专题04一元二次不等式（讲义）-2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题04 一元二次不等式 【复习目标】 1. 掌握一元二次不等式的定义，理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的内在联系。 2. 牢记一元二次不等式的求解方法，准确求解一元二次不等式的解集。 3. 运用一元二次不等式解决简单的实际问题或基础题型。 考点1 一元二次不等式的定义及与相关知识的关联（基础考点） 【考点知识回顾】 1. 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式，一般形式为 > 0（或< 0、≥0、≤0）（其中a≠0）。 解析：核心判定要点有三个，缺一不可：① 只含一个未知数；② 未知数最高次数为2；③ 二次项系数a≠0，若a=0，不等式变为bx + c > 0（或其他符号）。 2. 内在关联：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者紧密相关，设二次函数 ，一元二次方程 的根，就是二次函数图像与x轴的交点横坐标，一元二次不等式的解集，就是二次函数图像在x轴上方（或下方）对应的 。 3. 易错提醒：判断一个不等式是否为一元二次不等式，需同时满足 、 、 三个条件，避免忽略a=0的情况；同时注意，一元二次不等式的一般形式中，a的符号不影响其“一元二次”的判定，只影响后续解集的求解。 【即时训练】 1．若函数的图像上所有点都在x轴的上方，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．方程的判别式，要使，此时的取值范围为（    ） A．空集 B． C． D．2 3．关于的不等式的解集是空集，那么（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．若函数，则时的x的集合为（    ） A． B． C． D． 5．一元二次不等式的解集为，则函数的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   6．如果函数的图象开口向上，且与x轴无交点，则k的取值范围是（    ） A．[0，4] B．（0，4） C．（0，4] D．[0，4） 考点2 一元二次不等式的求解方法（核心考点，真题高频） 【考点知识回顾】 1. 求解核心思路：先判断一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的 的情况，再结合二次函数的图像，确定一元二次不等式的解集。 解析：求解一元二次不等式的核心逻辑的是“先判根、再看图像、最后定解集”，不能跳过“判根”直接求解。 2. 根的情况判断（核心）：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0），判别式Δ = b² - 4ac，分三种情况： （1）当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根，设为x₁、x₂（x₁ < x₂）； （2）当Δ 0时，方程有两个相等的实数根，设为 = -b/(2a)； （3）当Δ 0时，方程无实数根。 解析：Δ的大小直接决定了二次函数图像与x轴的交点个数：Δ > 0时，图像与x轴有两个交点；Δ = 0时，有一个交点（相切）；Δ < 0时，无交点。 3. 具体求解步骤（以ax² + bx + c > 0为例，a > 0）： （1）计算 ，判断方程ax² + bx + c = 0的根的情况； （2）若有根，求出 （因式分解法或求根公式）； （3）结合二次函数图像（开口向上），确定解集：Δ > 0时，解集为 ；Δ = 0时，解集为 ；Δ < 0时，解集为 。 （4）若a < 0，先将二次项系数化为正数（两边同乘-1，注意不等号方向改变），再按上述步骤求解。 解析：重点注意两点：① 二次项系数a的符号，a > 0时，二次函数开口向上；a < 0时，开口向下，开口方向直接影响解集的取值范围，因此当a < 0时，需先化为正数（同乘-1），同时必须改变不等号方向 4. 常用求解方法：因式分解法（适用于 ，）、求根公式法（适用于 ）。 【即时训练】 题型一 求不含参的一元二次不等式的解集 1．下列不等式是一元二次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式是一元二次不等式的是（   ） A．（为常数） B． C． D． 3．下列式子是一元二次不等式的个数为（    ） （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 8．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型二 求含参的一元二次不等式的解集 1．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为全体实数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 考点3 一元二次不等式的应用 【考点知识回顾】 1. 运用一元二次不等式解决简单的实际问题或基础题型，将简单的实际场景转化为一元二次不等式模型”的要求。 2. 常见应用场景： 基础题型：结合集合运算（求交集、并集）、充分必要条件，判断一元二次不等式的解集关系；如已知两个集合，求它们的交集、并集，或判断某个条件是否是一元二次不等式解集的充分条件，这类题型贴合真题中“集合+不等式”的综合考查形式。 【即时训练】 1．设R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“x<2”是“”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则是 （    ）. A． B． C． D． 6．已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1. （2025·安徽·真题·T4）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2023年·安徽·真题·T4）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题04 一元二次不等式 【复习目标】 1. 掌握一元二次不等式的定义，理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的内在联系。 2. 牢记一元二次不等式的求解方法，准确求解一元二次不等式的解集。 3. 运用一元二次不等式解决简单的实际问题或基础题型。 考点1 一元二次不等式的定义及与相关知识的关联（基础考点） 【考点知识回顾】 1. 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式，一般形式为ax² + bx + c > 0（或< 0、≥0、≤0）（其中a≠0）。 解析：核心判定要点有三个，缺一不可：① 只含一个未知数；② 未知数最高次数为2；③ 二次项系数a≠0，若a=0，不等式变为bx + c > 0（或其他符号）。 2. 内在关联：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者紧密相关，设二次函数y = ax² + bx + c（a≠0），一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的根，就是二次函数图像与x轴的交点横坐标，一元二次不等式的解集，就是二次函数图像在x轴上方（或下方）对应的x的取值范围。 3. 易错提醒：判断一个不等式是否为一元二次不等式，需同时满足“一个未知数、最高次数2、a≠0”三个条件，避免忽略a=0的情况；同时注意，一元二次不等式的一般形式中，a的符号不影响其“一元二次”的判定，只影响后续解集的求解。 【即时训练】 1．若函数的图像上所有点都在x轴的上方，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因函数图像所有点都在x轴的上方，即函数图像和x轴没有交点，则方程没有实数根，由此得关于k的一元二次不等式，解此不等式可求解. 【详解】因为函数图像所有点都在x轴的上方，即函数图像和x轴没有交点， 则方程没有实数根，所以，解得， 所以k的取值范围是. 故选：D. 2．方程的判别式，要使，此时的取值范围为（    ） A．空集 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与二次函数以及一元二次方程的关系，即可求解. 【详解】由题意知方程的判别式， 所以函数是一个开口向上且与轴无交点的二次函数， 即当时，的取值范围为空集. 故选：A. 3．关于的不等式的解集是空集，那么（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】结合一元二次函数的图像分析求解不等式即可. 【详解】令函数， 则当函数为一元二次函数时，才可能无解，即， 若，则函数图像开口向上，当时， ，不等式的解集是空集. 若，则函数图像开口向下，必定存在使得， 不等式的解集不是空集. 故选：. 4．若函数，则时的x的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图像解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题意可知即. 令. 当时,即. 解得. 由图像可知当时,. 故选:. 5．一元二次不等式的解集为，则函数的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意可得方程的两根为，且，结合二次函数跟与系数的关系，再结合二次函数的性质即可判断. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 则方程的两根为，且， 则有 则， 则函数的图像开口向上，与x轴的交点横坐标为和1， 故选：B 6．如果函数的图象开口向上，且与x轴无交点，则k的取值范围是（    ） A．[0，4] B．（0，4） C．（0，4] D．[0，4） 【答案】B 【分析】根据二次函数图像与轴无交点可判断，由此求的值. 【详解】∵函数的图象开口向上，且与x轴无交点， ∴， 解得： 故选:B. 考点2 一元二次不等式的求解方法（核心考点，真题高频） 【考点知识回顾】 1. 求解核心思路：先判断一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的 根 的情况，再结合二次函数的图像，确定一元二次不等式的解集。 解析：求解一元二次不等式的核心逻辑的是“先判根、再看图像、最后定解集”，不能跳过“判根”直接求解。 2. 根的情况判断（核心）：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0），判别式Δ = b² - 4ac，分三种情况： （1）当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根，设为x₁、x₂（x₁ < x₂）； （2）当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，设为 = -b/(2a)； （3）当Δ < 0时，方程无实数根。 解析：Δ的大小直接决定了二次函数图像与x轴的交点个数：Δ > 0时，图像与x轴有两个交点；Δ = 0时，有一个交点（相切）；Δ < 0时，无交点。 3. 具体求解步骤（以ax² + bx + c > 0为例，a > 0）： （1）计算判别式Δ，判断方程ax² + bx + c = 0的根的情况； （2）若有根，求出方程的根（因式分解法或求根公式）； （3）结合二次函数图像（开口向上），确定解集：Δ > 0时，解集为x < x₁或x > x₂；Δ = 0时，解集为x ≠ x₀；Δ < 0时，解集为全体实数R。 （4）若a < 0，先将二次项系数化为正数（两边同乘-1，注意不等号方向改变），再按上述步骤求解。 解析：重点注意两点：① 二次项系数a的符号，a > 0时，二次函数开口向上；a < 0时，开口向下，开口方向直接影响解集的取值范围，因此当a < 0时，需先化为正数（同乘-1），同时必须改变不等号方向 4. 常用求解方法：因式分解法（适用于能因式分解的一元二次不等式，）、求根公式法（适用于无法因式分解的情况）。 【即时训练】 题型一 求不含参的一元二次不等式的解集 1．下列不等式是一元二次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是一元二次不等式的定义对选项逐一判断即可. 【详解】对A：x的最高次数为3次，故选项A错误； 对B：不等式中只含有一个未知数，并且未知数x的最高次数为2次，故选项B正确； 对C：不等式中含有两个未知数，故选项C错误； 对D：不等式中含有两个未知数，故选项D错误. 故选：B. 2．下列不等式是一元二次不等式的是（   ） A．（为常数） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的定义判断. 【详解】选项A：不等式（为常数）中， 当时，不等式，即，未知数的最高次数是1，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求， 当时，未知数的最高次数是，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求， 故选项A错误； 选项B：不等式中，未知数的最高次数是，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求，故选项B错误； 选项C：不等式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次，符合一元二次不等式的定义，故选项C正确； 选项D：不等式中含有两个未知数和，不满足一元二次不等式只含有一个未知数的条件，故选项D错误. 故选：C. 3．下列式子是一元二次不等式的个数为（    ） （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的概念判断即可. 【详解】（1）是一元二次不等式，故正确； （2）是一元二次方程，故错误； （3）可整理成，是一元二次不等式，故正确； （4）是一元一次不等式，故错误. 所以是一元二次不等式的个数为2个. 故选：B. 4．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 解得，故不等式的解集为. 故选：C. 5．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式等价于，解得或. 即不等式的解集为. 故选：D. 6．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由可得， ， 即， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 7．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可 【详解】不等式可化为，解得， ∴不等式的解集为． 故选：C． 8．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的求解方法求解即可. 【详解】已知， 当时，， 所以的解为，即解集为. 故选：C. 题型二 求含参的一元二次不等式的解集 1．不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从“不等式的解集是”这一条件分别求出a、b，再解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以不等式可化为，即， 得到，. 因此为，可化为， 解得，所以该不等式的解集为. 故选：A. 2．已知，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，求解不等式的解集即可. 【详解】不等式可化为， 令可得或， 由于， 所以不等式的解集为. 故选：A 3．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的恒成立的概念，即可求解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，须满足，解得； 当时，无条件使得不等式对一切实数都成立； 综上所述，的取值范围为. 故选:C. 4．不等式的解集为全体实数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由不等式的解集为全体实数，得出判别式小于零求解即可. 【详解】由不等式的解集为全体实数， 可得，，解得. 所以的取值范围是. 故选：B. 5．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集转化为一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，得恒成立，则，解得， 所以实数a的取值集合为. 故选：A. 考点3 一元二次不等式的应用 【考点知识回顾】 1. 运用一元二次不等式解决简单的实际问题或基础题型，将简单的实际场景转化为一元二次不等式模型”的要求。 2. 常见应用场景： 基础题型：结合集合运算（求交集、并集）、充分必要条件，判断一元二次不等式的解集关系；如已知两个集合，求它们的交集、并集，或判断某个条件是否是一元二次不等式解集的充分条件，这类题型贴合真题中“集合+不等式”的综合考查形式。 【即时训练】 1．设R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求解一元二次不等式与绝对值的不等式，再结合充分必要条件的判定得答案. 【详解】由，得， 由，得，即， 所以“”“”，反之不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，然后根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】可得或，故充分性不成立； 而一定可以得到，故必要性成立； 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．“x<2”是“”的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用二次不等式求解以及充分必要条件的概念. 【详解】首先，我们解不等式. 这是一个二次不等式，我们可以通过因式分解来解它. 所以，的解集为或. 然后，我们比较解集或与条件. 可以看出，当时，可能属于解集，也可能不属于，例如当时，成立，但不成立. 同时，当时，一定满足不成立，例如当时，成立，但不成立. 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的运算即可解得. 【详解】由题，集合， 又知，则， 故选：B 5．已知集合，集合，则是 （    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、集合的交集求解即可. 【详解】不等式，解得，所以集合， 不等式，解得或，所以集合或， 所以集合. 故选：C. 6．已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】先由一元二次不等式的解法求出集合A，再由对数函数的单调性求解集合B，再根据交集的定义即可求解. 【详解】集合或， 函数在其定义域内为增函数，所以， 解得， ， ． 故选：A． 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再由交集的概念运算即可. 【详解】， 或， 故. 故选：A. 1. （2025·安徽·真题·T4）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】因式分解后利用二次函数的图象性质即可求解． 【详解】∵不等式因式分解为， ∴， ∴不等式的解集为， 故选：C． 2.（2023年·安徽·真题·T4）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式及二次函数间的关系可求解. 【详解】因为不等式的二项系数为，且方程的解为， 所以不等式的解集为. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $