第6单元 快乐足球——比例尺（知识清单）数学青岛版五四制五年级下册

第6单元 快乐足球——比例尺 知识清单 一、比例尺的意义 1.定义：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2.核心公式：比例尺 = 图上距离 : 实际距离（或 比例尺 = ） 3.意义解读：比例尺是一个无单位的比，用来表示图上距离与实际距离的缩放关系。例如比例尺1:500000，代表图上1厘米对应实际500000厘米（即5千米），实际距离是图上距离的500000倍。 二、比例尺的分类 1.数值比例尺 形式：用数字比或分数形式表示，如1:1000、 、5:1等。 细分类型： ① 缩小比例尺：前项为1，如1:5000，常用于地图、建筑平面图等场景，图上距离小于实际距离。 ② 放大比例尺：后项为1，如8:1，多用于精密机械零件图纸，图上距离大于实际距离。 2.线段比例尺 形式：用带刻度的线段直观展示图上距离与实际距离的对应关系。 示例：“0 30 60 90千米”，表示图上1厘米对应实际30千米，可转化为数值比例尺1:3000000（单位换算：30千米=3000000厘米）。 三、比例尺的相关计算 1.已知图上距离和实际距离，求比例尺 解题步骤：①统一单位（通常统一为厘米）；②代入公式化简为最简整数比。 典型例题：一张地图上，2厘米的线段代表实际100千米的距离，求这幅地图的比例尺。 解：100千米=10000000厘米，比例尺=2:10000000=1:5000000。 2.已知比例尺和实际距离，求图上距离 核心公式：图上距离 = 实际距离 × 比例尺 典型例题：实际距离600米，比例尺为1:1500，求对应的图上距离。 解：600米=60000厘米，图上距离=60000× 0=40厘米。 3.已知比例尺和图上距离，求实际距离 核心公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 典型例题：图上距离4厘米，比例尺为1:40000，求对应的实际距离。 解：实际距离=4÷ =160000厘米=1600米。 四、比例尺的实际应用 1.地图中两地实际距离计算 方法：先量出两地间的图上距离，再结合比例尺公式计算实际距离。 例题：在比例尺为1:2000000的地图上，量得A、B两地的图上距离是6厘米，求A、B两地的实际距离。 解：实际距离=6÷ =12000000厘米=120千米。 2.按比例尺绘制平面图 步骤：①确定实际物体的尺寸；②根据比例尺计算图上距离；③按照图上距离精准绘制图形。 例题：要绘制长40米、宽20米的教室平面图，选用比例尺1:1000，求平面图的长和宽。 解：图上长=40米× =0.04米=4厘米，图上宽=20米× =2厘米，绘制长4厘米、宽2厘米的长方形即可。 3.比例尺与行程、工程问题结合 例题：在比例尺为1:5000000的地图上，甲、乙两地的图上距离是7厘米，一辆汽车以70千米/时的速度从甲地开往乙地，需要行驶多长时间？ 解：实际距离=7÷ =35000000厘米=350千米，行驶时间=350÷70=5小时。 五、易错点与注意事项 1.单位统一：计算时必须将图上距离和实际距离的单位统一，常见单位换算：1千米=100000厘米，1米=100厘米。 2.比例尺顺序：比例尺是“图上距离:实际距离”，不可随意颠倒，只有放大比例尺是后项为1，缩小比例尺前项为1。 3.线段比例尺转化：先明确线段上1厘米对应的实际距离，再通过单位换算转化为数值比例尺。 4.概念区分：注意区分“缩小比例尺”和“放大比例尺”，避免在精密零件、地图等场景中用错。 5.结果处理：实际应用题中，可根据题目要求对计算结果取近似值，如四舍五入到整千米、整米等。 题型1：比例尺的意义 【例1】实际120千米的路程，在这幅地图上应画( )厘米。 【答案】8 【分析】由图可知，图上距离1厘米表示实际距离15千米，所以这幅地图的比例尺为1∶1500000，根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据计算即可解答。 【详解】15千米＝1500000厘米 所以这幅地图的比例尺为：1∶1500000 120千米＝12000000厘米 12000000×＝8（厘米） 所以，在这幅地图上应画8厘米。 【练1】一块长方形空地长300米，在平面图上量得它的长是3厘米。这个平面图比例尺是1∶100。( ) 【答案】× 【分析】已知长方形空地的长是300米，在平面图上量得长是3厘米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1米＝100厘米”，即可求出这个平面图的比例尺。 【详解】3厘米∶300米 ＝3厘米∶（300×100）厘米 ＝3∶30000 ＝（3÷3）∶（30000÷3） ＝1∶10000 这个平面图比例尺是1∶10000。 原题说法错误。 故答案为：× 题型2：图上距离与实际距离的换算 【例2】两地相距80千米，画在比例尺是1∶400000的地图上，应该画( )厘米。 【答案】20 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，进行换算即可。 【详解】80千米＝8000000厘米 8000000÷400000＝20（厘米） 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法。 【练2】看图，先算出小梅家和小芳家的图上距离，再按要求在下图中标出两家的位置。 （1）小梅家在学校正南方向约300米处； （2）小芳家在学校北偏西30°约400米处。 【答案】见详解 【分析】根据实际距离×比例尺＝图上距离，先算出图上距离，弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 【详解】300米＝30000厘米，400米＝40000厘米 30000÷20000＝1.5（厘米） 40000÷20000＝2（厘米） 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。 题型3：比例尺的应用 【例3】在比例尺是1∶50000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3.4厘米。一架飞机上午11时从甲地飞往乙地，下午1时到达，这架飞机平均每小时飞行多少千米？ 【答案】850千米 【分析】已知甲、乙两地的图上距离和比例尺，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙两地的实际距离； 又已知一架飞机上午11时从甲地起飞，下午1时到达乙地，可知飞行了2小时；根据“路程÷时间＝速度”，即可求出这架飞机的飞行速度。 【详解】3.4÷ ＝3.4×50000000 ＝170000000（厘米） 170000000厘米＝1700（千米） 下午1时＝13时 13－11＝2（小时） 1700÷2＝850（千米） 答：这架飞机平均每小时飞行850千米。 【点睛】本题考查比例尺的应用和行程问题，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 【练3】在标有的地图上，量得南京到上海的距离为8厘米。暑假期间家住南京的李磊同学全家开车前往上海，早上6：00出发，到达第一个收费站时已经行了160千米，李磊的爸爸看了看手表，此时刚好是8：00，照这样的速度，他们9：50能到达上海吗？ 【答案】不能，行驶全程要4小时，要10：00到达 【分析】根据比例尺可知图上1厘米表示实际距离40千米，所以用40×8可求出南京到上海的实际距离，又知2小时行了160千米，所以可求出汽车的速度，用南京到上海的实际距离除以汽车的速度就是行完全程所需要的时间，再与计划时间比较得解。 【详解】40×8＝320（千米） 160÷（8－6） ＝160÷2 ＝80（千米/时） 320÷80＝4（小时） 6时＋4时＝10时 答：不能，行驶全程要4小时，要10：00到达。 【点睛】本题考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及行程问题中的基本数量关系“路程÷速度＝时间”。 题型4：应用比例尺画图 【例4】少年宫在丁丁家北面1.5千米处，乐乐家在少年宫西面2千米处。 （1）在图中分别标出少年宫和乐乐家的位置。 （2）量出丁丁家到乐乐家的图上距离，计算出丁丁家到乐乐家大约有多少千米？（写出计算过程） 【答案】（1）见详解 （2）2.5千米 【分析】（1）根据上北下南左西右东，确定方向，观察线段比例尺，图上1厘米表示实际500米，根据1千米＝1000米，统一单位，图上距离＝实际距离÷1厘米表示的实际距离，据此换算出图上距离，作图即可。 （2）根据长度的测量方法，用直尺测量出丁丁家到乐乐家的图上距离，图上距离×1厘米表示的实际距离＝实际距离，根据1千米＝1000米，统一单位即可。 【详解】（1）1.5千米＝1500米，2千米＝2000米 1500÷500＝3（厘米） 2000÷500＝4（厘米） （2）测量可知丁丁家到乐乐家的图上距离是5厘米。 5×500＝2500（米）＝2.5（千米） 答：丁丁家到乐乐家大约有2.5千米。 【练4】下图是以学校为观测点所画的示意图。 （1）张明家在学校（    ）偏（    ）（    ）°方向的（    ）米处。 （2）小华家在学校南偏西60°方向的1000米处，请在图中表示出他家的位置。 【答案】（1）西；北；45；500 （2）见详解 【分析】（1）根据：上北下南左西右东，张明家在学校左上角，经测量张明家在学校西偏北45°（或北偏西45°），图上距离1厘米，结合比例尺：图上1厘米实际500米，可知实际长度为500米； （2）根据比例尺，实际1000米在图上表示是2厘米，在学校南偏西60°的位置画出2厘米的线段，标出小华家即可； 【详解】（1）张明家在学校（西）偏（北）（45）°方向的（500）米处。 （2）小华家的位置作图如下： 【点睛】此题考查了比例尺的应用以及位置与方向的知识，关键熟记描述位置的方法。 题型5：图形的放大与缩小 【例5】按要求画图。 （1）将三角形向下平移4格，再向右平移3格，画出平移后的图形。 （2）根据给定的对称轴画出原三角形的轴对称图形。 （3）在空白处按2∶1的比例画出原三角形放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）根据平移的特征，图形的形状、大小不变，只是位置改变。向下平移4格：把三角形的三个顶点A、B、C分别向下移动4格，得到新顶点。再向右平移3格：把向下平移后的三个顶点再分别向右移动3格，然后连接这三个新顶点，得到平移后的图形。 （2）轴对称图形的特征是对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴。找到原三角形三个顶点A、B、C关于对称轴的对称点，再连接这些对称点。 （3）图形放大的特征是对应边按比例放大，对应角大小不变。原三角形的直角边AB长度为8－5＝3格，BC长度为6－4＝2格。按2∶1放大后，AB长度为3×2＝6格，BC长度为2×2＝4格。确定放大后三角形的顶点位置，再画图。 【详解】（1）（2）（3）见下图： 【练5】操作。 （1）用数对表示图中长方形顶点A的位置为（    ）；如果将长方形向上平移a格，平移后顶点A的位置为（    ）；如果将原长方形向右平移b格，平移后顶点A的位置为（    ）。 （2）按2∶1的比画出长方形放大后的图形。 【答案】（1）（2，4）；（2，4＋a）；（2＋b，4） （2）见详解 【分析】（1）数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可标出原长方形顶点A的位置；将长方形向上平移a格，列不变，行增加a；将长方形向右平移b格，列增加b，行不变； （2）原长方形的长是3格，宽是2格，按2∶1的比把长方形放大后，长是6格，宽是4格，据此解答。 【详解】（1）根据解析可知，用数对表示图中长方形顶点A的位置为（2，4）；如果将长方形向上平移a格，平移后顶点A的位置为（2，4＋a）；如果将原长方形向右平移b格，平移后顶点A的位置为（2＋b，4）； （2）按2∶1的比画出长方形放大后的图形如图： 题型6：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【例6】将边长是2cm的正方形按3∶1的比放大，放大后的面积是（    ）。 A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】D 【分析】根据题意，将边长是2cm的正方形按3∶1的比放大，即放大后的正方形边长为（cm），根据正方形的面积公式，即可求出放大后正方形的面积，据此解答。 【详解】边长：（cm） 面积：（cm2） 将边长是2cm的正方形按3∶1的比放大，放大后的面积是36cm2。 故答案为：D 【练6】一个上底与下底的和是12cm、高是9cm的梯形，先按4∶1放大，再把放大后的梯形按1∶3缩小。求缩小后的梯形的面积。 【答案】96cm 【分析】将梯形先按4：1放大，再按1：3缩小，就是将原来梯形的上、下底和高先扩大到原来的4倍，再缩小到原来的 ，所以原来梯形的上、下底之和变为（cm），高变为（cm），再根据梯形的面积公式即可求出其面积。据此解答。 【详解】（cm） （cm） （cm） 答：缩小后的梯形的面积96cm。 1．学校操场长120米，宽50米，画在练习本上选用比例尺（    ）合适。 A．1∶200 B．1∶2000 C．1∶1000 D．1∶10000 【答案】B 【分析】根据进率“1米＝100厘米”，先将长120米、宽50米，换算成12000厘米、5000厘米；然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出四个选项中长、宽的图上距离，再结合生活实际，得出哪个比例尺适合画在练习本上。 【详解】120米＝12000厘米 50米＝5000厘米 A．12000×＝60（厘米） 5000×＝25（厘米） 长60厘米、宽25厘米画在练习本上，尺寸太大，所以比例尺1∶200不合适； B．12000×＝6（厘米） 5000×＝2.5（厘米） 长6厘米、宽2.5厘米画在练习本上，尺寸合适，所以比例尺1∶2000合适； C．12000×＝12（厘米） 5000×＝5（厘米） 长12厘米、宽5厘米画在练习本上，尺寸太大，所以比例尺1∶1000不合适； D．12000×＝1.2（厘米） 5000×＝0.5（厘米） 长1.2厘米、宽0.5厘米画在练习本上，尺寸太小，所以比例尺1∶10000不合适。 故答案为：B 2．用图上距离3厘米表示实际距离2毫米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶15 B．5∶1 C．15∶1 D．1∶5 【答案】C 【分析】图上距离是3厘米，实际距离是2毫米，利用“图上距离∶实际距离＝比例尺”直接列式计算即可。 【详解】3厘米∶2毫米 ＝30毫米∶2毫米 ＝30∶2 ＝（30÷2）∶（2÷2） ＝15∶1 所以这幅图的比例尺是15∶1。 故答案为：C 【点睛】根据比例尺的意义，用图上距离比实际距离就可以求出比例尺。注意要先统一单位，再计算。 3．前进小学校园平面图的比例尺是1∶1000，在该图上量得操场长20厘米，那么在比例尺是1∶4000的平面图上操场长（    ）厘米。 A．2000 B．5 C．50 D．500 【答案】B 【分析】先根据图上距离÷比例尺＝实际距离，代入数据求出前进小学操场的实际距离，再根据实际距离×比例尺＝图上距离，代入数据求出另一幅平面图上操场的图上距离。 【详解】20÷× ＝20×1000× ＝20000× ＝5（厘米） 即在比例尺是1∶4000的平面图上操场长5厘米。 故答案为：B 【点睛】此题的解题关键是掌握图上距离和实际距离之间的换算。 4．小芳把边长3厘米的正方形，按2∶1的比放大，放大后正方形的面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】把边长3厘米的正方形，按2∶1的比放大，也就是把正方形的边长扩大到原来的2倍，据此求出放大后的边长，进而根据正方形的面积公式，求出放大后正方形的面积。 【详解】3×2＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 放大后正方形的面积是36平方厘米。 故答案为：D 【点睛】本题考查了图形的放大和缩小的方法，以及正方形面积公式的应用。 5．在比例尺是1∶6的图纸上，甲、乙两个圆的直径分别是5cm和10cm，那么甲、乙两圆的实际直径比是( )。 A．5∶10 B．1∶6 C．1∶2 D．2∶1 【答案】C 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，分别求出甲、乙两圆的实际直径，再根据比的意义，求出它们的比。 【详解】1∶6＝ 甲圆的实际直径：5÷＝30（cm） 乙圆的实际直径：10÷＝60（cm） 甲圆的实际直径∶乙圆的实际直径＝30∶60＝1∶2 故答案为：C 【点睛】本题考查比例尺的应用，可以得出结论实际直径比＝图上直径比。 6．一个精密仪器上的零件长度是5毫米，画在图纸上的长度是2厘米，这幅图纸的比例尺是( )。 【答案】4∶1 【分析】统一单位为毫米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据列比例并化简即可。 【详解】2厘米＝20毫米 一个精密仪器上的零件长度是5毫米，画在图纸上的长度是2厘米，这幅图纸的比例尺是4∶1。 7．在比例尺为1∶200的施工图纸上，量得一个正方形花坛的边长为5厘米。若在花坛周围铺1米宽的鹅卵石小路，实际铺石面积是( )平方米。 【答案】44 【分析】先根据比例尺求出正方形花坛的实际边长，再求出铺小路后大正方形的边长，最后用大正方形面积减去花坛面积得到铺石面积。比例尺1∶200表示图上1厘米对应实际200厘米（2米），所以先算花坛实际边长，再算包含小路的大正方形边长，进而求面积差，据此解答。 【详解】花坛实际边长：5×200＝1000厘米＝10米 包含小路的大正方形边长： 10＋1×2 ＝10＋2 ＝12（米） 大正方形面积：12×12＝144（平方米） 花坛面积：10×10＝100（平方米） 铺石面积：144－100＝44（平方米） 实际铺石面积是44平方米。 8．北京到天津的实际距离是110千米，一幅地图上它们之间的距离是5.5厘米，请把该地图的比例尺补充完整。 【答案】见详解 【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺，“图上距离÷比例尺＝实际距离”，根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米，将实际距离千米转换为厘米，然后，用图上距离除以实际距离（以厘米为单位），即5.5厘米除以11000000厘米，得到比例尺1：2000000‌，即2000000厘米＝20千米，然后逐项把地图的比例尺补充完整。 【详解】5.5÷11000000 ＝ ＝ ＝ ＝1∶2000000 2000000厘米＝20千米 2×20＝40（千米） 3×20＝60（千米） 9．一个精密零件实际长度2毫米，画在图纸上长6厘米。是按( )∶( )的比例尺画的。 【答案】 30 1 【分析】已知一个精密零件的实际长度和图上长度，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1厘米＝10毫米”，求出图纸的比例尺。 【详解】6厘米∶2毫米 ＝（6×10）毫米∶2毫米 ＝60∶2 ＝（60÷2）∶（2÷2） ＝30∶1 是按30∶1的比例尺画的。 10．探险队要从甲地到乙地进行野外训练。在一幅比例尺是1∶60000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15厘米。要求在2小时内到达，平均每小时要行军( )千米。 【答案】4.5// 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲乙两地实际距离，实际距离÷要求的时间＝行军速度，据此分析。 【详解】15÷＝15×60000＝900000（厘米）＝9（千米） 9÷2＝4.5（千米） 平均每小时要行军4.5千米。 11．一幅地图的比例尺是1∶6000000，在图上量得两地之间的距离是2.5厘米，两地之间的实际距离是( )千米。 【答案】150 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，代入数据计算，然后将单位换算为千米即可。 【详解】 （厘米） 15000000厘米＝150千米 即这两地之间的实际距离是150千米。 12．张强的爸爸想带家人自驾游，在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，张强量得要去的地方距出发地为4.8厘米，这段路程的实际距离是( )千米，计划三小时到达目的地，小车的平均速度是( )千米/时。 【答案】 240 80 【分析】由题意可知，已知比例尺和图上距离，根据实际距离＝图上距离÷比例尺即可求出；已知路程和时间，求速度。根据速度＝路程÷时间即可。 【详解】4.8×5000000＝24000000（厘米）＝240（千米） 240÷3＝80（千米/时） 【点睛】本题考查比例尺的应用，掌握比例尺＝图上距离÷实际距离是解题的关键。 13．在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地间的公路长4.8cm，一辆汽车每小时行40千米，从甲地到乙地需要( )小时。 【答案】3.6 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出甲乙两地实际距离，用实际距离÷速度＝时间。 【详解】4.8×3000000＝14400000（厘米）＝144（千米） 144÷40＝3.6（小时） 【点睛】关键是理解比例尺的含义，理解速度、时间、路程之间的关系。 14．工人师傅将一块直角三角形的钢板按1∶200的比例尺画在图纸上，量得两条直角边分别长1.5厘米、2厘米。这块钢板的实际面积是多少平方米？ 【答案】6平方米 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，所以实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出两条直角边的实际长度并转化成米为单位，再根据三角形面积公式解答。 【详解】 （平方米） 答：这块钢板的实际面积是6平方米。 15．一座教学楼南北方向长30米，在图纸上的长度是6厘米，在这张图纸的量得一圆形水池的直径为2厘米，请你求出这个水池的实际面积是多少平方米？ 【答案】78.5平方米 【分析】先根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出这张图纸的比例尺。再根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出水池实际直径的长；然后根据圆的面积公式，求出这个水池的实际面积即可。 【详解】6厘米∶30米 ＝6厘米∶3000厘米 ＝6∶3000 ＝（6÷6）∶（3000÷6） ＝1∶500 （厘米） 1000厘米＝10米 （平方米） 答：这个水池的实际面积是78.5平方米。 16．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1∶7000000的地图上约长92厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 【答案】6440千米 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用92÷即可求出传统的丝绸之路的实际距离，再把结果换算成千米作单位，据此解答。 【详解】92÷ ＝92×7000000 ＝644000000（厘米） 644000000厘米＝6440千米 答：传统的丝绸之路实际全长约为6440千米。 17．在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得A、B两地长6厘米；如果画在比例尺是1∶8000000的地图上，两地的图上距离是多少厘米？ 【答案】1.5厘米 【分析】根据第一个比例尺求出A、B两地实际距离，再根据第二个比例尺求出图上距离即可，实际距离＝图上距离÷比例尺，图上距离＝实际距离×比例尺。 【详解】6×2000000＝12000000（厘米） 12000000÷8000000＝1.5（厘米） 答：画在比例尺是1∶8000000的地图上，两地的图上距离是1.5厘米。 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法。 18．在1∶2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3.6厘米。如果汽车以每小时60千米的速度于上午9时整从甲地开出，到达乙地是什么时间？ 【答案】上午10：12 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，先求出实际行驶距离，再根据路程÷速度＝时间，求出行驶时间，进而推算出到达时间即可。 【详解】3.6×2000000＝7200000（厘米）＝72（千米） 72÷60＝1.2（小时） 1.2小时＝1小时12分钟 9时＋1小时12分钟＝10：12 答：到达乙地是上午10：12。 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，理解速度、时间、路程之间的关系。 19．小区要围绕一个圆形的喷水池外修一条小路，在比例尺为的图纸上量得水池的直径为厘米，小路的宽为厘米，这条小路的实际面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】根据比例尺和水池直径以及小路宽的图上距离，利用除法先计算出水池直径和小路宽的实际距离。小路的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，据此列式计算出小路的实际面积即可。 【详解】直径：（厘米）， 厘米米， 小路的宽：（厘米）， 厘米米， （米）， 小路面积： ＝ ＝ ＝ 答：这条小路的实际面积是平方米。 【点睛】本题考查了环形面积的应用，环形面积等于大圆的面积减去小圆的面积。 20．在一幅比例尺1∶2000的图上，量得一块长方形的土地，平面图的长是6厘米，宽是4厘米，求这块土地实际面积是多少？ 【答案】9600平方米 【详解】6×2000=12000（厘米）=120米 4×2000=8000（厘米）=80米 120×80=9600（平方米） 答：这块土地实际面积是9600平方米． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6单元 快乐足球——比例尺 知识清单 一、比例尺的意义 1.定义：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2.核心公式：比例尺 = 图上距离 : 实际距离（或 比例尺 = ） 3.意义解读：比例尺是一个无单位的比，用来表示图上距离与实际距离的缩放关系。例如比例尺1:500000，代表图上1厘米对应实际500000厘米（即5千米），实际距离是图上距离的500000倍。 二、比例尺的分类 1.数值比例尺 形式：用数字比或分数形式表示，如1:1000、 、5:1等。 细分类型： ① 缩小比例尺：前项为1，如1:5000，常用于地图、建筑平面图等场景，图上距离小于实际距离。 ② 放大比例尺：后项为1，如8:1，多用于精密机械零件图纸，图上距离大于实际距离。 2.线段比例尺 形式：用带刻度的线段直观展示图上距离与实际距离的对应关系。 示例：“0 30 60 90千米”，表示图上1厘米对应实际30千米，可转化为数值比例尺1:3000000（单位换算：30千米=3000000厘米）。 三、比例尺的相关计算 1.已知图上距离和实际距离，求比例尺 解题步骤：①统一单位（通常统一为厘米）；②代入公式化简为最简整数比。 典型例题：一张地图上，2厘米的线段代表实际100千米的距离，求这幅地图的比例尺。 解：100千米=10000000厘米，比例尺=2:10000000=1:5000000。 2.已知比例尺和实际距离，求图上距离 核心公式：图上距离 = 实际距离 × 比例尺 典型例题：实际距离600米，比例尺为1:1500，求对应的图上距离。 解：600米=60000厘米，图上距离=60000× 0=40厘米。 3.已知比例尺和图上距离，求实际距离 核心公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 典型例题：图上距离4厘米，比例尺为1:40000，求对应的实际距离。 解：实际距离=4÷ =160000厘米=1600米。 四、比例尺的实际应用 1.地图中两地实际距离计算 方法：先量出两地间的图上距离，再结合比例尺公式计算实际距离。 例题：在比例尺为1:2000000的地图上，量得A、B两地的图上距离是6厘米，求A、B两地的实际距离。 解：实际距离=6÷ =12000000厘米=120千米。 2.按比例尺绘制平面图 步骤：①确定实际物体的尺寸；②根据比例尺计算图上距离；③按照图上距离精准绘制图形。 例题：要绘制长40米、宽20米的教室平面图，选用比例尺1:1000，求平面图的长和宽。 解：图上长=40米× =0.04米=4厘米，图上宽=20米× =2厘米，绘制长4厘米、宽2厘米的长方形即可。 3.比例尺与行程、工程问题结合 例题：在比例尺为1:5000000的地图上，甲、乙两地的图上距离是7厘米，一辆汽车以70千米/时的速度从甲地开往乙地，需要行驶多长时间？ 解：实际距离=7÷ =35000000厘米=350千米，行驶时间=350÷70=5小时。 五、易错点与注意事项 1.单位统一：计算时必须将图上距离和实际距离的单位统一，常见单位换算：1千米=100000厘米，1米=100厘米。 2.比例尺顺序：比例尺是“图上距离:实际距离”，不可随意颠倒，只有放大比例尺是后项为1，缩小比例尺前项为1。 3.线段比例尺转化：先明确线段上1厘米对应的实际距离，再通过单位换算转化为数值比例尺。 4.概念区分：注意区分“缩小比例尺”和“放大比例尺”，避免在精密零件、地图等场景中用错。 5.结果处理：实际应用题中，可根据题目要求对计算结果取近似值，如四舍五入到整千米、整米等。 题型1：比例尺的意义 【例1】实际120千米的路程，在这幅地图上应画( )厘米。 【练1】一块长方形空地长300米，在平面图上量得它的长是3厘米。这个平面图比例尺是1∶100。( ) 题型2：图上距离与实际距离的换算 【例2】两地相距80千米，画在比例尺是1∶400000的地图上，应该画( )厘米。 【练2】看图，先算出小梅家和小芳家的图上距离，再按要求在下图中标出两家的位置。 （1）小梅家在学校正南方向约300米处； （2）小芳家在学校北偏西30°约400米处。 题型3：比例尺的应用 【例3】在比例尺是1∶50000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3.4厘米。一架飞机上午11时从甲地飞往乙地，下午1时到达，这架飞机平均每小时飞行多少千米？ 【练3】在标有的地图上，量得南京到上海的距离为8厘米。暑假期间家住南京的李磊同学全家开车前往上海，早上6：00出发，到达第一个收费站时已经行了160千米，李磊的爸爸看了看手表，此时刚好是8：00，照这样的速度，他们9：50能到达上海吗？ 题型4：应用比例尺画图 【例4】少年宫在丁丁家北面1.5千米处，乐乐家在少年宫西面2千米处。 （1）在图中分别标出少年宫和乐乐家的位置。 （2）量出丁丁家到乐乐家的图上距离，计算出丁丁家到乐乐家大约有多少千米？（写出计算过程） 【练4】下图是以学校为观测点所画的示意图。 （1）张明家在学校（    ）偏（    ）（    ）°方向的（    ）米处。 （2）小华家在学校南偏西60°方向的1000米处，请在图中表示出他家的位置。 题型5：图形的放大与缩小 【例5】按要求画图。 （1）将三角形向下平移4格，再向右平移3格，画出平移后的图形。 （2）根据给定的对称轴画出原三角形的轴对称图形。 （3）在空白处按2∶1的比例画出原三角形放大后的图形。 【练5】操作。 （1）用数对表示图中长方形顶点A的位置为（    ）；如果将长方形向上平移a格，平移后顶点A的位置为（    ）；如果将原长方形向右平移b格，平移后顶点A的位置为（    ）。 （2）按2∶1的比画出长方形放大后的图形。 题型6：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【例6】将边长是2cm的正方形按3∶1的比放大，放大后的面积是（    ）。 A．6 B．12 C．18 D．36 【练6】一个上底与下底的和是12cm、高是9cm的梯形，先按4∶1放大，再把放大后的梯形按1∶3缩小。求缩小后的梯形的面积。 1．学校操场长120米，宽50米，画在练习本上选用比例尺（    ）合适。 A．1∶200 B．1∶2000 C．1∶1000 D．1∶10000 2．用图上距离3厘米表示实际距离2毫米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶15 B．5∶1 C．15∶1 D．1∶5 3．前进小学校园平面图的比例尺是1∶1000，在该图上量得操场长20厘米，那么在比例尺是1∶4000的平面图上操场长（    ）厘米。 A．2000 B．5 C．50 D．500 4．小芳把边长3厘米的正方形，按2∶1的比放大，放大后正方形的面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．36 5．在比例尺是1∶6的图纸上，甲、乙两个圆的直径分别是5cm和10cm，那么甲、乙两圆的实际直径比是( )。 A．5∶10 B．1∶6 C．1∶2 D．2∶1 6．一个精密仪器上的零件长度是5毫米，画在图纸上的长度是2厘米，这幅图纸的比例尺是( )。 7．在比例尺为1∶200的施工图纸上，量得一个正方形花坛的边长为5厘米。若在花坛周围铺1米宽的鹅卵石小路，实际铺石面积是( )平方米。 8．北京到天津的实际距离是110千米，一幅地图上它们之间的距离是5.5厘米，请把该地图的比例尺补充完整。 9．一个精密零件实际长度2毫米，画在图纸上长6厘米。是按( )∶( )的比例尺画的。 10．探险队要从甲地到乙地进行野外训练。在一幅比例尺是1∶60000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15厘米。要求在2小时内到达，平均每小时要行军( )千米。 11．一幅地图的比例尺是1∶6000000，在图上量得两地之间的距离是2.5厘米，两地之间的实际距离是( )千米。 12．张强的爸爸想带家人自驾游，在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，张强量得要去的地方距出发地为4.8厘米，这段路程的实际距离是( )千米，计划三小时到达目的地，小车的平均速度是( )千米/时。 13．在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地间的公路长4.8cm，一辆汽车每小时行40千米，从甲地到乙地需要( )小时。 14．工人师傅将一块直角三角形的钢板按1∶200的比例尺画在图纸上，量得两条直角边分别长1.5厘米、2厘米。这块钢板的实际面积是多少平方米？ 15．一座教学楼南北方向长30米，在图纸上的长度是6厘米，在这张图纸的量得一圆形水池的直径为2厘米，请你求出这个水池的实际面积是多少平方米？ 16．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1∶7000000的地图上约长92厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 17．在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得A、B两地长6厘米；如果画在比例尺是1∶8000000的地图上，两地的图上距离是多少厘米？ 18．在1∶2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3.6厘米。如果汽车以每小时60千米的速度于上午9时整从甲地开出，到达乙地是什么时间？ 19．小区要围绕一个圆形的喷水池外修一条小路，在比例尺为的图纸上量得水池的直径为厘米，小路的宽为厘米，这条小路的实际面积是多少平方米？ 20．在一幅比例尺1∶2000的图上，量得一块长方形的土地，平面图的长是6厘米，宽是4厘米，求这块土地实际面积是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $