2026年浙江省金华市九年级中考数学模考练习试卷

**基本信息** 立足金华地域文化与现实情境，融合数学史与动态探究，梯度覆盖中考核心知识，注重抽象能力与推理意识考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、光的折射几何、科学记数法|以医保参保人数、酥饼包装盒等现实素材创设情境| |填空题|6/18|解直角三角形、概率、桔槔传统文化应用|结合《天工开物》工具考查几何计算，体现文化传承| |解答题|8/72|华罗庚猜数（数学史）、二次函数动态最值、友好图形旋转探究|设置动态几何与函数图像综合题（第10题），通过旋转探究培养空间观念与创新意识|

2026年浙江省金华市九年级中考数学模考练习试卷 全卷共三大题，24小题，满分为120分．时间为120分钟. 第一部 分选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．实数 的倒数是 （   ） A．2027 B． C． D． 2． 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）． 现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（   ） A． B． C． D． 3． 全国统一的医保信息平台已全面建成，为超过1360000000个参保人员提供医保服务． 数1360000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．金华酥饼是浙江金华传统名点之一．如图是金华酥饼的包装盒，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6． 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形， 且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（   ） A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4） 7． 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题： “甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当， 二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊， 如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， 请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（   ） A． B． C． D． 8. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果， 绘制出如图统计图，若我校共有2000名学生，则下列说法正确的是（   ） A．本次接受调查的学生人数为400 B．扇形统计图中的 C．所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7 D．学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”， 估计我校获“志愿者勋章”的学生人数为700人 9. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方， 且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点， 则点C到弦所在直线的距离是（   ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 10. 如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接， 将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为， 关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．计算：=_______ 12．不等式组的解为 ． 13. 如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底点22米的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为， 则可估算出多宝塔的高度为 米（结果保留整数，参考数据： ，，） 14．3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁” 三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动， 则她们恰好选到同一个活动的概率是_________ 15．【文化欣赏】 图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图， 图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物， 是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，， 当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米， 则这个桔槔支架的高度为____________米． 16． 如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接， 若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________． 3、 解答题（本题共8小题，共72分。其中17、18题6分，19、20题8分， 21、22题每题10分，23、24题每题12分。） 17化简求值：，其中． 18．解方程：． 19. 已知平行四边形，在边上画点，使于点． 甲、乙两位同学的作图方法如下． 甲：如图1，以点为圆心，长为半径画弧交边于，两点， 再分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则点为符合要求的点． 乙：如图2，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，， 作直线交边于点，再以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连结， 则点为符合要求的点． 请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由． 20. 某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研． 随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类： 其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分， “应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 4 3 第2组 1 第3组 2 (1) 请补全第1小组得分条形统计图． (2) 第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． (3) 根据上述图表填空：__________，__________，__________． (4) 若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． (5) 结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 21．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，， 又∵， ∴， ∴能确定59319的立方根是个两位数． ② 59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③ 若划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1 )现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ① 它的立方根是 位数； ② 它的立方根的个位数字是 ； ③ 19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 22. 如图，中，，以为直径的交边于点D， 过点D作的切线交于点E． (1) 若，求的度数； (2) 若，，求的值． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 其对称轴是直线，点的坐标为． (1) 求此二次函数的表达式． (2) 若，当时，求二次函数的最小值（用含有的代数式表示）． (3) 当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求的值． 24. 友好图形的定义如下：两个完全重合放置的图形，固定一个顶点，将其中一个图形绕这个顶点旋转， 这样的图形称为友好图形，下面我们来探究友好图形旋转的性质． 已知矩形，将矩形绕点C旋转到矩形，，． 【尝试发现】 （1） 如图1，连接，在旋转过程中，探究______ 【类比探究】 （2） 如图2，在矩形绕点C旋转的过程中，使落在矩形对角线上， 矩形对角线与相交于点，交于K，延长交于点H，求的长． 【联系拓广】 （3） 将友好矩形中的绕点C旋转到的过程中， 当构成直角三角形时，求出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省金华市九年级中考数学模考练习试卷（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分．时间为120分钟. 第一部 分选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．实数 的倒数是 （   ） A．2027 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查倒数的定义，熟练掌握倒数定义是问题求解的关键． 根据倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为，可完成求解． 【详解】解：由，可得． 故选：B． 2． 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）． 现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及对顶角相等解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3． 全国统一的医保信息平台已全面建成，为超过1360000000个参保人员提供医保服务． 数1360000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法-表示较大的数，根据科学记数法通常形式为，其中是一个不小于1但小于10的实数，是一个整数，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：C． 4．金华酥饼是浙江金华传统名点之一．如图是金华酥饼的包装盒，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：观察包装盒，其是一个上、下底面均为正六边形的六棱柱，俯视图看到的是上底面，故为正六边形， 故选：D． 5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数、反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：若，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限； 若，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：A． 6． 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形， 且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（   ） A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4） 【答案】A 【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案． 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ， ∴， ∵BG＝12， ∴AD＝BC＝4， ∵AD∥BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴ ∴ 解得：OA＝2， ∴OB＝6， ∴C点坐标为：（6，4）， 故选A． 7． 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题： “甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当， 二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊， 如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， 请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 8. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果， 绘制出如图统计图，若我校共有2000名学生，则下列说法正确的是（   ） A．本次接受调查的学生人数为400 B．扇形统计图中的 C．所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7 D．学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”， 估计我校获“志愿者勋章”的学生人数为700人 【答案】C 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 由两个统计图可得样本参加志愿服务为5次的有4人，占调查人数的10%，由频率可求出调查人数，可以判断A，进而求出参加志愿服务为8次所占的百分比，得出m的值，即可判断B；根据平均数公式进行计算即可判断C；用样本中的“参加志愿服务7次”的学生所占的百分比去估计全校2000名学生“参加志愿服务7次”所占的百分比，再根据频率进行计算即可判断D． 【详解】解：A． 本次接受调查的学生人数为（人），此选项不正确； B． 参加志愿服务为8次的有10人，所占的百分比为，所以，此选项不正确； C． 所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为（次），此选项正确； D．我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有（名），此选项不正确； 故选C． 9. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方， 且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点， 则点C到弦所在直线的距离是（   ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D，      由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 10. 如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接， 将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为， 关于的函数图象如图所示，最高点为．则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，过点作的延长线于点，过点作于点，可证，得到，设，则，可得，利用抛物线的对称轴可得，即得到，最后把代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，则， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由图知，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 当时，，即， 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．计算：=_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算、零次幂、算术平方根等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先用特殊角三角函数值、零次幂、算术平方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 12．不等式组的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， 所以：原不等式组的解集为：， 故答案为：． ， 故答案为：． 13. 如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底点22米的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为， 则可估算出多宝塔的高度为 米（结果保留整数，参考数据： ，，） 【答案】20 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握正切函数的定义是解决问题的关键．由题意判断出米，，那么，利用的正切值列出方程，可得的长． 【详解】解：由题意得：米，， ， ， ， 解得：（米）， 故答案为：20． 14．3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁” 三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动， 则她们恰好选到同一个活动的概率是_________ 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故答案为： 15．【文化欣赏】 图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图， 图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物， 是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，， 当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米， 则这个桔槔支架的高度为____________米． 【答案】5.2 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度． 【详解】解：米， 米，米， 如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则， 米，米， （米）． ， ， ∴即， 解得米， 米， 又（米）， （米）． 故答案为：5.2． 16． 如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接， 若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，证明四边形是矩形，得，，求出，设，则，由勾股定理列方程可求出． 【详解】解：连接，延长交于点，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的切线，点F是切点， ∴，即, ∴四边形是矩形， ∴，，即, ∴, ∵点是的中点， ∴， ∴， 设，则， 在中，, ∴, 解得：． 3、 解答题（本题共8小题，共72分。其中17、18题6分，19、20题8分， 21、22题每题10分，23、24题每题12分。） 17化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算并求值；掌握运算步骤及，注意去括号时变号是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式进行运算，再去括号，最后进行加减运算，代值计算，即可求解； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 18．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 已知平行四边形，在边上画点，使于点． 甲、乙两位同学的作图方法如下． 甲：如图1，以点为圆心，长为半径画弧交边于，两点， 再分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则点为符合要求的点． 乙：如图2，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，， 作直线交边于点，再以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连结， 则点为符合要求的点． 请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由． 【答案】甲、乙两位同学的作法都正确，见解析 【分析】本题是关于平行四边形中通过尺规作图找点并判断作图方法正确性的问题．需要依据甲、乙两位同学不同的作图步骤，利用三角形全等、线段垂直平分线、圆的性质等知识来判断是否能得到 ． 【详解】解：甲、乙两位同学的作法都正确． 甲同学作法正确的理由如下． 连结，，，如图甲． ，，． ． ． 又， ．即点为符合要求的点． 乙同学作法正确的理由如下． 连结，，，如图乙． ， 为的垂直平分线， 为边的中点． 由作法知：为的直径， ． ．即点为符合要求的点． 20. 某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研． 随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类： 其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分， “应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 4 3 第2组 1 第3组 2 (1) 请补全第1小组得分条形统计图． (2) 第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． (3) 根据上述图表填空：__________，__________，__________． (4) 若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． (5) 结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4)280人 (5)第2组掌握程度最弱 【分析】（1）根据总人数为 20 人，条形图各得分的人数即可解答； （2）根据调查总人数 20 人，再利用扇形统计图得分为“4分”的百分数即可解答． （3）根据条形统计图的数据、扇形统计图的数据、折线图的数据，以及众数、中位数、平均数的定义即可解答． （4）先计算出三组人数中得分“ 4 ”的百分数，再计算出1200 人的掌握情况是“应用”的人数即可解答． （5）根据表格中数据即可解答． 【详解】（1）解：∵随机调查的总人数为 20 人，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 4”分的人数为 8 人， ∴“ 3 ”分的人数为：（人）， 补全第1小组得分条形统计图如图所示： （2）解：∵第 2 小组得分扇形统计图中“得分为4 分”所占的百分数为， ∴“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为； （3）解：∵根据扇形统计图可知“得分为 0 分”的人数最多， ∴第2组的众数为0分， ， ∵根据第1 小组得分条形统计图可知，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 3”分的人数为6人，“ 4”分的人数为 8 人， ∴第1组的平均数为， ， ∵第 3 组的折线图可知中位数第 10 和第 11 个分数：2 ， 2， ∴第 3 组的中位数是， ． （4）解：∵ 第 1 组得分为 “4 分”的人数为 8 人，第 2 组得分为“4 分”的人数为 人，第 3 组得分为“4 分”的人数为 2 人， ∴ 三组得 4 分的总人数为 14人， ∵三组总人数为60人， ∴该校九年级有1200名学生参加此次调研，掌握情况是“应用”的人数有（人）． （5）解：第2组掌握程度最弱， 原因：三组平均数分别为，第2组平均数最低，且0分占比最高，中位数最小，整体得分最低，因此掌握程度最弱． 21．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题： 一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚（1910-1985） 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，， 又∵， ∴， ∴能确定59319的立方根是个两位数． ② 59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③ 若划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1 )现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ① 它的立方根是 位数； ② 它的立方根的个位数字是 ； ③ 19683的立方根是 ． (2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②7；③27 (2)48 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 能确定19683的立方根是个两位数． ②∵19683的个位数是3， 又， 能确定19683的立方根的个位数是7， ③如果划去19683后面的三位683得到数19， 而，则，可得， 由此能确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ∵110592的个位数是2， 又∵， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则， 可得， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 22. 如图，中，，以为直径的交边于点D， 过点D作的切线交于点E． (1) 若，求的度数； (2) 若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，则，再根据切线的性质得到，所以； （2）过O点作于H点，连接，如图，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得到，再证明，利用相似比可计算出，则利用勾股定理可计算出，利用正切的定义得到，然后 【详解】（1）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过O点作于H点，连接，如图，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 其对称轴是直线，点的坐标为． (1) 求此二次函数的表达式． (2) 若，当时，求二次函数的最小值（用含有的代数式表示）． (3) 当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的增减性，对称轴的知识是关键． （1）根据题意，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意若，当时，的最小值在时取到，代入计算即可； （3）根据二次函数对称轴，增减性分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：的图象对称轴是直线， ，， 在其图象上， ，， 此二次函数的表达式为． （2）解：∵的图象对称轴是直线， 若，当时，， ∴的最小值在时取到， ∴， ． （3）解：当时， ， ，， 二次函数的最大值比最小值大2， ， ； 当时， ， ，， 二次函数的最大值比最小值大2， ， ； 当时， ， ， ， 若， 解得，不符合； 若， 解得，不符合． 或． 24. 友好图形的定义如下：两个完全重合放置的图形，固定一个顶点，将其中一个图形绕这个顶点旋转， 这样的图形称为友好图形，下面我们来探究友好图形旋转的性质． 已知矩形，将矩形绕点C旋转到矩形，，． 【尝试发现】 （1） 如图1，连接，在旋转过程中，探究______ 【类比探究】 （2） 如图2，在矩形绕点C旋转的过程中，使落在矩形对角线上， 矩形对角线与相交于点，交于K，延长交于点H，求的长． 【联系拓广】 （3） 将友好矩形中的绕点C旋转到的过程中， 当构成直角三角形时，求出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明求得，再证明，求得，即可解答； （3）分类讨论，分别为直角时，画出图形，逐一解答即可． 【详解】（1）解：将矩形绕点C旋转到矩形， ,， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， ， 根据旋转可得，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 解得，经检验是原方程的解， ； （3）①如图，点在上时，， .，， ， ； ②如图，点在延长线上时，， ， 此时， ； ③如图，当时，过点作于点， ，， 四边形为矩形， ， 根据勾股定理可得， ； ④如图，当时，过点作交于点， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $