精品解析：北京市第九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2026北京九中高一（下）期中 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（共60分） 1. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. “”是的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 函数的最小值（ ） A. 2 B. C. D. 7. 函数是（ ） A. 周期为的偶函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数 8. 的图象可以由的图象作的变换得到（ ） A. 先向左平移个单位，然后将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变 C. 先将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，然后向右平移个单位 D. 先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位 9. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象离原点最近的对称轴为，若满足||≤，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x－φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是( ) A. B. C. ∪ D. 13. 已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ） A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56m B. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45m C. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m D. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m 15. 已知函数，下列结论中错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为 二、填空题（共20分） 16. 已知角的顶点位于坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则______. 17. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为__________. 18. 如图是以为圆心的一个圆，其中弦的长为2 ，则_______. 19. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________. 20. 已知，都是定义在上的函数，若存在实数m，n使对任意都成立，则称为，在上生成的函数. ①函数为，在上生成的函数； ②为，在上生成的函数； ③函数为，在上生成的函数； ④若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，则，； 其中所有正确结论的序号是_______. 三、解答题（共70分） 21. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求与的夹角的余弦值． 22. 如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为. （1）求的值及的值； （2）求的值. 23. 已知函数的最大值为2． （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程和的单调递增区间． 24. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）当，求的最大值和最小值． 25. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）. （1）当时，求点绕转动的弧度数； （2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，； （3）求的最小值. 26. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； （3）若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京九中高一（下）期中 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（共60分） 1. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数运算可得对应的点的坐标，由此可得结果. 【详解】，对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 3. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】借助两角和的正切公式计算即可得. 【详解】. 故选：C. 4. “”是的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数判断即可. 【详解】当时，，反之，当时，可以不取，如，有， 所以“”是的充分不必要条件. 故选：C 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的图形，求出，再利用数量积的定义求解即得. 【详解】观察图形知，， 所以. 故选：A 6. 函数的最小值（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式将已知函数化成一角一函数状态即可求其最小值. 【详解】因为， 所以当，，即，时，函数有最小值 故选：B. 7. 函数是（ ） A. 周期为的偶函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】应用两角和差余弦公式计算化简，再应用周期公式及奇偶性判断即可. 【详解】 ， 所以周期是，且函数是奇函数. 故选：D. 8. 的图象可以由的图象作的变换得到（ ） A. 先向左平移个单位，然后将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变 C. 先将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，然后向右平移个单位 D. 先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则变换即可判断. 【详解】的图象可以由的图象先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的的变换得到. 故选：B 9. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象和性质，结合已知条件求解． 【详解】正弦函数的对称中心为，是函数的图象的一个对称中心， ，解得， 的最小值为． 故选：B． 10. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论. 【详解】由于是最小正周期为的奇函数，则A错误； 由于为偶函数，则B错误； 由于是最小正周期为的奇函数，则C错误； 由于，则是最小正周期为的奇函数；即D正确； 故选：D 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值. 【详解】由于，所以， 故选：B 12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象离原点最近的对称轴为，若满足||≤，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x－φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是( ) A. B. C. ∪ D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出y＝2sin（2x－φ）靠近原点的对称轴，解不等式||≤即可得到φ的范围﹒ 【详解】靠近原点的对称轴为， 则， 要为近轴函数，则，∵， ∴， ， 或 解得φ∈， 故选：C． 13. 已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性对进行分类讨论，解出的解析式，进而求得最值. 【详解】函数的周期为，由正弦函数的单调性， 令，解得;令，解得;令，解得. 故函数在上递减，在上递增. 不妨看区间在当和时函数图象上的分布状况， 当，即时，由函数在上递减知； 当即时，结合函数的图象知； 当即时，结合函数的图象知； 当即时，由函数在上递增知； 当即时，结合函数的图象知； 区间继续沿着坐标轴往右移动时会按上述规律周期循环. 综上， 当时，，此时函数为减函数，则； 当时，时，此时函数为增函数，则. 则的最小值为. 故选：B 14. 如图，是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ） A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56m B. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45m C. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m D. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m 【答案】B 【解析】 【分析】计算出车轮转动的周期数即可得确定位置和距地面的距离. 【详解】车轮的周长为，当滚动的水平距离为时， ，即车轮转动个周期，即点A在轮子的右上位置，如图所示， 距离地面约为， 故选：B. 15. 已知函数，下列结论中错误的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是 C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数对称性的定义结合诱导公式可判断A；根据周期函数的定义可判断B；计算和可判断C；根据复合函数单调性以及正余弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A：，， 因此，即的图象关于直线对称，故A正确； 对于B： ， 因此是的周期，故B正确； 对于C：，， 所以， 所以在区间上不是单调递增函数，故C错误； 对于D：设，因在单调递增，则最大值为， 当且仅当时取到，此时，，而的最大值为1， 即当，和同时取得各自的最大值， 因此最大值为，故D正确. 二、填空题（共20分） 16. 已知角的顶点位于坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的定义直接求得结果. 【详解】依题意，点到原点距离， 所以. 故答案为： 17. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】因为， 所以共轭复数. 故答案为：. 18. 如图是以为圆心的一个圆，其中弦的长为2 ，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】作交于，则，由此计算求解即可得到结果. 【详解】如图，作交于，则， 则. 故答案为：2. 【点睛】本题考查平面向量的几何应用，此类题型一般需要结合平面向量的基本定理进行计算化简，属中档题. 19. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，代入公式即可得解. 【详解】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 20. 已知，都是定义在上的函数，若存在实数m，n使对任意都成立，则称为，在上生成的函数. ①函数为，在上生成的函数； ②为，在上生成的函数； ③函数为，在上生成的函数； ④若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，则，； 其中所有正确结论的序号是_______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据新定义可判断①④；通过反例可判断②③. 【详解】对①：因为， 所以函数为，在上生成的函数，①正确； 对②：假设存在实数，使得对任意都成立， 取得，则， 显然对任意，不恒成立，假设不成立， 所以不是，在上生成的函数故，②错误； 对③：假设存在实数，使得对任意都成立， 取得，即，则， 显然对任意，不恒成立，假设不成立， 所以不是，在上生成的函数故，③错误； 对④：若为，在上的一个生成函数， 则， 因为，所以， 因为，的最小值为， 所以， 联立，解得，④正确. 三、解答题（共70分） 21. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示计算可得； （2）首先求出，再根据向量模的坐标表示计算可得； （3）首先求出，，，再由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以； 【小问3详解】 因为， 则， 又，， 则， 即与的夹角的余弦值为． 22. 如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为. （1）求的值及的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义求得，再由平方关系求得，从而得的值，再由切化弦可得的值； （2）根据诱导公式化简已知式子，再根据商数关系齐次转化即可得答案． 【小问1详解】 依题意，由三角函数定义得，且为第二象限的角， 故， 所以， 则． 【小问2详解】 . 23. 已知函数的最大值为2． （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程和的单调递增区间． 【答案】（1） （2）对称轴方程为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式可得，即可求得； （2）利用整体代换法解方程可求得对称轴方程，解不等式可得单调增区间. 【小问1详解】 因为， 其中，所以， 解得， 又因为，所以. 故， 【小问2详解】 由正弦函数对称轴方程可得， 解得， 所以曲线的对称轴方程为； 由得， 即的单调递增区间为 24. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）当，求的最大值和最小值． 【答案】（1）的最小正周期为. （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先化简，求出，然后由最小正周期公式求解即可. （2）求在闭区间上的最大值和最小值即可. 【小问1详解】 ， ， ， 所以的最小正周期为：. 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，所以. 所以当时，，当时，. 所以当，的最大值为，最小值为. 25. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）. （1）当时，求点绕转动的弧度数； （2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，； （3）求的最小值. 【答案】（1）2 （2），，满足 （3） 【解析】 【分析】（1）由点与点处转过的弧长相等，求点绕转动的弧度数； （2）由分别点与点处转过的圆心角，结合正弦函数，写出，关于转动时间的函数表达式，并解不等式； （3）利用诱导公式和倍角公式化简，结合二次函数的性质求最小值. 【小问1详解】 当时，点绕转动1弧度，点与点处转过的弧长相等，则点绕转动的弧度数为. 【小问2详解】 转动时间为秒，点绕转动弧度，点绕转动弧度， ，， 当，， 由解得，. 则满足条件的的集合为. 【小问3详解】 ， 当时，有最小值. 26. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； （3）若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【答案】（1） （2） 当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差” ， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； （3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【小问1详解】 解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当集合，，时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，故， 整理得到，而，故或， 所以或， 当时，有，而，故即， 当时，有，而，故即， 故或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $