精品解析：山东济南市历城第二中学2026届高三下学期学情自测数学试题

2026年济南市历城第二中学三模考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试时间；2026年5月7日13：00-15：00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则 A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 6. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 9. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. 关于z的方程有解 D. 若复数w满足，则 10. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知函数，若，则____________． 12. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数____________. 13. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 15. 已知函数. （1）当，，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若对任意，均有，求的值； （3）假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为，若其次投篮全部命中的概率为，证明：. 18. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点． （1）设是“果圆”的半椭圆上任意一点，且，．求证：当取得最小值时，在点处； （2）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年济南市历城第二中学三模考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试时间；2026年5月7日13：00-15：00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解确定，再由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 2. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 4. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 5. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 6. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【解析】 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误； 令，求导后放缩得单调性后可得D正确. 【详解】对于A，令，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故A错误； 对于B，令，，则， 所以在上单调递增，即，故B错误； 对于C，因为，令时，， ， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，，则， 由三角函数线可得当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增，，， 即，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用回归方程判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图象的波动性判断CD. 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：，由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确． 故选：ABD 9. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. 关于z的方程有解 D. 若复数w满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，根据可得，故在双曲线上，由双曲线的性质可判断ABC的正误，根据三角形不等式可判断D的正误. 【详解】设，则， 整理得， 故即， 故在双曲线上，焦点坐标为实半轴长为， 故表示到两个焦点的距离差的绝对值， 故，故A正确； 即为到原点的距离，故大于等于实半轴长，故，故B成立， 对于C，由可得，而， 故，而，故矛盾，故C错误； 对于D，因为即为到原点的距离，由B的分析可得， 而，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、.  当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、.  当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足.  同理，中含个元素的子集也不满足.  综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确.   若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确.   若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为.  又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确.   故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知函数，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 12. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 13. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得出运用通项公式求解即可． （2）由（1）可得.对n分类讨论“裂项相消求和”即可得出. 【详解】（1）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列． ∴Sn＝na1+n（n﹣1） （2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1； （2）∵由（1）可得， 当n为偶数时，Tn＝ ． 当n为奇数时， ． ． 【点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题． 15. 已知函数. （1）当，，求函数在处的切线方程； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【小问1详解】 当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， 【小问2详解】 函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为平面，平面， 所以， 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得. 【小问2详解】 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积公式和性质， 得，所以. 【小问3详解】 由上可知：，取的中点，显然， 因为平面，平面， 所以， 因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即 设平面的法向量为， ， 所以， 所以取该平面的一个法向量为， 设直线BC与平面PAB所成角为， 所以. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若对任意，均有，求的值； （3）假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为，若其次投篮全部命中的概率为，证明：. 【答案】（1）当时，函数在为减函数； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）； （3）由题意可得， 由（2）可知，当时，，即， 所以，，因此，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）由已知可得，利用（1）中的结论可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的值； （3）由（2）可得出，令可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 若，则对任意的恒成立，此时函数在为减函数； 若，由可得，由可得. 此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数在为减函数； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 当时，函数在上为减函数，且， 则当时，，不合乎题意； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ， 令，可得，即， 令，其中，. 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 所以，，则，由，所以，，解得； 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况； （3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较. 18. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点． （1）设是“果圆”的半椭圆上任意一点，且，．求证：当取得最小值时，在点处； （2）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 是“果圆”的半椭圆上任意一点，所以， ，所以，所以. 设， ， 二次函数的开口向下，对称轴为， 由于，所以当时，取得最小值， 此时，即在点处. （2） 若,点的横坐标是； 若,点的横坐标是或. （3）存在； 【解析】 【分析】（1）先求得，然后设出点的坐标，再根据两点间的距离公式来求得正确答案. （2）先求得，然后设出点的坐标，再根据两点间的距离公式来求得正确答案. （3）先证明斜率相同的椭圆的弦的中点在定直线上，据此可判断“果圆”平行弦的中点轨迹是否落在某个椭圆上. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 半椭圆，对应， 半椭圆，对应，则， 当在半椭圆上时，设， 则 ， ，，， 二次函数的开口向下， 由于，所以当或时取得最小值， 当时，， ①， 当时，，②. 所以当取得最小值时，在或或处， ,设， 且和同时位于"果圆"的半椭圆和半椭圆上， 只需研究位于"果圆"的半椭圆上的情形即可. ， 当,即时,的最小值在时取到,此时的横坐标是. 当,即时, 由于在时是递减的,的最小值在时取到,此时的横坐标是. 综上所述,若,当取得最小值时,点的横坐标是； 若,当取得最小值时,点的横坐标是或. 【小问3详解】 我们证明一个结论： 若斜率为的直线与椭圆交于两点，则中点的轨迹在直线上, 证明：设，它们的中点为， 则且， 从而，故， 故，故中点在直线上. 对于“果园”的弦的中点， 若斜率，则设直线， 它与“果圆”的交点是，， 弦的中点满足， 消去可得弦的中点轨迹方程是， 而， 即，所以，若“果圆”弦所在直线的斜率为0，则平行弦中点轨迹是椭圆. 若“果圆”弦的斜率，则可平移过程总存在无数条斜率为的直线与“果园”的左半椭圆相交，由前述证明的结论，此时中点在直线上， 故平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 综上，斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹落在某个椭圆上. 斜率时，“果圆” 平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $