“知识立意”向“素养导向”深度转型。试卷结构保持24题、120分的稳定格 局，难度遵循6：3：1的黄金比例。核心变化在于：中档题比例显著上升，知识交叉性增强，单一知识点 得分难度加大。2026年将延续“无价值，不入题；无思维，不命题：无情境，不成题”的命题逻辑， 强化创新意识考查，凸显数学思维，提升数学语言表达能力。基础题占比60%是得分基本盘，中档题 30%成为拉开差距的关键区间。 中考新考法：选择题陷阱题占比提升至约两成，集中在几何折叠、函数性质辨析等考查概念精准度的 题型。填空题覆盖面广、灵活度高，开放性问题如“请写出一个满足条件的值”增多。解答题分层递 进特征明显：第23题二次函数综合层层递进，渗透数形结合与分类讨论思想：第24题几何压轴以圆或 四边形为背景，问题设计环环相扣。“反套路”设计日益普遍，对审题细致度和思维严谨性提出更高 要求。 中考新情境：试题情境更加多元丰富。数学文化情境持续渗透，如杨辉三角等传统文化素材考查规律 探究。跨学科融合情境成为创新点，通过卫星导航、“杭州之门”等真实案例，考查数学建模、信息 提炼及知识迁移能力。真实生活情境广泛运用，如地区生产总值数据考查科学记数法、志愿服务次数 计算中位数等。这些情境要求学生具备更强的信息筛选与问题转化能力，用数学眼光发现问题、用数 学思维解决问题。 命题·大预测 预测一：以“圆”为载体的几何综合题。压轴题聚焦几何综合，尤其是以圆为载体的综合题需重点关 注，涉及圆的基本性质、相似三角形融合及动态最值问题。 预测二：代数推理与几何直观融合。在几何图形中用代数式表达线段、面积，通过代数变形证明几何 量关系，体现代数推理与几何推理的完美融合。 预测三：统计概率的“专业语言”考查。统计题凸显“统计味道”，要求学生用专业语言阐述数据分 析结果，深刻理解统计意义而非只会计算平均数、方差。 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.在标准大气压下，不同气体的液化温度（单位：℃）如表所示： 气体 氧气 氨气 二氧化碳 氢气 液化温度/℃ -183 -33.5 -78.5 -253 其中液化温度最高的气体是() A.氧气 B.氨气 C.二氧化碳 D.氢气 2.如图所示的蒙古包可以看作是由一个圆锥和一个圆柱组成，它的主视图是() 主视方向 D 3.中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、 科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达230.63亿次，创13年来新高. 数据“23063000000”用科学记数法表示为() A.2.3063×100B.2.3063×109 C.2.3063×108 D.230.63×10 4.下列计算正确的是() .6ab-4a=2b 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-2< 5.不等式组2x-)≥x-4的解集在数轴上表示正确的是（) A.210> B210 .0 6.如图，五边形ABCDE与五边形AB'CDE是位似图形，O为位似中心.若A4=2A'O,则下列结论错 误的是() E D A.∠ABC=∠ABC B.BC∥B'C C.DD'=2D'O D.BC=2B'C' 7.为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节.其中，甲报名参加了独唱比赛， 共有20位评委进行打分，打分情况如图所示.下列说法中，正确的是() 20位评委对甲的打分情况的条形统计图 人数（人） 4 m 7080 90100得分（分） A.m的值是3 B.20个分数中，最高分是90分 C.20个分数中，中位数是85分 D.20个分数中，众数是70分 8.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公 认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们的喜爱.小 亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接BH并延长，交AD于点N,交AF于点M若点M是EF的中点， 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则△DNH与△BFM的面积比为() D G M E A.3 B.4 c.3 9.已知点45-，)和点B(+1)都是反比例函数yk<0)的图象上的两点，下列说法正确的是 () A.当-1<1<3时，<2 B.当5<t<7时，>2 C.当1<t<4时，y<2 D.当-4<t<-1时，>2 IO.如图，在边长为2的菱形ABCD中，对角线交于点O,BE⊥AD于点E,F为CD上一点， ∠CFO=∠BAD<90°，延长FO交AB于点G,记AG=x,AE=y,当∠BAD的大小发生变化时，则下列 代数式的值不变的是() B A.xy B.x+y C.x-y D.x2+y2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.因式分解3a2-12= 13 12.分式方程2x-5=x的解是 13.如图，AB是圆O的直径，点C是圆上的一点，AD L AB,且AC=AD,连接CD交圆O于点E,连 接AE,若∠D=25°，则∠AEC=一. 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 14.现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片，其中标有1,2,3的卡片在甲手中，标有4,5,6 的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为一 I5.如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC,交DE于点F,若AB=8, BC=6,则EF的长是 E F B 16.如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形 ABCD,相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰RtABCF,③和④分别是 Rt△CDG和RtDAH,⑤是正方形EFGH,直角顶点E,F,G,H分别在边BF,CG,DH,AE上. D ③ G C ④ ⑤ H E ② ① B (1)若EB=6cm,AE+FC=15cm,则EF的长是 cm DG 3 (2)若GHF2,则tan∠DAH的值是 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)计算：W2-+(-1)26-sin450 2x-y=3 18.(8分)解方程组： 3x+2y=8· 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交BA,BC于点E, F,再分别以E,F为圆心，大于EF的长度为半径画弧，两弧交于点P,连接B即并延长交AC于点D, 过点D作DG⊥AB D (1)若∠A=40°，求∠ABD的度数： 3 (2)若sin1=5,CD=3,求4C的长。 20.(8分)为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调 查，所有问卷全部收回且有效.调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）： 1.你每天的课外阅读时长是() A.30分钟以内B.30分钟~1小时C.1小时2小时D.2小时及以上 2.你通常进行课外阅读的时间段是（) A.早读前B.午休时段C.放学后D.其他时间 (注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值.) 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人 数的条形统计图. 学生每日课外阅读时长情况的 “1小时2小时”的同学在各阅 扇形统计图 读时间段的人数的条形统计图 2小时及以上 30分钟以内 人数个 0%/ 40 --- 15% S 24 26 1小时入 30分钟 20 2小时 10 1小时 10 ▲ 45% 0 早读前午休时段放学后其他时间 图1 图2 (1)扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为 度 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图. (3)若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数 21.(8分)已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD 小亮的作法：如图1，连接BD'分别以D.B为圆心大于2BD的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边 形两边交于点A,C,连接AB,CD,则四边形ABCD即为菱形. 图1 图2 (1)判断小亮的作法是否正确，并说明理由： (②)小丽说，作平行四边形AEC℉一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？请你在图 2中作出图形（保留作图痕迹）· 22.(10分)2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米.小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在 整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原 速跑到终点.小聪和小明离出发点的路程y(km)与出发时间x(mi)之间的函数关系如图1所示，两人相距 的路程S(km)与出发时间x(min)之间的函数关系如图2所示. y(km) 21 s(km)个 15 AB 6070 a x(min) 60 ax(min) 图1 图2 (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）· (2)求图中a的值， (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值， 23.(10分)已知二次函数y=ar2-2ax+a-4(a>0),其函数图象顶点为P. (I)记与y轴交点为A,求直线PA的函数表达式（含a的代数式表示）· 7/8 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位，还是在该函数图象上. ①求a的值 ②当m-2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值的差为2m,求m的值. 24.(12分)如图，在口ABCD中，以AD为直径作⊙O,交BC于点E,F,交CD于点G.过点E作 EH⊥AD于点H,交OO于点P,连接PG,交AD于点O. H G B 图1 图2 (I)如图1，若AE-EF,FG=GD ①求∠P的度数 ②求证：PQ=30G」 2如图2,4D24B:点E为BC中点，若n∠EPG =3,CG=3,求PG的长. 8/8 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：命题正从“知识立意”向“素养导向”深度转型。试卷结构保持24题、120分的稳定格局，难度遵循6:3:1的黄金比例。核心变化在于：中档题比例显著上升，知识交叉性增强，单一知识点得分难度加大。2026年将延续“无价值，不入题；无思维，不命题；无情境，不成题”的命题逻辑，强化创新意识考查，凸显数学思维，提升数学语言表达能力。基础题占比60%是得分基本盘，中档题30%成为拉开差距的关键区间。 中考·新考法：选择题陷阱题占比提升至约两成，集中在几何折叠、函数性质辨析等考查概念精准度的题型。填空题覆盖面广、灵活度高，开放性问题如“请写出一个满足条件的值”增多。解答题分层递进特征明显：第23题二次函数综合层层递进，渗透数形结合与分类讨论思想；第24题几何压轴以圆或四边形为背景，问题设计环环相扣。“反套路”设计日益普遍，对审题细致度和思维严谨性提出更高要求。 中考·新情境：试题情境更加多元丰富。数学文化情境持续渗透，如杨辉三角等传统文化素材考查规律探究。跨学科融合情境成为创新点，通过卫星导航、“杭州之门”等真实案例，考查数学建模、信息提炼及知识迁移能力。真实生活情境广泛运用，如地区生产总值数据考查科学记数法、志愿服务次数计算中位数等。这些情境要求学生具备更强的信息筛选与问题转化能力，用数学眼光发现问题、用数学思维解决问题。 命题·大预测 预测一：以“圆”为载体的几何综合题。压轴题聚焦几何综合，尤其是以圆为载体的综合题需重点关注，涉及圆的基本性质、相似三角形融合及动态最值问题。 预测二：代数推理与几何直观融合。在几何图形中用代数式表达线段、面积，通过代数变形证明几何量关系，体现代数推理与几何推理的完美融合。 预测三：统计概率的“专业语言”考查。统计题凸显“统计味道”，要求学生用专业语言阐述数据分析结果，深刻理解统计意义而非只会计算平均数、方差。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在标准大气压下，不同气体的液化温度（单位：℃）如表所示： 气体 氧气 氨气 二氧化碳 氢气 液化温度/℃ 其中液化温度最高的气体是（   ） A．氧气 B．氨气 C．二氧化碳 D．氢气 【答案】B 【详解】解：∵ 负数比较大小，绝对值大的数反而小，且 ， ∴ ， 因此液化温度最高的是 ，对应气体为氨气． 2．如图所示的蒙古包可以看作是由一个圆锥和一个圆柱组成，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，求解即可； 【详解】解：根据题意，得主视图为 3．中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式除法、完全平方公式、积的乘方、合并同类项，逐一计算各选项即可判断正误. 【详解】解：选项A：，故A选项计算正确； 选项B：由完全平方公式得，故B选项计算错误； 选项C：由积的乘方法则得，故C选项计算错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，故D选项计算错误. 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再结合“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，并在数轴上表示出来，即可解题． 熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： ． 6．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 7．为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节．其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示．下列说法中，正确的是（   ） A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分 C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分 【答案】C 【分析】用总人数减去4、6、8可得的值判断A；20个分数中100分有2人，故最高分是100分，可判断B；根据中位数定义可求出中位数，可判断C；最多的分数是90分，故可判断D． 【详解】解：A、，不是3，故选项A错误； B、20个分数中100分有2人，故最高分是100分，不是90分，故选项B错误； C、20个分数，按从小到大排列，第10和11个分数为80分和90分，故中位数为（分），故选项C正确； D、20个分数中，最多的分数是90分，不是70分，故选项D错误． 8．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接并延长，交于点N，交于点M．若点M是的中点，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，先求出，然后证明，再证明，则，最后证明，即可等量代换求解． 【详解】解：延长交于点， 由“赵爽弦图”可得，四边形为正方形， ∴，，，，， ∵点M是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B两点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大， A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意； B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意； C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意； D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意． 10．如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过作于，先由四边形是矩形，得到，，再证明，得到，证明，得到，证明，得到，根据，，得到，，，再根据，得到． 【详解】解：过作于，过作于， ∵边长为2的菱形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， 即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解______． 【答案】 【分析】先提取公因式.再利用平方差公式分解即可. 【详解】解： . 12．分式方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 13．如图，是圆O的直径，点C是圆上的一点，，且，连接交圆O于点E，连接，若，则______． 【答案】/50度 【分析】连接，由等边对等角结合圆周角定理求出，再根据等腰三角形和三角形内角和定理求出，由题意可得切圆O于点A，进而求出，最后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵切圆O于点A， ∴， ∴， ∴． 14．现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有1，2，3的卡片在甲手中，标有4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为___． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图，如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于6的结果有6种， 两张卡片上的数字和大于6的概率是． 15．如图，在中，点、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是__________． 【答案】1 【分析】先求出，再证是的中位线，得出，，再根据角平分线与平行线，证得，从而得，即可由求解． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ． 16．如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是_________ ． （2）若，则的值是_______． 【答案】 3 【分析】（1）首先得到，然后结合求出，进而求解即可； （2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）设， ∵， ∴可设，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ， ∵四边形对角互补， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：． 【答案】 【分析】根据求解即可； 【详解】解：原式 ． 18．（8分）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，方法一利用代入消元法解二元一次方程组；方法二利用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】解： 法一：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③得， 则方程组的解为． 法二：， ①×2得③ ③+②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 19．（8分）如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握角平分线的作法和解直角三角形． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，由作图得是的平分线，即可得结论； （2）由角平分线性质定理得，由求出，从而得． 【详解】（1）解：在中，， ， ∵， 由作图得是的平分线， ∴； （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 20．（8分）为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效．调查问卷如下： 亲爱的同学： 你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查（均为单选）： 1．你每天的课外阅读时长是（   ） A．30分钟以内    B．30分钟~1小时    C．1小时~2小时    D．2小时及以上 2．你通常进行课外阅读的时间段是（   ） A．早读前    B．午休时段    C．放学后    D．其他时间 （注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值．） 调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图． (1)扇形统计图中“30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为________度． (2)本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人？并补全条形统计图． (3)若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数． 【答案】(1) (2)人，见解析 (3)675人 【分析】（1）用360度乘以所占百分比计算即可； （2）先计算该项目的人数，再补图即可； （3）用样本估计总体的思想计算即可； 【详解】（1）解： ． （2）解：（人）， 阅读时长为“1小时~2小时”的同学人数为（人）， 补全图形如下： （3）解：（人） 答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为675人． 21．（8分）已知平行四边形，在平行四边形内作菱形． 小亮的作法：如图1，连接，分别以为圆心大于的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点，连接，则四边形即为菱形． (1)判断小亮的作法是否正确，并说明理由； (2)小丽说，作平行四边形一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？请你在图2中作出图形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)小亮的作法正确，理由见解析； (2)小丽的作法错误；见解析． 【分析】（1）设与交于点，由作图方法可知，垂直平分，则，证明，推出，据此可得结论； （2）先根据角平分线的尺规作图方法作图，再根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，进一步可证明，则四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明，则无法证明是菱形，据此可得结论． 【详解】（1）解：小亮的作法正确，理由如下： 设与交于点． 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 四边形是平行四边形， ∴，即． ， ∴， ∴， ∴ 四边形是菱形； （2）解：作图如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明是菱形， ∴小丽的作法不正确． 22．（10分）2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 【答案】(1)千米/分 (2)126 (3)出发时，两人相距最远为 【分析】（1）根据速度的定义求解即可； （2）设对应的函数表达式，待定系数法求解即可； （3）根据题意，分，， ， ，求解即可； 【详解】（1）解：小明跑步的速度为千米/分． （2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为（千米）， 故图象经过点， 设对应的函数表达式， 由题意得图象过点， ， 解得． 对应的函数表达式． 令， 解得． 的值为126． （3）解：当时，根据题意，得， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到60，故最大值小于5千米即； 小明跑完最后所需的时间为． 当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为， 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变； 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到94，故最大值小于千米即； ， 当时，他们之间相距最远，且为千米． 23．（10分）已知二次函数（），其函数图象顶点为P． (1)记与y轴交点为A，求直线的函数表达式（含a的代数式表示）． (2)若将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位，还是在该函数图象上． ①求a的值． ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求m的值． 【答案】(1)； (2)①；②m的值为和4 【分析】（1）先求出抛物线与轴的交点，然后求出顶点，再由待定系数法求解函数解析式即可； （2）①先求出顶点平移后的对应坐标，再代入函数解析式求解即可； ②分三种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】（1）解:对于，令，则 ∴点， ∵， ∴顶点 设直线的函数表达式， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵， ∴将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位后，对应点的坐标为， ∵平移后的还是在该函数图象上， ∴， 解得； ②∵， ∴， 当时，，解得（舍）； 当时，， 解得（舍），； 当时，， 解得（舍），（舍）； 当时，，解得； ∴m的值为和4． 24．（12分）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． (1)如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． (2)如图2，，点为中点，若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据圆周角定理得到、，进而得到，从而求出，利用圆周角定理得到，据此求解即可； ②连接、、、、，根据平行四边形和垂径定理易得到，进而得到，证得是等边三角形，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，易证明，在中，，从而得出结论； （2）连接、、，易证四边形是平行四边形、四边形是菱形，进而得到、，根据，设、，证明，进而得到、及，利用勾股定理求出的值，根据证得，进而得到，利用求解即可． 【详解】（1）①解：连接、、， ，， 、， ， 即， ， ， ， ； ②证明：连接、、、、， ， ， 为的直径， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， 是等腰三角形， ， 由①知，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：连接、、、， 四边形是平行四边形， 、， 为的中点、为的中点， 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 、， 在中，， ， 解得， 、、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $