专项训练08 概率与统计(压轴)(解答题篇)-2026届高考三轮冲刺

专题08 概率与统计(压轴) 题型1：概率统计与数列相结合问题 题型2：概率统计与导数相结合问题 题型3：概率统计与立体几何相结合问题 题型4：概率统计中证明类问题 题型5：概率综合问题 题型1：概率统计与数列相结合问题 1．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【答案】(1)分布列见详解， (2) (3) 【分析】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值． 【详解】（1）由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. （2）记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减： ， 即，所以． （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为. 2．（2026·河北沧州·模拟预测）甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. (1)射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. (2)新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【分析】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，由题设求解即可. （ii）第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，可得化简后可得数列为等比数列，由此求解即可. （2）设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，分别求解，即可. 【详解】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件， 可得. （ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为， 所以，即. ， 令，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （2）表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率， 则①， ②， 联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为. 3．（2026·四川广元·三模）某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． (1)求，； (2)求； (3)该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意及独立事件的乘法公式即可求得，； （2）讨论的奇偶，计算对应的概率即可； （3）讨论成功增益为0和有成功增益的情况，分别求出初始状态下最终成功终止的概率和初始状态下最终成功终止的概率，进而根据即可求出的最小值． 【详解】（1）依题意可得恰好次测试后成功终止（第一次失败，第二、三次成功）的概率为 ， 恰好次测试后成功终止（第一次成功，第二次失败，第三、四次成功）的概率为 ． （2）要在第次成功终止，则必须满足第次和第次均为成功， 当为偶数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），成功失败各次， 所以； 当为奇数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），则前次测试成功次，失败次， 所以； 所以，整理得． （3）定义状态为初始状态，为上次测试失败但测试未终止， 为上次测试成功但测试未终止， 设为从状态出发最终终止的概率. 则，故， 当成功增益为0，即时， 将代入得初始状态下最终成功终止的概率， 同理若成功增益， 则初始状态下最终成功终止的概率， 由题设有，故，此时， 所以满足条件的的最小值为． 4．（2026·湖北鄂州·模拟预测）一个不透明的口袋中放有完全相同的2个红球、2个黄球．现每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后又放回口袋中． (1)若摸球10次，求摸到红球个数的期望； (2)若连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球．记恰好第次摸球时结束的概率为． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由二项分布的期望可得； （2）（i）由第5次时结束，即第4，5次必须是红球，第3次为黄球，前2次至少一次黄球的情况结合独立事件的乘法公式可得； （ii）先由后三次分别为黄球、红球、红球三种情况得到，再令解出再验证可得. 【详解】（1）设摸到红球的个数为，依题意有 （2）（i）依题意 第5次时结束，即第4，5次必须是红球，第3次为黄球，前2次至少一次黄球， 其概率为 （ii）若恰好第n+3次时结束，则第n+1次为黄球，第n+2，n+3次为红球，且第n次没有结束， 记第n次摸球没有结束的概率为Qn ，即 又第n+5次时结束可分为：当第n+1次为黄球时，则第n+2次为黄球红球均可以，之后连三次为黄球、红球、红球，第n+5次结束， 当第n+1次为红球（且摸球没有结束）时，则第n+2次为黄球，之后连三次为黄球、红球、红球，第n+5次结束， 综上 经验证：P1，P2，P3，P4，P5满足上式， ． 令得 解得或 或 又 ①或② ①-②得 当n=1，2时也成立， 所以，． 5．（2026·福建宁德·模拟预测）某答题闯关游戏，开始时，先给每位参加者赋分3分，并规定：每答一题，答对加1分，否则减1分；当积分为6分时，闯关成功并结束游戏；当积分为0分时，闯关失败，也结束游戏.甲同学参加该游戏，假如他答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记游戏结束时甲的答题数为. (1)证明：为奇数； (2)当为奇数时，记甲答完第题时积分为4分、2分的概率分别为，，证明：； (3)求的分布列. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设游戏结束时甲共答对道题，答错 道题，分别求出得分为和的情况下的答题数为，即可证明. （2）分别计算答完第题时积分为4分、2分的概率，做除法即可证明. （3）因为X为奇数，设X=2k+1，，先确定X的可能取值，利用（2）中的概率关系，结合游戏结束的条件（积分到0或6），建立不同答题数下结束游戏的概率递推公式，进而求出每个取值对应的概率，得到分布列。 【详解】（1）证明：设游戏结束时甲共答对道题，答错 道题，最终得分为 ，游戏结束时最终得分只能为或， 若得分： ，是奇数； 若得分： ，也是奇数. 因此必为奇数，得证. （2）证明：为奇数，设答对k道，答错题，得分为 ， 答完题积分为分的情况下​，故答错​道，因此； 答完题积分为分的情况下​，故答错道，因此， 由组合数性质​​，两式作比得 ， 故，得证. （3）由题知是不小于的奇数，记 ，游戏在第题结束，说明前题未结束（积分既不为0也不为6）， 结合（2）的结论可推得递推关系：记 为的概率，初始， 且对任意有 因此得到通式 因此X的分布列为： X … … P … … 6．（2026·河北·模拟预测）甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为，，．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击． (1)前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； (2)若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为，，． ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为，求． 【答案】(1) (2)①，② 【详解】（1）解：设事件A为甲射击命中，事件B为乙射击命中，事件M为前3次射击结束，丙未进行射击， 那么，所以前3次射击结束，丙未进行射击的概率为; （2）①，又， 所以，，化简得，又， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， ，则， ②设变量为第次丙射击，，， . 7．（2026·江苏·模拟预测）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. (1)求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； (2)求随机变量的分布列； (3)证明：. 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，结合分步乘法计算即可； （2）确定随机变量的取值，根据古典概型概率计算公式及分步乘法计算对应取值的概率即可； （3）根据题意推出，得到数列为等比数列，进而证明即可. 【详解】（1）设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件， 根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后盒子中5个球的颜色都为黑色”，2次操作，其中1次取出1红1黑，另一次取出2红， 所以； （2）操作2次后，的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 5 （3）记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设，， 则，， 则， ， ， ， 所以 ， 所以， 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 8．（2026·陕西西安·模拟预测）某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时有2个节点在线（假设在线的不再宕机），3个为宕机（停摆，不能正常工作），每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第n个月后在线节点数，表示其数学期望， (1)当时，求； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值及相应的概率，分析的可能情况，进而运算求解； （2）分析可知随机变量的可能取值有2，3，4，5，利用全概率公式求出随机变量在不同取值下的概率，再结合期望公式可证得结论成立； 【详解】（1）初始状态，即2个在线、3个宕机． 第1个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． （2）由题意知的可能取值有2，3，4，5， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． 题型2：概率统计与导数相结合问题 9．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)①；② (3)证明见解析. 【分析】（1）利用对立事件和差事件求概率：，计算两次有放回抽取的结果概率； （2）①标号不大于即每次抽取都不超过，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化简得到结果； （3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式. 【详解】（1）表示最大标号为，等价于所有抽取结果都不超过，且至少有一次等于， 则两次都不超过2； 两次都不超过2两次都不超过1. （2）①最终标号不大于等价于次抽取的所有结果都不大于，每次抽到不大于的概率为， 因此. ②由于， 随机变量的期望得 . （3）， 则随机变量的期望为 . 设，， 当时，，等号成立； 当时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 设， 又因为， 所以，所以． 综上所述，. 10．（2026·广西·模拟预测）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 11．（2026·贵州遵义·模拟预测）某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规则如下： 环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务，每项任务最多执行一次，每项任务执行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下： 任务 单次执行成功率 0.9 0.5 0.8 任务成功后得分/分 10 25 15 环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标服从正态分布，企业自主设定指标阈值，当时，模型成功商用，收益为万元：当时，模型不可商用，收益为万元：若未进入性能测试，则收益为万元. (1)求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序； (2)记，两个环节结束后模型总收益的数学期望为. （i）在第（1）问的执行顺序下，请用和表示； （ii）求当为何值时，取得最大值. 参考数据：当时，. 【答案】(1)或 (2)（i）万元；（ii） 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率计算公式，分情况讨论总分达到40的概率，可确定进入环节二的概率的最大值. （2）（i）根据期望的计算公式，可求期望的表达式； （ii）利用导数，结合正态分布的性质，可分析的单调性，进而可求的最大值及对应的的值. 【详解】（1）由题意，记环节一（任务执行）获得的总分为，下求不同顺序的值， 要使，至少要保证执行成功，否则不可能进入环节二，讨论如下： 以的顺序执行任务时， 当成功时，， 当不成功时，， 以或的顺序执行任务，则， 故进入性能测试的概率最大值为0.4，则最优执行顺序为或. （2）（i）由题意因为， 由（1）可知执行顺序为或， 此时进入性能测试的概率均为0.4，则未进入性能测试的概率为0.6， 在进入环节二条件下，模型成功商用的概率为，模型不可商用的概率为. 则两个环节结束后模型总收益为的概率是0.6， 模型总收益为的概率是，模型总收益为的概率是. 则 万元， （ii）由（i）可知，，其中， 满足正态分布，则， 在时不断递减，则在上恒成立， 在上单调递减. 在上单调递减. 又， 而，则， 在上恒成立， 则在上单调递减，故当时，取得最大值. 12．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大. 【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可； （2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算； （ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值. 【详解】（1）根据直方图可得，， 由题知，，则， 等品的质量指标值不小于， 即. （2）（ⅰ）指标值在和的总件数为， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是. ，， ，， 分布列为： . （ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品， 由题知，， 由（1）知，等品的概率为， 则，于是， ， 记， 则， 则递增， 递减， 故当时利润最大. 13．（2026·山东烟台·一模）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率； (2)若为定值，求取最大值时的值； (3)当足够大时，（2）中的近似服从.设，当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为19600，. 【分析】（1）因为单件产品检测合格包含真实合格且检测合格、真实不合格但误判合格两个互斥事件，所以用全概率公式计算，将两个事件的概率相加. （2）因为服从二项分布，所以先写出的表达式，将其看作关于的函数，再利用求函数最值的方法，比如求导或者利用组合数的性质分析函数的单调性，找到取最大值时的值. （3）因为近似服从正态分布，所以先将通过正态分布的标准化转化为标准正态分布的概率不等式，结合参考数据得到关于的不等式，再结合与、的关系，进而估计的最小值及相应的值. 【详解】（1）设“单件产品实际为合格品”为事件，“单件合格品检测为合格”为事件，“单件不合格品误判为合格”为事件，则由全概率公式知， ， 即单件产品的检测结果为合格的概率为. （2）因为每件产品的检测结果相互独立， 所以件产品中检测结果为合格的件数服从二项分布. 当时，. 令，其中，则 令，得，且， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值．因此. （3）由于为随机变量，由（2）可设. 且，所以. 因为，所以 所以， 将代入，整理得. 因为，所以， 由题知，近似服从， 所以，故， 由参考数据，故，解得. 又，所以恒成立. 因为时，取得最大值19600. 所以的最小值为19600，此时. 14．（2026·广东广州·模拟预测）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”.7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准. (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X，求X的分布列和数学期望； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 【答案】(1)分布列见解析，2 (2)预测该同学不能进入决赛. 【分析】（1）确定X的所有可能取值，结合计数原理求得概率，即可求解； （2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，由获得“巧手奖”的概率结合，构造函数，通过求导确定取得最值，再结合二项分布即可求解. 【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为：1，2，3 所以，，， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 所以数学期望. （2）设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为： . ，且，，也即，故可得：， 设， ， 所以在上单调递增， . 所以， 该同学在7轮比赛中获得“巧手奖”的次数， ，故预测该同学不能进入决赛. 题型3：概率统计与立体几何相结合问题 15．（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. (1)求事件“”的概率； (2)求事件“为偶数”的概率； (3)若，求“二面角的平面角大于”的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解； （2）分、均为奇数，、均为偶数两种情况，根据古典概型的概率公式求解； （3）先求证是二面角的平面角，再在、中利用正弦定理得出，进而得出，再分类得出满足条件的样本点个数，最后利用古典概型的概率公式即可. 【详解】（1）由于、是从8个数字中选取两个不同的数字， 若，则有种；若，则有种；依此类推， 可得样本空间的个数为56个， 又因为满足的基本事件有 ，，，，，，，，，，，， 共12个样本点， 根据古典概率知识得：； （2）用表示“、均为奇数”的事件， 若，则有种；若，则有种；依此类推， 可知事件包含12个样本点， 用表示“、均为偶数”的事件，同上可知，事件也包含12个样本点， 又从1∼8个数字中任取两个数字标签贴在C､D顶点的样本空间有56个样本点， 根据古典概率知识得：， 记“为偶数”为事件，则， 故； （3）如图，取边的中点，连结， 因为、均是边长为的正三角形， 所以， 因，平面，因此平面， 因平面，则，从而是二面角的平面角， 又，则， 在中利用正弦定理得，则， 同理在中利用正弦定理得，， 当二面角的平面角大于时，，则， 则， 当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值； 当时，，则可取共三个值； 当时，，则不存在， 从1∼8个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得二面角的平面角大于的样本点有9个，所以. 16．（2026·浙江绍兴·三模）如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行. (1)求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率； (2)在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望； (3)设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据独立事件概率公式计算即可； （2）结合条件概率先求离散型随机变量的分布列再求出数学期望； （3）结合等比数列的通项公式求出. 【详解】（1）记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”， “电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”， “电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”， 则 （2）记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米” 的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为 ， ， ， 用表格表示的分布列为： 2 3 4 ． （3）（，）① ② ②－①得： ， 17．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图，在棱长为4的正四面体中，分别为棱、、上的点，且，，，，. (1)若，. （i）证明：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； (2)若满足，设四面体的体积为随机变量，求的分布列和数学期望.（注：当时，四面体的体积记为）. 【答案】(1)（i）证明见详解（ⅱ）； (2)分布列见详解， 【分析】（1）（i）取中点,由正四面体性质得,证出平面,得；再由中位线得,从而推出. （ⅱ）先求正四面体底面边长、中线与高,确定顶点在底面投影位置；以投影为原点建空间直角坐标系,求出各点坐标,再由线段比例得坐标,算出相关向量；列方程组求平面法向量,利用向量夹角公式算出与法向量夹角余弦,进而得到直线与平面所成角的正弦值. （2）先算出正四面体总体积,利用同高三棱锥体积比等于底面面积比,推出小四面体与原四面体体积比为；再用隔板法与枚举法,求出满足且的整数解共53组.分类讨论体积不为零的正整数：按等于3,4,5拆分组合，算出每种对应体积及情况数，用总数减去非零情况数得到体积为0的情况；列出体积分布列，代入期望公式化简计算，最终求得体积的数学期望为. 【详解】（1）（i）取的中点D，连接，. 在正四面体中，因为是等边三角形，D是的中点，所以， 因为是等边三角形，D是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，，，， 所以S、T分别为、的中点， 所以，所以. （ⅱ）如图D为中点，O为点P在底面的投影，点O在上， 由题意得，，，， 所以， 以O为原点，分别以、、方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以，则， 因为，则分别为棱、的中点， 则，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，即， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）（ⅱ）得正四面体的体积为. 由三棱锥的体积公式和性质，同理可得 ， 所以，，所以，即 整数满足， 方法1：设d为非负整数，的自然数解问题. 设自然数包含，求解的自然数解个数，采用隔板法与去杂法结合计算. 对于方程的自然数解，总个数公式为，，， 代入得总解数:. 若,则只能，这组解不合理； 若,则只能，这组解不合理； 若,则只能。这组解不合理. 题目存在约束条件,存在组不符合要求的自然数解，需从总解数中减去. 共有种. 方法2：时，，共19种； 时，，共15种， 时，，共10种； 时，，共6种； 时，，共3种，即共有种， 当四面体的体积不为0时，为正整数， ①当时，只有种情况， 此时； ②当时，，共有种情况， 此时； ③当时，，共有种情况， 此时， ，共有种情况，此时. 因此，当四面体的体积V为0时，共有种情况， 所以四面体体积V的分布列为 0 故. 18．（2026·四川雅安·二模）如图，已知四面体中，，，，平面平面.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）过作，交于，根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可； （3）分别列举出相互垂直的棱、相互垂直的面和一个面垂直不在此面上的一条棱的基本事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）过作，交于，因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）由（1）得，又平面， 所以平面，因为， 故， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，设， 所以， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得，故为的中点， 所以； （3）6条棱中任选2条，共有种情况，其中相互垂直的棱有5对： ，故， 4个面任选2个面，共有种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面，平面平面，平面平面， 故。 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，故共有种情况， 其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱， 故， 所以． 题型4：概率统计中证明类问题 19．（2026·河北邢台·二模）现有甲、乙两个不透明的盒子中装有若干个除颜色外均相同的小球，起始状态为甲盒中有个红球，个白球，乙盒中有个红球，个白球，，，，．某同学进行取球试验，分三步操作，第一步：从甲盒中随机取出个球放入乙盒中；第二步：从乙盒中随机取出1个球(不放回)并记录颜色；第三步：从乙盒剩下的球中再随机取出1个球.记事件“从甲盒中随机取出个球放入乙盒中”，事件“从甲盒取出的个球中红球的个数为”，事件“第二步取出的球是红球”，事件“第三步取出的球是红球”． (1)若，，，，，求和（注： 表示在事件发生的条件下和同时发生） (2)证明:； (3)在（1）的条件下，当时，该同学试验结束，否则回到起始状态，重新进行下一轮试验.若每轮试验，第一步从甲盒中取出的球中有个红球，则该轮的得分为，求试验结束时该同学总得分的平均值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）按古典概型计算第一步取出个红球的概率；在发生的条件下，乙盒中共有个球，其中个红球，再计算连续两次取出红球的概率． （2）在发生的条件下，乙盒中共有个球，其中红球数为．第二步取红球的概率可直接求得；第三步取红球的概率按第二步是否取到红球分类计算，化简即可得到相等关系． （3）由第（2）问先判断试验结束等价于，再用“本轮得分加下一轮期望”的递推方程求总得分的平均值． 【详解】（1）由超几何分布，． 在条件下，乙盒共有个球，其中红球个，白球个， 故． （2）在发生的条件下，乙盒中红球数为. 总球数为. 所以. 下面计算． 若第二步取到红球，则第三步取到红球的概率为. 若第二步未取到红球，则第三步取到红球的概率为. 又因为在发生的条件下，第二步取到红球的概率为. 第二步未取到红球的概率为. 所以. 因此. （3）在（1）的条件下，，，． 由第（2）问可得. 试验结束的条件为，解得. 又因为第一步取出个球，所以. 故试验结束当且仅当. 第一步从甲盒的个红球、个白球中取个球，取出红球数的各概率为: ； ； ； ； 设试验结束时总得分的平均值为． 若本轮，本轮得分为，试验结束；若本轮， 则本轮得分分别为，之后回到起始状态，下一轮及以后总得分的平均值仍为． 于是. 整理得. 所以，解得. 因此试验结束时该同学总得分的平均值为． 20．（2026·山西吕梁·二模）某奶茶品牌发现旗下一款新品的日销售量与品牌官方小程序的日访问量呈线性相关关系，为提升销量，小程序推出了和两项互动活动，参与互动可领取新品优惠券.该新品日销售量（单位：百杯）与小程序日访问量（单位：万人次）的统计数据如下表： 日访问量/万人次 2 4 5 6 8 日销售量/百杯 3 4 6 5 7 (1)求出关于的回归方程，并预测日访问量为万人次时的日销售量； (2)项活动规则：顾客每次参与都有的概率获得新品优惠券，一旦获得，则活动结束；若未获得，可继续参与；每位顾客共有次参与机会，第次无论获得与否都结束活动.设为顾客参与活动的次数，的数学期望为，证明：； (3)B项活动规则：有张不同的助力卡，编号为，参与者从中随机抽取张，记录编号后放回，再重新随机抽取张，记被重复抽到的助力卡数量为，并向参与者发放张新品优惠券，求使取得最大值时的值. 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1),预测日访问量为万人次时的日销售量为（杯）. (2)证明见解析 (3)时，的概率最大. 【分析】（1）根据公式可求，据此可求预测值； （2）先求出，，利用错位相减法和不等式的性质可证； （3）利用超几何分布可求时，的概率最大. 【详解】（1），， 而， ，故， 而，故回归方程. 当时，， 故预测日访问量为万人次时的日销售量为（杯）. （2）由题设可取， 而，， 此时， ， 所以 ， 故. （3）由题设可取， 而，， ，， ， 故时，的概率最大. 21．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【详解】（1）恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 （2）由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： （3）由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 22．（2026·陕西西安·模拟预测）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作，的数学期望记为． (1)求随机变量，的分布列； (2)设． （i）用含的式子表示； （ii）证明是等比数列，并求． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析， 【分析】（1）按照分布列的步骤进行求解即可； （2）（i）利用条件概率及全概率公式即可求解； （ii）利用（i）中的结论及可得到递推公式，再利用构造法即可得证，进而求出. 【详解】（1）根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 根据题意的可能取值为，   即二次摸球均摸到白球，， 即二次摸球恰好摸到一白一黑球，， 即二次摸球均摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 6 （2）（i）设第次摸球摸到黑球为事件， 则，     ，     ，     所以．     （ii）由（i）及得， ，   所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，     所以，即. 23．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）某人开车从地到地，依次路过编号为，，，的个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿灯且相互独立，记奇数号路口遇到红灯的次数为，偶数号路口遇到红灯的次数为，记事件“”为，的概率为. (1)求，； (2)当. （i）设，求； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii），证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用乘法公式计算概率即可； （2）（i）易知，再根据公式计算； （ii）设随机变量是比少的个数,可取，结合范德蒙恒等式得到，进而得到，设，再计算即可． 【详解】（1）时，，则第1个路口遇到绿灯，第2个路口遇到红灯， ， 时，，则第1个路口遇到绿灯，第2个路口遇到红灯，第3个路口遇到绿灯， ； （2）（i）根据题意，， ； （ii），理由如下： 设随机变量是比少的个数,可取， ， 而， 所以， 所以， 所以， 设，则， 所以， 即． 24．（2026·福建泉州·二模）如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置；若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置．若连续投掷硬币次，并按上述规则移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量．例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即． (1)求，； (2)证明：； (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏最多进行10轮．记游戏结束时的轮数为随机变量，求的分布列，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)分布列见解析，证明见解析 【分析】（1）记为棋子顺时针移动次，为棋子逆时针移动次，则、，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （2）根据、计算概率，即可证明； （3）先分析连续移动6次后的取值情况，即可求出，从而得到随机变量的分布列，再利用错位相减法求出，即可得证. 【详解】（1）记为棋子顺时针移动次，为棋子逆时针移动次， 则与互斥. 所以，； （2）因为， ， 所以. （3）先分析连续移动6次后的取值情况：6次均为顺时针，则； 5次顺时针1次逆时针，则； 次顺时针2次逆时针，则； 3次顺时针3次逆时针，则； 次顺时针4次逆时针，则； 1次顺时针5次逆时针，则； 次逆时针，则. 故. 所以的可能取值为，其中， ； 所以随机变量的分布列如下： 1 2 3 9 10 由. 令， 则． 两式相减，得， 即， 故，又因为，所以. 25．（2026·陕西咸阳·一模）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 【答案】(1) (2)①；②证明见解析，6个 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）①根据相互独立事件的概率公式即可求解，②根据以及相互独立事件的概率公式，利用作差法即可证明，由即可求解无人机最多能挑战6次挑战. 【详解】（1）设事件“分配到低空任务”，则“分配到高空任务”， 事件“在一个阶段中成功完成任务”， 依题意，，，，， 因此， 所以该无人机在一个阶段任务中成功完成任务的概率为. （2）①设事件“该无人机在第个阶段中成功完成任务”，则， 当时，挑战显然不会终止，即， 又各阶段完成任务与否相互独立， 故当时，则第1、2阶段至少成功完成一次，， ， 同理. ②设事件“第个阶段任务结束时挑战仍然未结束”， 当时，第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种： （i）第阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止； （ii）第阶段失败，且第阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止， 因此第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为， 而各阶段任务成功与否相互独立， 因此， 当时，， 当时，，要证数列单调递减，只需证， 即， 当时，，，， 当时，，由于，故. 因此，对于，都有，从而. 当时，, 为单调递减数列. 由当时，，经计算，， 所以该无人机最多能挑战6个阶段的任务. 26．（2026·四川·模拟预测）投掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，回答下列问题. (1)若，在3次投掷试验中，设出现正面的次数为，求的分布列与数学期望； (2)求在次投掷试验中正面出现偶数次的概率； (3)现有甲和乙二人用此不均匀硬币玩掷硬币游戏，规则如下：若出现正面，则甲加一分，乙扣一分，若出现反面，则甲扣一分，乙加一分，当一方分数为0分时游戏结束，另一方获胜.在游戏开始时，甲有分，乙有分，若，证明：不管满足何种关系，最终甲获胜的概率都低于乙获胜的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 . (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据，列出分布列，再求期望； （2）设为次投掷中正面出现偶数次的概率，利用全概率公式得到，转化为，利用等比数列求解； （3）设为甲当前有分，乙有分时，甲最终获胜的概率，由全概率公式得到，转化为，再利用累加法求解. 【详解】（1）由题意可知，， 3次均为反面，即时，， 2次反面1次正面，即时，， 1次反面2次正面，即时，， 3次均为正面，即时，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . （2）设为次投掷中正面出现偶数次的概率， 由全概率公式可得，， 所以， 时，正面次数为0，是偶数，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （3）设为甲当前有分，乙有分时，甲最终获胜的概率. 由题意可知，. 由全概率公式可得，， 变形可得，， 累加可得，，即， 当时，，解得， 所以， 所以在游戏开始时，甲有分，即甲获胜的概率. 因为， 所以甲获胜的概率低于乙获胜的概率. 27．（2026·安徽淮北·二模）已知袋子中共有个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出. (1)求第二次取出的球是红球的概率； (2)若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率； (3)记随机变量为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合知识，即可得答案. （2）根据全概率公式，分析求解，即可得答案. （3）先取得X的取值，求出每个取值的概率，根据期望公式，即可得证. 【详解】（1）记第二次取出的球是红球为事件A，将n个红球的安排情况作为样本空间， 则样本点总数为， 事件A表示第二次取出红球，则其他个红球在剩余的个位置中随机安排， 则事件A包含的样本点数为， 则. （2）记最后一次取出的是黄球为事件B，最后一次取出是蓝球为事件C， 显然事件B、C互斥，记红球最先被取完为事件D，则， 当事件B发生时，只需考虑取出所有蓝球之前红球被取完， 则， 当事件C发生时，只需考虑取出所有黄球之前红球被取完， 则， 所以. （3）由题意得X的取值为， 则随机变量X的分布列为， 所以随机变量X的期望 ， 所以 题型5：概率综合问题 28．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 29．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)； 【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可； （2）依据比赛规则确定随机变量的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望； （3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出与的递推，通过构造等比数列求通项，再对等比数列与常数列分别求和得. 【详解】（1）设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． （2）依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. （3）当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 30．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率； （2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先后和先后两种方案下，治愈天数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案. 【详解】（1）记事件：检测结果阳性，事件：患病， 由题意可知，，，， 所以， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为． （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病S的概率， 则有，． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 则， ， 所以 ． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 同理得， ， 则有 ， 从而有，由此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 31．（2026·湖北武汉·二模）某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为. (1)若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率； (2)为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）. （ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求； （ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：. （参考公式：） 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）转化为古典概率类型，即组合，与均服从集合上的离散型均匀分布，利用列举法，结合古典概率公式求解； （2）（ⅰ）根据公式，再根据（1）的结果，分别求和，即可求解； （ⅱ），分和时，，再代入期望公式求解. 【详解】（1）根据题意，与均服从集合上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择，因此组合的所有可能结果共有种，且每种结果发生的概率相同.设事件为“数据重载”，即.此时可以是，，…，，共种情况.故. 设事件为“顺向传输”，即.在种总情况中，除去的种情况，剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中.由对称性可知，包含的情况数均为种.故. （2）（ⅰ）由于且，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，因此恒等式成立，即.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：.对于离散型均匀分布的随机变量和，其可能的取值为1，2，…，，对应的概率均为. 故. 因此，. （ⅱ）证明：依题意，.所有可能的取值为0，1，2，…，.当时，对应，概率为.当时，满足的站点对有两类组合方式： 第一类，此时为，，…，，共种； 第二类，此时为，，…，，共种； 即有种基本事件组合.所以，. ， 而，因为且，显然. 所以，. 32．（2026·四川宜宾·三模）某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有份产品样本（足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次. (1)现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率； (2)假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为. （i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求p关于k的函数关系式； （ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当时，求p的取值范围并解释其实际意义. 【答案】(1) (2)（i）且；（ii），实际意义见解析 【分析】（1）设恰好经过3次检验就能把不合格产品的样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案； （2）（i）由题得 ，进而根据化简整理得；（ii）易知的可能取值有，则，由得，即，利用导数求出的最大值，即可得出的取值范围，进而即可下结论. 【详解】（1）设恰好经过3次检验能把不合格产品样本全部检验出来为事件A， 所以， 所以恰好经过3次检验就能把不合格产品样本全部检验出来的概率为． （2）（i）由已知得， 的所有可能取值为1，． 所以， 所以， 若，则， 所以，， 所以，即， 所以p关于k的函数关系式为 且). （ii）将份产品样本随机分为组，每组份，则， 的可能取值有， 则， 所以 ， 又，所以， 即，整理得， 两边同时取自然对数，得， 即. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，此时且， 又是的正因数， 所以， 所以，得， 所以，即的取值范围为. 实际意义为：当时，采用混合检验方式的总检验次数的期望不小于逐份检验的总检验次数，说明逐份检验较好. 33．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司举办的活动的互动环节中，设置了一个有趣的摸球游戏，在一个黑箱中，装有个完全相同的小球． (1)若，从中有放回地每次摸取1个小球，记第1次摸出的小球为1号球，继续摸球． （ⅰ）求直到第4次又一次摸出1号球的概率． （ⅱ）记为又一次摸出1号球时摸球的次数，求． (2)若将黑箱中的小球编号为1，2，…，，从中一次性抽取个小球，记录下小球编号后放回并摇匀，再次从中一次性抽取个小球，并记录编号，记表示这两组小球中编号相同的个数，求取得最大值时的值（用含的式子表达）． 附：． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据古典概型的概率公式计算即可．（ⅱ）根据题意求出的概率，根据数学期望的计算公式，结合数列错位相减法求和即可求解； （2）先确定“”的事件总数，再得出表达式．通过，与1比较大小，得到的范围．最后根据是否取整，得出）取最大值时的值． 【详解】（1）（ⅰ）由题意知，第2，3次摸出的是另外一个球，第4次才摸出1号球， 故． （ⅱ）依题意可得，， 则，， 所以， 设，， ， 作差可得， 所以， 又，所以． （2）由题意得，整数满足， 其中． “”所包含的事件总数为，所以． 设，则 ， ， 令解得 则当时，在或处达到最大值； 当时，在表示不超过的最大整数）处达到最大值． 综上，使取得最大值时， 34．（2026·河南洛阳·模拟预测）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)“双败淘汰制”对甲夺冠有利，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算甲获得第四名的概率；分别计算甲打第2、3、4轮的概率，进而利用期望公式计算求解； （2）分别计算单败淘汰制和双败淘汰制下甲夺冠的概率，通过比较概率大小得出结论． 【详解】（1）（ⅰ）记“甲获得第四名”为事件A，则． （ⅱ）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4． 连败两局：． 可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， ， ，故X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率：， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为：， ， “双败淘汰制”对甲夺冠有利． 35．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【答案】(1) (2)，判定规则在正常状态下误判率约4.2%，虽偏低但仍存在误报，基本合理但略偏保守. (3)，元 【分析】（1）根据转化公式化为标准正态分布，根据参考数据利用对称性求解； （2）由题意转化为二项分布，根据二项分布求概率，由结果分析规则的合理性即可； （3）根据二项分布求出对应概率，再由二项分布求期望即可. 【详解】（1）令， 则, 因为， 所以， 即. （2）设为次射门中出现严重失误的次数， 则, 则需要校准的概率, 因为， 所以，， 所以， 在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”， 即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数， 可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感； 若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受. 综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化. （3）机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次， 设为次射门中出现严重失误的次数，则， 则， 因为， , 所以， 设每天校准次数为随机变量，则, 则每天校准次数的期望为次， 所以日均校准成本的期望元，即百元. 36．（2026·广东中山·三模）袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望. (1)当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率； (2)若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题： ①求试验期所摸小球编号之和的数学期望； ②当时，求的最大值以及此时的值. 【答案】(1)； (2)①；②的最大值为，此时. 【分析】（1）根据正难则反的原则和古典概型计算公式即可得到答案； （2）①方法一：求出，再求和即可；方法二：利用组合公式计算即可； ②求出，最后利用基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂， 则. （2）①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，记这个编号的和为， 则， 先求第次摸到的球的编号为的数学期望， 的所有可能的取值为：， 根据无放回随机抽样的特点，， 所以， 所以， 方法2：从1，2，中选个数共有种组合， 考虑所有元子集，它们的和的平均值即为试验期所摸小球编号之和的数学期望， 对每个数，它在所有元子集中出现的次数为， 所有元子集的总和为， 所以所求期望为：. ②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数即为，则， 所有可能的取值为：， 则， 所以， 因为， 所以， 所以， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，此时. 37．（2026·山西太原·二模）如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出. (1)求； (2)用表示； (3)某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）. 附：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先得出，然后再根据全概率公式即可求解； （2）首先根据全概率公式求出，，三个式子联立结合即可求解； （3）根据题目提示构造可得的递推公式，然后求出方程的复数根即可求解. 【详解】（1）由题意得， ， ， ， . （2）由题意可得， ，且， ， ， 又 ， ， . （3）由（2）得，设， 则，且， 由方程的根为， 可得， 则， . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率与统计(压轴) 题型1：概率统计与数列相结合问题 题型2：概率统计与导数相结合问题 题型3：概率统计与立体几何相结合问题 题型4：概率统计中证明类问题 题型5：概率综合问题 题型1：概率统计与数列相结合问题 1．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 2．（2026·河北沧州·模拟预测）甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. (1)射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. (2)新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 3．（2026·四川广元·三模）某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． (1)求，； (2)求； (3)该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 4．（2026·湖北鄂州·模拟预测）一个不透明的口袋中放有完全相同的2个红球、2个黄球．现每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后又放回口袋中． (1)若摸球10次，求摸到红球个数的期望； (2)若连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球．记恰好第次摸球时结束的概率为． （i）求； （ii）求． 5．（2026·福建宁德·模拟预测）某答题闯关游戏，开始时，先给每位参加者赋分3分，并规定：每答一题，答对加1分，否则减1分；当积分为6分时，闯关成功并结束游戏；当积分为0分时，闯关失败，也结束游戏.甲同学参加该游戏，假如他答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记游戏结束时甲的答题数为. (1)证明：为奇数； (2)当为奇数时，记甲答完第题时积分为4分、2分的概率分别为，，证明：； (3)求的分布列. 6．（2026·河北·模拟预测）甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为，，．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击． (1)前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； (2)若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为，，． ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为，求． 7．（2026·江苏·模拟预测）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. (1)求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； (2)求随机变量的分布列； (3)证明：. 8．（2026·陕西西安·模拟预测）某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点，初始时有2个节点在线（假设在线的不再宕机），3个为宕机（停摆，不能正常工作），每个月系统随机等概率地巡查1个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护，用表示第n个月后在线节点数，表示其数学期望， (1)当时，求； (2)证明：． 题型2：概率统计与导数相结合问题 9．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 10．（2026·广西·模拟预测）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 11．（2026·贵州遵义·模拟预测）某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规则如下： 环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务，每项任务最多执行一次，每项任务执行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下： 任务 单次执行成功率 0.9 0.5 0.8 任务成功后得分/分 10 25 15 环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标服从正态分布，企业自主设定指标阈值，当时，模型成功商用，收益为万元：当时，模型不可商用，收益为万元：若未进入性能测试，则收益为万元. (1)求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序； (2)记，两个环节结束后模型总收益的数学期望为. （i）在第（1）问的执行顺序下，请用和表示； （ii）求当为何值时，取得最大值. 参考数据：当时，. 12．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 13．（2026·山东烟台·一模）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率； (2)若为定值，求取最大值时的值； (3)当足够大时，（2）中的近似服从.设，当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 14．（2026·广东广州·模拟预测）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”.7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖”的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准. (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品中符合入选标准的幅数为X，求X的分布列和数学期望； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率不减小且共增加了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 题型3：概率统计与立体几何相结合问题 15．（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. (1)求事件“”的概率； (2)求事件“为偶数”的概率； (3)若，求“二面角的平面角大于”的概率. 16．（2026·浙江绍兴·三模）如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行. (1)求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率； (2)在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望； (3)设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）. 17．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图，在棱长为4的正四面体中，分别为棱、、上的点，且，，，，. (1)若，. （i）证明：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； (2)若满足，设四面体的体积为随机变量，求的分布列和数学期望.（注：当时，四面体的体积记为）. 18．（2026·四川雅安·二模）如图，已知四面体中，，，，平面平面.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小. 题型4：概率统计中证明类问题 19．（2026·河北邢台·二模）现有甲、乙两个不透明的盒子中装有若干个除颜色外均相同的小球，起始状态为甲盒中有个红球，个白球，乙盒中有个红球，个白球，，，，．某同学进行取球试验，分三步操作，第一步：从甲盒中随机取出个球放入乙盒中；第二步：从乙盒中随机取出1个球(不放回)并记录颜色；第三步：从乙盒剩下的球中再随机取出1个球.记事件“从甲盒中随机取出个球放入乙盒中”，事件“从甲盒取出的个球中红球的个数为”，事件“第二步取出的球是红球”，事件“第三步取出的球是红球”． (1)若，，，，，求和（注： 表示在事件发生的条件下和同时发生） (2)证明:； (3)在（1）的条件下，当时，该同学试验结束，否则回到起始状态，重新进行下一轮试验.若每轮试验，第一步从甲盒中取出的球中有个红球，则该轮的得分为，求试验结束时该同学总得分的平均值． 20．（2026·山西吕梁·二模）某奶茶品牌发现旗下一款新品的日销售量与品牌官方小程序的日访问量呈线性相关关系，为提升销量，小程序推出了和两项互动活动，参与互动可领取新品优惠券.该新品日销售量（单位：百杯）与小程序日访问量（单位：万人次）的统计数据如下表： 日访问量/万人次 2 4 5 6 8 日销售量/百杯 3 4 6 5 7 (1)求出关于的回归方程，并预测日访问量为万人次时的日销售量； (2)项活动规则：顾客每次参与都有的概率获得新品优惠券，一旦获得，则活动结束；若未获得，可继续参与；每位顾客共有次参与机会，第次无论获得与否都结束活动.设为顾客参与活动的次数，的数学期望为，证明：； (3)B项活动规则：有张不同的助力卡，编号为，参与者从中随机抽取张，记录编号后放回，再重新随机抽取张，记被重复抽到的助力卡数量为，并向参与者发放张新品优惠券，求使取得最大值时的值. 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 21．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 22．（2026·陕西西安·模拟预测）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作，的数学期望记为． (1)求随机变量，的分布列； (2)设． （i）用含的式子表示； （ii）证明是等比数列，并求． 23．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）某人开车从地到地，依次路过编号为，，，的个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿灯且相互独立，记奇数号路口遇到红灯的次数为，偶数号路口遇到红灯的次数为，记事件“”为，的概率为. (1)求，； (2)当. （i）设，求； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 24．（2026·福建泉州·二模）如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置；若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置．若连续投掷硬币次，并按上述规则移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量．例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移动到数字1处，即． (1)求，； (2)证明：； (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮，游戏最多进行10轮．记游戏结束时的轮数为随机变量，求的分布列，并证明． 25．（2026·陕西咸阳·一模）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 26．（2026·四川·模拟预测）投掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，回答下列问题. (1)若，在3次投掷试验中，设出现正面的次数为，求的分布列与数学期望； (2)求在次投掷试验中正面出现偶数次的概率； (3)现有甲和乙二人用此不均匀硬币玩掷硬币游戏，规则如下：若出现正面，则甲加一分，乙扣一分，若出现反面，则甲扣一分，乙加一分，当一方分数为0分时游戏结束，另一方获胜.在游戏开始时，甲有分，乙有分，若，证明：不管满足何种关系，最终甲获胜的概率都低于乙获胜的概率. 27．（2026·安徽淮北·二模）已知袋子中共有个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出. (1)求第二次取出的球是红球的概率； (2)若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率； (3)记随机变量为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：. 题型5：概率综合问题 28．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 29．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 30．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 31．（2026·湖北武汉·二模）某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为. (1)若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率； (2)为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）. （ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求； （ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：. （参考公式：） 32．（2026·四川宜宾·三模）某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有份产品样本（足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次. (1)现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率； (2)假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为. （i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求p关于k的函数关系式； （ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当时，求p的取值范围并解释其实际意义. 33．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司举办的活动的互动环节中，设置了一个有趣的摸球游戏，在一个黑箱中，装有个完全相同的小球． (1)若，从中有放回地每次摸取1个小球，记第1次摸出的小球为1号球，继续摸球． （ⅰ）求直到第4次又一次摸出1号球的概率． （ⅱ）记为又一次摸出1号球时摸球的次数，求． (2)若将黑箱中的小球编号为1，2，…，，从中一次性抽取个小球，记录下小球编号后放回并摇匀，再次从中一次性抽取个小球，并记录编号，记表示这两组小球中编号相同的个数，求取得最大值时的值（用含的式子表达）． 附：． 34．（2026·河南洛阳·模拟预测）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． (1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 35．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 36．（2026·广东中山·三模）袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望. (1)当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率； (2)若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题： ①求试验期所摸小球编号之和的数学期望； ②当时，求的最大值以及此时的值. 37．（2026·山西太原·二模）如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下： ①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人； ②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球. 设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出. (1)求； (2)用表示； (3)某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）. 附：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $