专题03不等式的性质（讲义）-2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题03 不等式的性质 【复习目标】 1. 掌握比较实数大小的核心方法。 2. 牢记不等式的基本性质，能准确运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。 3. 理解区间的概念，掌握区间的表示方法。 考点1 比较实数（或代数式）大小的方法（基础考点） 【考点知识回顾】 1. 核心方法： （最常用，差值与0比较）、 （适用于正数，比值与1比较）。 解析：作差法是安徽分类招生基础考查内容，适配真题中“比较数（式）大小”题型；作商法仅适用于两个正数，避免用于负数（负数比值与1比较无法直接判定大小）。 2. 作差法判定原则： 若a - b > 0，则 ； 若a - b = 0，则 ； 若a - b < 0，则 。 解析：核心是通过差值与0的大小关系，判断两个实数（或代数式）的大小，步骤简单、易操作，是真题中大小比较的首选方法。 3. 作商法判定原则（正数适用）： 若a/b > 1，则 ； 若a/b = 1，则 ； 若a/b < 1，则 。 解析：适用于正数、幂次形式的代数式比较，若a、b均为负数，作商后需反向判断大小。 4. 易错提醒：作差后需化简差值，再判断与0的关系；作商法必须先判断两数正负，避免因符号错误导致判定失误。 【即时训练】 1．若，，则M与N的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 2．若，则下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．设，，则（   ） A． B． C． D． 4．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则t和s的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点2 不等式的基本性质（核心考点，真题高频） 【考点知识回顾】 1. 性质1（加减性质）：若a > b，则a ± c b ± c（c为任意实数）。 解析：不等式两边同时加、减同一个数（或代数式），不等号方向不变，是不等式变形的基础，真题中常用于不等式的移项变形。 2. 性质2（乘除正数性质）：若a > b，c > 0，则ac bc，a/c b/c。 解析：不等式两边同时乘、除以同一个正数，不等号方向不变；真题中常结合正数条件考查。 3. 性质3（乘除负数性质）：若a > b，c < 0，则ac bc，a/c b/c。 解析：此为高频易错点，不等式两边同时乘、除以同一个负数，不等号方向必须改变。 4. 常见拓展性质（真题适配）： 若a > b，c > d，则a + c b + d（同向不等式可加）； 若a > b > 0，c > d > 0，则ac bd（同向正数不等式可乘）。 解析：拓展性质是真题重点考查内容，需牢记适用条件（同向、正数乘除）。 5. 易错提醒：不等式两边不能同时乘、除以0（无意义）；同向不等式只能相加，不能相减；异向不等式不能直接相加、乘，需先转化为同向不等式。 【即时训练】 题型一 根据不等式的性质比较大小 1．已知，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论正确的是（    ）. A． B． C． D． 3．设，且，则（    ） A． B． C． D． 4．设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型二 利用不等式性质证明不等式 1．若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知都是实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件. 3．已知，，则下列代数式的范围错误的是（ ） A． B． C． D． 4．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若，则，那么a一定是（    ） A． B． C． D． 7．若，且，则一定有（     ） A． B． C． D．m为任意实数 考点3 区间的概念与表示（基础考点） 【考点知识回顾】 1. 区间的定义：区间是不等式表示的取值范围的简洁表示方法 解析：区间是安徽分类招生基础考点，主要考查“不等式与区间的互化”，常结合不等式性质、集合运算考查，规范书写是核心要求。 2. 区间分类与表示（核心，必记）： （1）开区间：(a,b)，对应不等式 （不包含端点a、b）； （2）闭区间：[a,b]，对应不等式 （包含端点a、b）； （3）半开半闭区间：[a,b)，对应不等式 （包含a，不包含b）； （4）半闭半开区间：(a,b]，对应不等式 （不包含a，包含b）。 【即时训练】 题型一 区间的定义与表示 1．已知，若用区间表示该集合，则为（    ） A． B． C． D． 2．区间用描述法表示集合形式为（    ） A． B． C． D． 3．满足不等式的集合可用区间表示为（   ） A． B． C． D． 4．满足不等式的集合可用区间表示为（   ） A． B． C． D． 5．集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 题型二 区间的关系与运算 1．不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 1. （2026·安徽·真题·T19）若a，b为非零实数，且 |a|>|b|，则下列说法正确的 是（ ） A. a>b B. C. a²<b² D. a²>b² 2.（2025·安徽·真题·T23）已知，且，，则下列不等式一定正确的是（       ） A． B．a－d＞b－c C．ac＞bd D．a－c＞b－d 3.（2024·安徽·真题·T5） 设，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2023·安徽·真题·T14）下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5.（2022·安徽·真题·T13）设a，b∈R，且a＜b，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞ab B． C． D．a2+b2＞ab 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题03 不等式的性质 【复习目标】 1. 掌握比较实数大小的核心方法。 2. 牢记不等式的基本性质，能准确运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。 3. 理解区间的概念，掌握区间的表示方法。 考点1 比较实数（或代数式）大小的方法（基础考点） 【考点知识回顾】 1. 核心方法：作差法 （最常用，差值与0比较）、作商法 （适用于正数，比值与1比较）。 解析：作差法是安徽分类招生基础考查内容，适配真题中“比较数（式）大小”题型；作商法仅适用于两个正数，避免用于负数（负数比值与1比较无法直接判定大小）。 2. 作差法判定原则： 若a - b > 0，则a > b； 若a - b = 0，则a = b； 若a - b < 0，则a < b。 解析：核心是通过差值与0的大小关系，判断两个实数（或代数式）的大小，步骤简单、易操作，是真题中大小比较的首选方法。 3. 作商法判定原则（正数适用）： 若a/b > 1，则a > b； 若a/b = 1，则a = b； 若a/b < 1，则a < b。 解析：适用于正数、幂次形式的代数式比较，若a、b均为负数，作商后需反向判断大小。 4. 易错提醒：作差后需化简差值，再判断与0的关系；作商法必须先判断两数正负，避免因符号错误导致判定失误。 【即时训练】 1．若，，则M与N的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用作差比较法比较代数式大小即可. 【详解】，∴， 故选：A. 2．若，则下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法即可求解. 【详解】， ， ， . 故答案为：C. 3．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差比较法即可得解. 【详解】 ， 故. 故选：B. 4．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作差法及不等式的性质判断. 【详解】∵，∴，故A错误； ∵，∴，故B正确； ∵，∴，故C错误； ∵，∴，故D错误. 故选：B. 5．已知，，则t和s的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两式作差，变形、判断符号后，可得结果. 【详解】 ， . 故选：D 考点2 不等式的基本性质（核心考点，真题高频） 【考点知识回顾】 1. 性质1（加减性质）：若a > b，则a ± c > b ± c（c为任意实数）。 解析：不等式两边同时加、减同一个数（或代数式），不等号方向不变，是不等式变形的基础，真题中常用于不等式的移项变形。 2. 性质2（乘除正数性质）：若a > b，c > 0，则ac > bc，a/c > b/c。 解析：不等式两边同时乘、除以同一个正数，不等号方向不变；真题中常结合正数条件考查。 3. 性质3（乘除负数性质）：若a > b，c < 0，则ac < bc，a/c < b/c。 解析：此为高频易错点，不等式两边同时乘、除以同一个负数，不等号方向必须改变。 4. 常见拓展性质（真题适配）： 若a > b，c > d，则a + c > b + d（同向不等式可加）； 若a > b > 0，c > d > 0，则ac > bd（同向正数不等式可乘）。 解析：拓展性质是真题重点考查内容，需牢记适用条件（同向、正数乘除）。 5. 易错提醒：不等式两边不能同时乘、除以0（无意义）；同向不等式只能相加，不能相减；异向不等式不能直接相加、乘，需先转化为同向不等式。 【即时训练】 题型一 根据不等式的性质比较大小 1．已知，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质比较大小即可. 【详解】由，，有，可得. 故选：C. 2．已知，则下列结论正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取特殊值可排除A、C、D；根据不等式的基本性质，可知B正确. 【详解】对A选项，取，满足，但不成立，故错误； 对B选项，根据不等式的基本性质可知，若，则，故正确； 对C选项，若，时，则不成立，故错误； 对D选项，取，满足，但不成立，故错误. 故选：B 3．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值，可排除A、B、C，根据不等式的基本性质，可判断D正确. 【详解】对A选项，取，满足已知，但不成立，故错误； 对B选项，取，满足已知，但不成立，故错误； 对C选项，取，满足已知，但不成立，故错误； 对D选项，根据不等式的基本性质：，故正确. 故选：D 4．设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取，，，可判断A，B，C错误；由不等式的基本性质可得D正确. 【详解】对于选项A：当时，可得，故选项A错误； 对于选项B：当时，可得，故选项B错误； 对于选项C：取时，，故选项C错误； 对于选项D：由不等式的基本性质可知，，故选项D正确. 故选：D 5．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，则，所以，故C错误； 对于D，若，，则，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 题型二 利用不等式性质证明不等式 1．若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质，分别进行判断即可求解. 【详解】由题，对四个选项依次分析， A：，当相近并且远大于d时，不等式不成立，故选项A错误； B：，，故选项B正确； C：，当时，则，故不是恒成立，故选项C错误； D：，当时，则，故不是恒成立，故选项D错误. 故选:B. 2．已知都是实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的概念，结合绝对值不等式及不等式的性质即可判断. 【详解】当时，一定有，充分性成立； 当为负数，且满足时，但不成立，则必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知，，则下列代数式的范围错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质可一一进行判断. 【详解】已知，： 对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C. 4．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求解即得． 【详解】由，而， 则 故选：D． 5．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x的取值范围可求解的范围，进而可求解的范围，再由区间表示即可. 【详解】∵，即， ∴，则， 则的取值范围是. 故选：D. 6．若，则，那么a一定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用不等式的基本性质即可得出答案. 【详解】由不等式的基本性质可知， 当时，只有，才有一定成立. 故选：B. 7．若，且，则一定有（     ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】B 【分析】根据不等式的性质求解m的范围即可. 【详解】若，则有， 又因为，则有， 所以. 故选：B. 考点3 区间的概念与表示（基础考点） 【考点知识回顾】 1. 区间的定义：区间是不等式表示的取值范围的简洁表示方法 解析：区间是安徽分类招生基础考点，主要考查“不等式与区间的互化”，常结合不等式性质、集合运算考查，规范书写是核心要求。 2. 区间分类与表示（核心，必记）： （1）开区间：(a,b)，对应不等式a < x < b（不包含端点a、b）； （2）闭区间：[a,b]，对应不等式a ≤ x ≤ b（包含端点a、b）； （3）半开半闭区间：[a,b)，对应不等式a ≤ x < b（包含a，不包含b）； （4）半闭半开区间：(a,b]，对应不等式a < x ≤ b（不包含a，包含b）。 【即时训练】 题型一 区间的定义与表示 1．已知，若用区间表示该集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】端点值取不到的用开区间，取到端点值的用闭区间，据此即可求解. 【详解】端点值取不到的用开区间，取到端点值的用闭区间， 所以集合，用区间表示为， 故选：B 2．区间用描述法表示集合形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用区间描述集合的方法即可得解. 【详解】由区间定义知. 故选：B. 3．满足不等式的集合可用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间定义与表示求解. 【详解】满足不等式的集合可用区间表示为. 故选：C. 4．满足不等式的集合可用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与区间之间的关系即可求解. 【详解】不等式的集合可用区间表示为. 故选：B. 5．集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据区间的定义与表示书写. 【详解】集合用区间表示为. 故选：D. 题型二 区间的关系与运算 1．不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由一元一次不等式的解法求解，再由区间表示即可. 【详解】已知， 即，解得， 所以不等式的解集用区间表示为， 故选：D. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合交集的运算计算即可. 【详解】由，解得， 则，又， 所以. 故选：C. 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算并求解集合，，利用交集的定义求解. 【详解】，解得；，解得， 所以集合，， 所以． 故选：B 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的运算性质即可求解. 【详解】已知集合，， 则， 故选：A. 5．已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据区间的运算求解交集即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 6．已知集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的概念即可求解. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：C． 1. （2026·安徽·真题·T19）若a，b为非零实数，且 |a|>|b|，则下列说法正确的 是（ ） A. a>b B. C. a²<b² D. a²>b² 答案：D 解析：A选项，若 a=-1、b=0， |a|>|b| 但 a<b，错误；B选项，若a=-2、b=1，，错误；C选项， |a|>|b| 两边平方得a²>b²，错误；D选项正确， 故选D。 2.（2025·安徽·真题·T23）已知，且，，则下列不等式一定正确的是（       ） A． B．a－d＞b－c C．ac＞bd D．a－c＞b－d 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据题意结合不等式的性质即可得解. 【详解】因为，且，， 选项，当时，，故错误； 选项，，故正确； 选项，当，时， ，此时，故错误； 选项，当，时，，此时，故错误， 故选：. 3.（2024·安徽·真题·T5） 设，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、利用不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的性质和赋值法，即可求解. 【详解】A选项，，，若，则，故A选项错误； B选项，，，则，故B选项错误； C选项，，，则，故C选项正确； D选项，，，若，则，故D选项错误. 故选：C. 4.（2023·安徽·真题·T14）下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据已知条件，由不等式的性质进行分析即可. 【详解】A：∵，∴，故A正确， B：取，，， 则， 故B错误， C：取，，，， 则，故C错误， D：取，，，，则，故D错误. 故选：A. 5.（2022·安徽·真题·T13）设a，b∈R，且a＜b，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞ab B． C． D．a2+b2＞ab 【答案】D 【解析】A选项，因为a和b可为负数，此时显然不成立，故A错； B选项，因为a和b可取到0 ，0不能做分母，故B错； C选项，当a为负，b为正的时候，显然不成立，故C错； 故选D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $