陕西2026年中考数学第14题填空题将军饮马专题

陕西中考压轴题之将军饮马几何模型1 1．如图，在四边形中，，，，连接，则的最小值为_________． 2．如图，在矩形中，，，E是射线上一点，F是射线上一点，且，连接，交于点G，连接，当的值最小时，的面积为__________． 3.如图，已知正方形ABCD中，AB＝6，点E是边AD的中点，点P是边CD上的动点，点Q是正方形内一动点，且满足∠BQC＝90°，则PE＋PQ的最小值是_____． 4．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是_____．    5．如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______． 6．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是_______．    7．如图，边长为2的正方形ABCD中，点是其内部一点，且满足∠DAE+∠CBE=135°，点F为边BC上一点，点M是CD边的中点，连接EF、FM，则EF+FM的最小值为______________． 8．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____． 9．如图，四边形中，，，，，，为中点，为四边形内一点，，、分别为、上任意一点，的最小值为______． 10. 如图，线段长为6，点C是线段上一动点（不与A，B重合），分别以和为斜边，在的同侧作等腰直角三角形，，连接，点P是的中点．连接，则的最小值为___________． 11．如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为______． 11.菱形中，，点为上一点且，，点为所在直线上一点，连接、，当取得最大值时，的长为______． 12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为______． 13. 如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 14.如图，在中，，，，动点在内，且使得的面积为3，点为的中点，则的最小值为________． 15．如图，等腰的底边，面积为，点是边上的一个动点，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则的最小值为_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为______． 17．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 18．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当_____时，四边形的周长最小． 参考答案 1． 【分析】连接，作于点，过点作的平行线，延长交直线于点，延长到点，使，则点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接，求得的最小值为的长，作交延长线于点，据此计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， 作于点，过点作的平行线，延长交直线于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 延长到点，使，则点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接，则， ∴的最小值为， 作交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 2．/7.5/ 【分析】通过构造辅助线，先证得四边形、是矩形，再证得，结合已知条件求得，的值，进而得到的值，利用对称的性质得到，，当点，G，C三点共线时，得出有最小值，再证明，利用相似三角形的性质求得的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果． 【详解】解：如图，过点G作，延长交于点M，过点G作， 则， 在矩形中，，， ∴四边形、是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 作点B关于点P的对称点，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴当点，G，C三点共线时，的值最小，此时最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．/ 【分析】利用圆周角定理可判断Q点在以BC为直径的圆上，作E点关于CD的对称点F，连接OF交⊙O于Q，交CD于P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PE+PQ的值最小，连接OE，如图，然后计算FQ的长得到PE+PQ的最小值． 【详解】解：∵∠BQC＝90°， ∴Q点在以BC为直径的圆上， 作E点关于CD的对称点F，连接OF交⊙O于Q，交CD于P，如图， ∵PE+PQ＝PF+PQ＝FQ＝OF﹣OQ， ∴此时PE+PQ的值最小， 连接OE，如上图， ∵E点为AD的中点， ∴OE⊥AD， 在Rt△OEF中，∵OE＝AB＝6，EF＝2DE＝6， ∴OF＝OE＝， ∴FQ＝， 即PE+PQ的最小值是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了正方形的性质和最短路径问题． 4．3 【分析】作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，   四边形是菱形，，， ，， 、是等边三角形 ， ∴， ， ， ， ，，在一条直线上， 由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小， ∵，、的半径分别为2和1， ，， 的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键 5． 【分析】过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，由正方形性质可得，，，则有四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，然后证明，，可得，由，要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点， ∴， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为． 6． 【分析】过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点，利用全等三角形得出，得到当点共线时，的值最小，即为线段的长度，然后解直角三角形即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴ 根据翻折的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，的值最小，即为线段的长度， ∵， 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴， 即的最小值为． 7. 【分析】如图，作过A、B、E三点的圆，圆心为O，在优弧上任取一点N，连接OA、OB、AN、BN，作OG⊥AB于G，连接MG，作点M关于BC的对称点H，连接CH，OH，交⊙O于E′，交BC于F，由正方形的性质可求出∠AEB=135°，根据圆周角定理可得点E在劣弧AB上，可得HE′为HE的最小值，根据轴对称的性质可得FH=FM，可得E′F+FH=E′F+FN=E′H，即可得出E′H是EF+FM的最小值，根据圆内接四边形的性质可得∠ANB=45°，即可得出∠AOB=90°，可得△AOB是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得点G为AB中点，进而可得O、G、M三点在一条直线上，根据正方形和等腰直角三角形的性质可求出OB、OG、MH的长，利用勾股定理可求出OH的长，进而求出E′H的长即可得答案． 【详解】解：如图，作过A、B、E三点的圆，圆心为O，在优弧上任取一点N，连接OA、OB、AN、BN，作OG⊥AB于G，连接MG，作点M关于BC的对称点H，连接CH，OH，交⊙O于E′，交BC于F， ∵四边形ABCD是正方形，DAE+∠CBE=135°， ∴AD//BC，∠BAD+∠ABC=180°， ∴∠BAE+∠ABE=180°-135°=45°， ∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=135°， ∴点E在上， ∵四边形AEBN是⊙O的内接四边形， ∴∠ANB=45°， ∵∠ANB和∠AOB分别是所对的圆周角和圆心角， ∴∠AOB=2∠ANB=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OB=AB=， ∵OG⊥AB， ∴OG=AG=BG=AB=1， ∵点M为CD中点， ∴GM//BC，GM=BC=2， ∴∠BGM=180°-90°=90°， ∴O、G、M三点在一条直线上，即OM=OG+GM=3， ∵AB//CD， ∴OM⊥CD， ∵点O为圆心， ∴E′H为点H到⊙O的距离的最小值， ∵点H与点M关于CD对称， ∴FM=FH，CH=CM=1， ∴MH=2， ∴E′F+FH=E′F+FN=E′H， ∴出E′H是EF+FM的最小值， ∵OE′=OB， ∴E′H=OH-OE′=-OE′==． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得出点E在，进而确定点E的位置，根据轴对称的性质得出EH′是EF+FM的最小值是解题关键． 8.2-2 【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值． 【详解】如图： 取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆， 连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E， 由以上作图可知，BG⊥EC于G， PD+PG=PD′+PG=D′G， 由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小， ∵D′C’=4，OC′=6， ∴D′O=， ∴D′G=-2， ∴PD+PG的最小值为-2， 故答案为-2. 【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短. 9．5 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，根据对称性有，，，，证明≌，推出点的轨迹，可知当、、、四点共线且时，最短，再通过计算即可解题． 【详解】解：如图，过点作交于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∵， ∴， ∴； 作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点交延长线于，交于， 连接、、、， 则根据对称性有，，，， 在与中， ∴≌， ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动； ∵、分别为、上任意一点， 由对称性有， ∴， 由图可知当、、、四点共线且时，最短， 即此时有最小值，最小值为的长； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 同理可得也是等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ∴，， ∴， 此时， 即的最小值为． 故答案为：5 ． 10. 【分析】本题主要考查轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，延长交于点，得，证明四边形是矩形，可知点的运动轨迹是的中位线，作点关于直线的对称点，则，连接，则有，当三点共线时，最小，最小值为，即的最小值为，在中由勾股定理可求出． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， 延长交于点，连接，则，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴交于点， 当点重合时，点为的中点，当点重合时，点为的中点， ∴点的运动轨迹是的中位线， 作点关于直线的对称点，连接，则，连接，则有， 当三点共线时，最小，最小值为，即的最小值为， 作于点，则, ∴， 在中，． 即的最小值为， 故答案为：． 11. 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系．作A关于的对称点F，根据对称的性质以及三角形三边关系可知，当P，C，F共线时，最小，作直线，分别交，于G，H，作垂直平分线交于M，根据三角形内角和、对称的性质可以得到角的直角三角形，再求出的长，可得，即，从而得到，，从而得到，进而得到，过点B作于点K，则为等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：作A关于的对称点F，连接，，如图： ∴， ∴， ∴当P，C，F共线时，最小， 作直线，交延长线于G，交于H，作垂直平分线，交于M， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 过点B作于点K，则为等腰直角三角形， ∴， ∴． 12． 【分析】如图，连接PO并延长交BC于点E．当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值．过点E作EF⊥AD于点F，利用勾股定理，可得结论． 【详解】解：连接PO并延长交BC于点E．如图， 当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PE-OE=PO． 在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，AP=2， ∴AP∥CE，AO=OC， ∴∠PAO=∠ECO，∠AOP=∠COE， ∴△PAO≌△ECO， ∴EC= AP=2，PO=OE=PE， 过点E作EF⊥AD于点F， 在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°， ∴四边形EFDC为矩形， ∴DF=CE=2，EF=CD=AB=4， ∴PF=AD-AP-FD=2， ∴PE=2， ∴PO=OE=PE=， ∴PQ−OQ的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，推出当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PO的长是解题的关键． 13. 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， 如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 14. 【分析】如图，过点P作交于点E，交于点F，勾股定理求出，然后利用三角形面积求出，得到点P在线段上运动，作点B关于的对称点H，连接，，，过点作于点G，如图，当点H、P、Q在同一直线上，的值最小，为的长度，然后利用相似三角形的性质求出，，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点P作交于点E，交于点F， ∵， ，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴点P在线段上运动，作点B关于的对称点H，连接，，，过点作于点G，如图， ∴ ∴ ∴当点H、P、Q在同一直线上，的值最小，为的长度， ∵，， ∴ ∴ ∵点为的中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 15． 【分析】如图作于，连接，由垂直平分线段，推出，推出， 可得当共线时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】解：如图作于，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当共线时，最小值就是线段的长， ∵， ∴， 根据垂线段最短， ∴当时最小， ∴的值最小为． 16． 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，在上截取，连接，易得四边形为平行四边形，进而得到，根据为定值，得到当最小时，四边形的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，得到，即当三点共线时，最小，四边形的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴，的长为定值， 在上截取，连接，则：，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形的周长，且的长为定值， ∴当最小时，四边形的周长最小， 作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵ ∴当三点共线时，最小，四边形的周长最小， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，； ∴； 故答案为：． 17． 【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，    ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 18．4 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：4． 学科网（北京）股份有限公司 $