第6节 利用空间向量证明平行、垂直 课件-2027届高三数学一轮复习

第6节　利用空间向量证明平行、垂直 1.直线的方向向量与平面的法向量 直线的方 向向量 与直线平行或在这条直线上的有向线段所表示的非零向量,一条直线的方向向量有无数个 平面的法 向量 直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,则向量a叫作平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2=0 直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n=0 l⊥α u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn n1,n2分别是平面α,β的法向量 α∥β n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2=0 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l的方向向量a一定是单位向量.(　　) (2)同一个平面的法向量均为共线向量.(　　) (3)若a,b是平面α内的向量,且n·a=0,n·b=0,那么n可以作为平面α的一个法向量.(　　) × 解析 方向向量的模长可为任意非零值,不一定是单位向量. √ × 解析 a,b不共线时,n才可以作为平面的一个法向量. 2.已知向量a=(2,3,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　) A.x=,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=,y= D 解析 由l1∥l2,得a∥b,即,解得x=,y=故选D. 3.设直线l的方向向量u=(-2,2,t),平面α的一个法向量v=(6,-6,12),若直线l⊥平面α,则实数t等于(　　) A.4　　B.-4　　C.2　　D.-2 B 解析 因为直线l⊥平面α,所以u∥v,则,解得t=-4.故选B. 考点一　用空间向量证明平行关系 例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.求证:MN∥RS. 考点一 考点二 考点三 证明 (方法一)建立如图所示的空间直角坐标系, 根据题意得M(3,0,),N(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,),则分别为MN,RS的方向向量,又=(-3,2,),=(-3,2,),所以,所以,因为M∉RS, 所以MN∥RS. 考点一 考点二 考点三 (方法二)设=a,=b,=c, 则c-a+b,b-a+c. 所以,所以 又R∉MN,所以MN∥RS. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用空间向量证明平行关系的方法和步骤 (1)要证明线线平行,首先需要证明两直线的方向向量共线,再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上. (2)要证明线面平行,首先需要证明该直线的方向向量与平面的法向量垂直,或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,再说明该直线上存在某个点不在平面内. (3)要证明面面平行,首先需要证明两平面的法向量为共线向量,再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行). 考点一 考点二 考点三 [对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为底面A1B1C1D1和侧面BCC1B1的中心.求证: (1)EF∥平面A1BD; (2)平面B1EF∥平面A1BD. 考点一 考点二 考点三 证明 (1)以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(1,1,2),F(1,2,1). (方法一)=(0,1,-1),=(0,2,-2),因为=2,所以A1B∥EF,又A1B⊂平面A1BD,EF⊄平面A1BD,所以EF∥平面A1BD. 考点一 考点二 考点三 (方法二)设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),=(2,0,2),=(2,2,0),根据可得令x=-1,则y=1,z=1,即n=(-1,1,1), 因为n=0,EF⊄平面A1BD,所以EF∥平面A1BD. (2)设平面B1EF的一个法向量m=(x0,y0,z0),=(-1,0,-1),=(0,1,-1),根据可得取y=1,则m=(-1,1,1),所以m=n,则m∥n,所以平面B1EF∥平面A1BD. 考点一 考点二 考点三 考点二　用空间向量证明垂直关系 例2　如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C=CB=CA=2,AC⊥BC,D,E分别为棱C1C,B1C1的中点.证明:平面ACE⊥平面A1BD. 考点一 考点二 考点三 证明 如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),E(0,1,2),D(0,0,1), 所以=(2,0,0),=(-2,1,2),=(2,0,1),=(0,2,-1). 设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z), 则 考点一 考点二 考点三 令x=-1,可得平面A1BD的一个法向量m=(-1,1,2). 设平面ACE的法向量为n=(a,b,c), 则令b=2,可得平面ACE的一个法向量n=(0,2,-1). 因为m·n=-1×0+1×2+2×(-1)=0,所以m⊥n,所以平面ACE⊥平面A1BD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤 (1)要证明线线垂直,需证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)要证明线面垂直,需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或先通过向量证明线线垂直,再由线面垂直的判定定理证明. (3)要证明面面垂直,需证明两个平面的法向量垂直. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2]在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),P(0,0,a),F(), =(-,0,),=(0,a,0).因为=0,所以,即EF⊥CD. 考点一 考点二 考点三 (2)解 G为线段AD的中点. 证明如下:设G(x,0,z),则=(x-,-,z-),=(a,0,0),=(0,-a,a), 若使GF⊥平面PCB,则即 得所以G点坐标为(,0,0),即G为线段AD的中点. 考点一 考点二 考点三 考点三　与平行、垂直有关的存在性问题 例3　(2025·浙江绍兴期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠CAB=90°,AB=AC=2,AA1=3,M为BC的中点,P为侧棱BB1上的动点. (1)求证:平面AMP⊥平面BB1C1C. (2)试判断是否存在P,使得直线BC1⊥AP.若存在,求PB的长;若不存在,请说明理由. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 ∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC, ∴AM⊥BB1,∵AB=AC=2,M为BC的中点, ∴AM⊥BC,∵BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BB1C1C,∴AM⊥平面BB1C1C, ∵AM⊂平面APM, ∴平面APM⊥平面BB1C1C. 考点一 考点二 考点三 (2)解 以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, B(0,2,0),C1(2,0,3),A(0,0,0), 设BP=t(0≤t≤3),则P(0,2,t),=(2,-2,3),=(0,2,t),若BC1⊥AP,则 =0-4+3t=0,解得t=<3,所以存在P,使得直线BC1⊥AP,此时PB= 考点一 考点二 考点三 规律方法　存在性问题的两种探索方式 考点一 考点二 考点三 [对点训练3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,E是PA的中点. (1)求证:PC∥平面BDE. (2)若PA=2,在线段PC上是否存在一点F,使AF⊥平面BDE?若存在,求出PF的长度;若不存在,请说明理由. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 如图,连接AC交BD于点O.因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点,又E是PA的中点,所以OE∥PC.因为OE⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,所以PC∥平面BDE. (2)解 存在,理由如下: 因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥DA. 又PA∩DA=A,PA⊂平面ADP,DA⊂平面ADP,所以CD⊥平面ADP. 以D为坐标原点,过点D作PA的平行线为x轴,分别以DA,DC为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.则A(0,2,0),B(0,2,2),C(0,0,2),D(0,0,0),P(2,2,0),E(1,2,0), 考点一 考点二 考点三 所以=(-2,-2,2).设=(0≤λ≤1),则+=(2,2,0)+(-2λ,-2λ,2λ) =(-2λ+2,-2λ+2,2λ),所以F(-2λ+2,-2λ+2,2λ),所以=(-2λ+2,-2λ,2λ).因为=(0,2,2),=(1,2,0),设n=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量,则 所以取y=-1,则n=(2,-1,1)是平面BDE的一个法向量.因为AF⊥平面BDE,所以n,所以有,解得λ=,所以 因为||==2,所以PF=||=|= 考点一 考点二 考点三 $