黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

哈九中2025一一2026学年度高一下学期 期中考试数学学科试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每个小题给出的选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设z=-1+2i,则在复平面内z对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a,石满足d=1,=2,(a,b)=5,则a-i=() A.1 B.5 C.2 D.3 3.在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，若a=bsin A,则此三角形是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 4.在空间中，若直线l/1平面a,直线mc平面a,则1与m() A.可能平行，也可能是异面直线 B.是异面直线 C.平行 D.相交 5.已知单位向量a,b满足a+b=√3，则a与6的夹角为() A. c.2 3 D. 6.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形 AB'CD',其中AB/1C'D',AB⊥B'C,A'B'=4,D'C'=2,以原四边形ABCD的边 AD为轴旋转一周得到的几何体体积为() B' A.14V2元+8元 B. 56V2 一元 C. 80 D. 112v2 元 3 5 7.直三棱柱ABC-AB,C的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且AC=CC,=1, 在面对角线BC,上存在一点P使P到B,和P到A的距离之和最小，则这个最小值是 2+V6 A.2 B.1+√2 C.5 D. 2 8.如图，三棱台ABC-ABC中，AB:A,B,=1:2,则三棱锥A-ABC,B-ABC, C-AB,C的体积之比为() B A.1:1:1 B.1:1:2 C.1:2:4 D.1:4:4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，有选错的得0分. 9.△M4BC中6=3，c=2,cosA,则() A.a=3 B.∠C的角平分线交AB于D,则CD=√2 C.sin B=2v2 3 D.CA在B上的投影向量是-AB 10.已知复数：=- (i为虚数单位)，则() 1+i A.:的共轭复数为-+】 22 B.:的虚部为时 C.22= 4 D.) 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，且M,N分别为AC,A,B的中点， 则下列说法正确的是() A A.MNI∥平面ADDA B C B.N与AA所成角为45° C.三棱锥V-BCM的体积为 8 D.点A到平面ABD的距离为 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为 13.将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两 个圆锥的侧面积分别为S和S2,体积分别为'和'2，若 厘-1 2则 14.如图所示，若∠1CB=受∠ABC=名，点D与B分别在直线4C两侧，且 AD=DC=2,则BD长度的最大值为 四、解答题：本题有5道题，总共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.13分>已知向最a=(2).6=(2 (1)求a+46: (2)若a+4b与a-4b垂直，求实数2的值. 16.(15分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=-ab, 且bsinC=2√3sinB. (1)求角C及边c的值； (2)求a+b的最大值， 17.(15分)如图，正三棱柱ABC-A,B,C内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π， 且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱ABC-AB,C的体积与表面积. B A B 18.(17分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，点G,E,F,P分别为棱AB, DC,BC,4的中点，点M是棱AD上的一点，且MD=4D D E M B G (1)求证：D,B,F,E四点共面； (2)求证：D,G∥平面DBFE; (倒楼A8上是香存在一点V使平面PMN∥平面DBFE?若存在，求 AB 的值；若 不存在，请说明理由. 19.(17分)已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这 三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外 拿破仑三角形.在△ABC中，角A是锐角，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 且a=√3，以△ABC的边BC,CA,AB分别向外作的三个等边三角形的中心分 别记为A,B,C,记R为△ABC的外接圆半径. (1)若R=√3，求∠B,AC,的值； (2)在(1)的条件下，求△ABC边长的最大值： 8片AAG的酒积为6，且5 求△ABC面积的取值范围.