10.5用二元一次方程组解决问题（数字问题+销售利润问题+方案问题）苏科版数学2025-2026学年七年级下册

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 10.5用二元一次方程组解决问题 （数字问题+销售利润问题+方案问题） 【题型一】数字问题 【例1】已知两数x、y之和是2，x比y的2倍大14，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【例2】两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【例3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是 ． 【例4】在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为 ． 【例5】小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ． 【例6】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27．请利用二元一次方程组求这个两位数． 【例7】算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【例8】有一个两位数，设它的十位数字为a，个位数字为b，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小18． （1）原来的两位数为 ，新的两位数为 　 ．（用含a，b的代数式表示） （2）根据题意，求原来的两位数． 【例9】一个两位数，若它刚好等于它各位数字之和的整数倍，我们称这个两位数为本原数；把一个本原数的十位数字、个位数字交换后得到一个新的两位数，我们称这个新的两位数为本原数的奇异数． (1)一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍．请写出符合条件的所有本原数； (2)一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的倍．求的值 【例10】某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 【题型二】销售利润问题 【例1】北山水果市场是我区最大的水果批发市场，张老师想购买甲、乙、丙三种水果，如果购买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共需付钱36元：如果购买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共需付钱32元．今要购买甲4千克，乙2千克，丙5千克，则共应付 元． 【例2】某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元． 【例3】如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为　　 元． 发送者 对话内容 弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？ 哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元． 弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！ 哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元． 【例4】北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售A，B两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2件 1件 350元 第二周 1件 2件 400元 求A、B两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元？ 【例5】低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台600元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利600元，销售1台甲型自行车和3 台乙型自行车，可获利550元．该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 【例6】中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州，“忻州——中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业、广交流、共发展”的新道路．某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．已知A，B两种型号播种机的单价分别为1600元，1480元，求：购进A，B两种型号的播种机各多少台？ 【例7】某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元． （1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品卖出后获利25%． ①求甲、乙两种商品各多少件？ ②求出乙种商品的每件售价为多少元？ 【例8】商场打折前，买1件A商品和1件B商品用了20元，买30件A商品和40件B商品用了680元．打折后，买100件A商品100件B商品用了1800元．请根据上述信息解决下列问题： （1）打折前A、B两种商品的单价分别是多少？ （2）请在（1）的基础上提出一个能使题目剩余条件解决的问题，并加以解决． 【例9】为喜迎元旦，某超市推出A类礼盒和B类礼盒，每个A类礼盒的成本为120元，每个B类礼盒的成本为160元，每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同． (1) 求每个A类礼盒的售价； (2) 该超市购进A类礼盒800个和B类礼盒1000个，进行促销活动．超市规定，每人每次最多购买A类礼盒1个或B类礼盒1个，每个A类礼盒直接参与店内“每满100元减a元”的活动，每个B类礼盒在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减a元”的活动．活动结束时，所有礼盒全部售卖完．若该超市获得的利润为48800元，求a的值． 【例10】某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 【题型三】方案问题 【例1】某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【例2】小明计划用21元钱购买、两种笔记本，种每个3元，种每个2元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【例3】校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【例4】某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 　　种购买方案． 【例5】某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有 种． 【例6】星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 【例7】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元． (1) 问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2) 若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？ 【例8】甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示： 小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人） 3 1 105 1 2 110 （1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？ （2）若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案： ②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【例9】某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 【例10】某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 答案解析 【题型一】数字问题 【例1】已知两数x、y之和是2，x比y的2倍大14，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【例2】两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【例3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是 ． 【答案】 【例4】在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为 ． 【答案】9 【例5】小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ． 【答案】26 【例6】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27．请利用二元一次方程组求这个两位数． 【答案】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y． 依题意，得解得 ，故这个两位数为36． 【例7】算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】依题意，百位数为5+3＝8，设个位数字为x，十位数字为y， 由题意列二元一次方程组得： ， 解得：， ∴这个三位数为831， 答：这个三位数为831． 【例8】有一个两位数，设它的十位数字为a，个位数字为b，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小18． （1）原来的两位数为 ，新的两位数为 　 ．（用含a，b的代数式表示） （2）根据题意，求原来的两位数． 【答案】（1）由题意得：原来的两位数为10a+b；新的两位数为10b+a； 故答案为：10a+b；10b+a （2）由题意列二元一次方程得，， 解得， 即这个两位数为53， 答：原来的两位数为53． 【例9】一个两位数，若它刚好等于它各位数字之和的整数倍，我们称这个两位数为本原数；把一个本原数的十位数字、个位数字交换后得到一个新的两位数，我们称这个新的两位数为本原数的奇异数． (1)一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍．请写出符合条件的所有本原数； (2)一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的倍．求的值 【答案】 （1）解：设本原数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：，整理得：， 、为正整数，且，， ∴或或或， 则符合条件的所有本原数为12或24或36或48； （2）解：设本原来的十位数字为，个位数字为， 由题意得：，整理得：， 、为正整数，且，， ∴，则本原数为27，本原数的奇异数为72， 本原数的奇异数刚好是两个数字之和的倍， ， ． 【例10】某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 【答案】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：原两位数为38； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：； （3）结合（1）可知，，， ∴，， ∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组． 【题型二】销售利润问题 【例1】北山水果市场是我区最大的水果批发市场，张老师想购买甲、乙、丙三种水果，如果购买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共需付钱36元：如果购买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共需付钱32元．今要购买甲4千克，乙2千克，丙5千克，则共应付 元． 【答案】52 【例2】某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元． 【答案】34 【例3】如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为　　 元． 发送者 对话内容 弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？ 哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元． 弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！ 哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元． 【答案】2000 【例4】北京时间2025年5月20日19时50分，长征七号甲运载火箭在文昌航天发射场成功点火升空．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售A，B两种型号运载火箭模型．下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2件 1件 350元 第二周 1件 2件 400元 求A、B两种型号运载火箭模型的销售单价各是多少元？ 【答案】设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元， 根据题意列二元一次方程组得， ②×2﹣①得，3y＝450， 解得y＝150， 将y＝150代入②中，得x+2×150＝400， 解得x＝100， ∴原方程组的解为， 即A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元， 答：A种型号的销售单价为100元，B种型号的销售单价为150元． 【例5】低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台600元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利600元，销售1台甲型自行车和3 台乙型自行车，可获利550元．该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 【答案】解：设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元， 由题意可得， 解得， 甲型自行车利润为100元，一台乙型自行车利润为150元； 【例6】中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州，“忻州——中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业、广交流、共发展”的新道路．某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．已知A，B两种型号播种机的单价分别为1600元，1480元，求：购进A，B两种型号的播种机各多少台？ 【答案】设购进A种型号的播种机x台，B种型号的播种机y台．根据题意，得 解得 ， 答：购进A种型号的播种机10台，B种型号的播种机20台． 【例7】某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少30元．若购进甲种商品4件，乙种商品5件，需要870元． （1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ （2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品卖出后获利25%． ①求甲、乙两种商品各多少件？ ②求出乙种商品的每件售价为多少元？ 【答案】（1）设甲种商品的每件进价为x元， 由题意得：4x+5（x+30）＝870， 解得x＝80（元）， 则x+30＝80+30＝110（元）， 答：甲种商品的每件进价为80元，乙种商品的每件进价为110元； （2）①设购进甲种商品y件， 由题意得：80y+110（50﹣y）＝4600， 解得：y＝30， ∴50﹣y＝20， ∴进甲种商品30件，则乙种商品为20件； ②设乙种商品的每件售价为z元， 由题意得：30×（100﹣80）+20（z﹣110）＝4600×25%， 解得z＝137.5（元）． 答：乙种商品的每件售价为137.5元． 【例8】商场打折前，买1件A商品和1件B商品用了20元，买30件A商品和40件B商品用了680元．打折后，买100件A商品100件B商品用了1800元．请根据上述信息解决下列问题： （1）打折前A、B两种商品的单价分别是多少？ （2）请在（1）的基础上提出一个能使题目剩余条件解决的问题，并加以解决． 【答案】(1)设打折前，A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，依题意有 解得. 答：打折前，A商品的单价是12元，B商品的单价是8元． (2)答案不唯一．如：打折后，买100件A商品和100件B商品比打折前节约多少钱？ 当x＝12，y＝8时，100x+100y﹣1800＝200． 答：打折后，买100件A商品和100件B商品比打折前节约200元． 故答案为(1)打折前，A商品的单价是12元，B商品的单价是8元；(2)打折后，买100件A商品和100件B商品比打折前节约200元． 【例9】为喜迎元旦，某超市推出A类礼盒和B类礼盒，每个A类礼盒的成本为120元，每个B类礼盒的成本为160元，每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同． (1) 求每个A类礼盒的售价； (2) 该超市购进A类礼盒800个和B类礼盒1000个，进行促销活动．超市规定，每人每次最多购买A类礼盒1个或B类礼盒1个，每个A类礼盒直接参与店内“每满100元减a元”的活动，每个B类礼盒在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减a元”的活动．活动结束时，所有礼盒全部售卖完．若该超市获得的利润为48800元，求a的值． 【答案】（1）解：设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A类礼盒的售价为160元． （2）解：∵（元），， ∴每个B类礼盒的活动价为元． 根据题意得：， 解得：． 答：a的值为14． 【例10】某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 【答案】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台． （2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得： 答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元． 【题型三】方案问题 【例1】某宾馆有单人间，双人间，三人间三种客房供游客选择居住，现某旅游团有18名游客同时安排居住在该宾馆，若每个房间都住满，共租了8间客房，则居住方案有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【例2】小明计划用21元钱购买、两种笔记本，种每个3元，种每个2元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【例3】校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【例4】某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 　　种购买方案． 【答案】3 【例5】某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有 种． 【答案】3 【例6】星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 【答案】 （1）解：设买可乐和奶茶分别为x杯、y杯． 根据题意，得， 所以． 要使x为非负整数，y的取值必是偶数，且， 所以； 把y的值分别代入，得 ，，， 故有4种购买方式： 方式1：买10杯可乐； 方式2：买7杯可乐，2杯奶茶； 方式3：买4杯可乐，4杯奶茶； 方式4：买1杯可乐，6杯奶茶． （2）根据题意有：，且， 由（1）可知，满足条件的解有：，， 故每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有2种购买方式． 【例7】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元． (3) 问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (4) 若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得: ， 解得： ， 答：两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元 （2）解：设购买A型号的汽车辆，种型号的汽车辆，由题意可得且的正整数， 解得： 或或或， 该公司共有四种购买方案， 当 时, 获得的利润为:(万元)， 当 时, 获得的利润为:(万元)， 当 时, 获得的利润为:(万元)， 当 时, 获得的利润为:(万元)， 由上可得, 最大利润为 万元． 【例8】甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示： 小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人） 3 1 105 1 2 110 （1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？ （2）若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案： ②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】（1）解：设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者， 由题意得，， 解得， ∴， 答：满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者； （2）解：①由题意得，， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴必须要是4的倍数， ∴当时，；当时，； ∴一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆； ②方案一的费用为元， 方案二的费用为元， ∵， ∴租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元． 【例9】某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 【答案】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元； （2）解：设租辆座客车，辆座客车， 根据题意得：， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元， 故答案为：． 【例10】某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【答案】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $