专题12 函数模型及应用（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题12 函数模型及应用 【复习目标】 1. 掌握一次函数、二次函数的解析式、图像与基本性质，熟记常用函数模型结构. 2. 了解分段函数、简单指数函数、对数函数实际模型，识别不同实际问题对应的函数类型 3. 熟记常见应用公式：利润、面积、周长、成本、计费等数量关系 4. 掌握二次函数配方法、对称轴、顶点公式，会求解定区间内最值 5. 能读懂生活、经济、几何、生产类实际情境，抽象变量关系，建立函数解析式 6. 熟练进行配方、代数变形、函数求值，准确求解函数最值、取值范围 7. 能看懂简单函数图像，从图像中提取数据、分析变化规律 1、 【知识清单】 1．常见函数模型 (1)一次函数模型，它的解析式 ，函数的增长特点是随直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0). (2)二次函数模型，它的解析式为，通过对函数配方得 到 ，由函数图像分析单调性，通常用来解决实际中的最值问题，但一定要注意自变量的取值范围． (3)分段函数模型，对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数．它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的 ． （4）指数函数模型，解析 ①增长模型（）：单调递增，考查重点——复利计算、简单增长问题（如产值、人口增长. ②衰减模型（）：单调递减，考查重点——设备折旧、药效衰减等基础衰减问题. (5)对数函数模型,解析式 应用场景：多考查简单对数计算、与指数模型的转化（已知增长结果求时间），偶涉及地震震级、pH值等基础. (6)幂函数模型，解析式 ，通常用来解决实际中的最值问题，但一定要注意自变量的取值范围. 二、【技巧归纳】 2．解决应用问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 三、【考点清单】 考点1 一次函数模型与实际应用 【典例1】（2024届浙江省高职理论考临海、温岭、玉环县市三模）某学校组织团员举行“江南长城文化节”宣传活动，从学校骑自行车出发，先上坡到达甲地后，宣传了5分钟，然后下坡到乙地又宣传了5分钟返回，上坡和下坡均按原来速度保持不变，行程情况如图所示.若返回时，在甲地仍要宣传5分钟，那么他们从乙地原路返回学校所用的时间是（    ）    A．36分钟 B．37分钟 C．41分钟 D．46分钟 【即时训练】 1.（2023届浙江省精准教学研究中心职教高考第二次考试）王明上午有一个9点钟准时召开的会议需要参加．他8点30分坐出租车出发前往会场，估计8点50分左右能到达会场，但途中遇到堵车堵了3分钟，王明怕迟到只能改跑步前往，他以平均每小时0.2公里的速度跑到了会场．王明从出发开始，离会场的距离S与时间t关系如图所示，则结果是（    ） A．王明离会议开始还有3分钟到达会场 B．王明比会议开始迟到了3分钟 C．王明在会议开始时刚好到达会场 D．如果不堵车，王明恰好能在会议开始前9分钟到达会场 2.（2022届2022年浙江省普通高职单独考试温州市三模）小叶家与姥姥家相距24km，小叶8：00从家出发，骑自行车去姥姥家.妈妈8：30从家出发，乘出租车沿相同路线去姥姥家.在同一直角坐标系中，小叶和妈妈的行进路程与北京时间的函数图象如图所示.下列结论中错误的是（   ） A．小叶骑自行车的平均速度是12km/h B．妈妈比小叶提前0.5h到达姥姥家 C．妈妈在距家12km处追上小叶 D．9：30时妈妈追上小叶 3.如图，是某复印店复印收费（元）与复印面数（8开纸）（面）的函数图像，那么从图像中可看出，复印超过100面的部分，每面收费（　 　）    A．元 B．元 C．元 D．元 4.（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）车管所对某道路早晚高峰的车流速度和车流密度进行调查研究，发现车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，且当时，；当时，是的一次函数，其函数关系如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)当车流密度（单位：辆/千米）为多少时，车流量（单位：辆/时）最大，并求出最大值．（其中） 考点2 二次函数模型与实际应用 【典例2】（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.在一条限速的公路上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.已知汽车在行驶过程中，刹车距离与车速满足二次函数关系.根据两车车型查阅资料可知，甲车的车速与刹车距离的关系为；乙车的车速与刹车距离的部分数据如下表： 30 45 55 60 6 15.75 24.75 30 (1)若甲车的车速为时，求其刹车距离； (2)求乙车的车速与刹车距离之间的二次函数解析式； (3)若发生事故后测得甲车的刹车距离略大于，乙车的刹车距离略小于，试从两车的速度分析哪辆车的责任更大（哪辆车超速）. 【即时训练】 5.（2026届浙江省宁波、嘉兴职教高考二模考试）如图，古运河上有一座历史悠久的抛物线形石拱桥.当拱顶距离水面2米时，水面宽度为4米，则当水位上涨1米后，水面的宽度为（   ）    A．米 B．2米 C．米 D．4米 6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润为（   ）. A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 7.（2026届浙江省单独考试招生考试杭州市三模）市场调查所得产品月销售量（件）与销售价格（元）的数据如下表，经分析发现销售量是关于销售价格的一次函数，若此产品的成本价为24元/件，则当产品售价为__________元时可获得最大利润. 售价（元） 30 35 40 45 销售量（件） 400 300 200 100 8.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）某网店主营玩具销售，市场调查发现，某种玩具的月销量（单位：件）是售价（单位：元/件）的一次函数．若该玩具的月销售总利润（售价一成本）月销量，三者有如下数据． 售价（单位：元/件） 20 30 40 50 月销量（单位：件） 240 210 180 月销售总利润（单位：元） 1200 3150 4500 5250 (1)求关于的函数解析式（不要求写定义域），并在空格处填写适当的数据； (2)根据已知条件求玩具的成本为多少元/件，并求出为何值时，月销售总利润取得最大值，并求出最大值； (3)若从本月起，该玩具成本下降3元/件，售价不超过60元/件，且月销量与售价仍满足（1）中的函数关系，求本月的销售总利润的最大值． 9.（2026届浙江省嘉兴、台州市高三一模）某新能源汽车企业研究一款新型电池，经长期跟踪研究，记录了该款电池容量随行驶里程逐步衰减的数据，详见下表所示.已知电池初始容量为．规定：当电池容量衰减至时，电池寿命进入加速衰减阶段，需引起用户高度重视.现在研究人员尝试分别用一元一次函数和一元二次函数模型分析表格数据，并预测电池寿命.请回答下列问题： 行使里程x（万公里） 0 5 10 15 … 电池容量 m n … (1)首先使用二次函数模型分析，设解析式为，求： ①常数c； ②电池容量降至时，对应的行驶里程； (2)假设数据也适用一次函数模型，说明哪个模型估测的电池容量会更早降至. 10.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试二模）网球运动在我国的普及程度越来越高，已从一项“小众运动”发展为拥有广泛群众基础的时尚体育活动，已知网球比赛场地长为24米（其中为边界点），球场中心的球网高度为1米，网球飞行路线为抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，运动员从点处击球，网球飞行过程中在点处达到最高点，网球一定能过网．    (1)若． ①求网球飞行路线的解析式（不必写出变量取值范围）； ②判断此次击球后，网球是否落在对方区域内（含边界），并说明理由； (2)若此次击球后，网球落在对方区域内（含边界），求实数的取值范围． 考点3 分段函数模型与实际应用 【典例3】（2024届浙江省湖州、衢州、丽水市中职学校二模）某市为改善城市交通拥堵情况，启动快速路建设工程.根据交通工程学理论，把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征.为研究车辆流量（辆/时）、速度（千米/时）、密度（辆/千米）的关系，测得某路段当时，车流速度；当时，道路堵塞，车流速度；当时，测得车流速度与车流密度之间的部分数据如下表： 密度（辆/千米） 80 100 120 140 160 180 速度（千米/时） 80 70 60 50 40 30 (1)选择恰当的函数模型，写出关于的函数关系式； (2)求时，车流量和车流密度之间的函数关系式.（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)当该路段的车流速度为多少时，车流量最大，最大值是多少？ 【即时训练】 11.（2024届浙江省高校招生宁波市中职一模）某地区按以下规定收取水费：若每月用水不超过，则每立方米水费按2元收取；若超过，则超过的部分按每立方米3元收取.如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.2元，则这户居民这月共用水（    ） A． B． C． D． 12.（2022届浙江省普通高职单独考试温州市二模）某商场进行促销活动，规定： （1）如果商品标价不超过500元，则给予9折优惠； （2）如果商品标价超过500元，其中500元内的部分按第（1）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某商品标价为600元，则促销后，实际付款应为（    ） A．420元 B．513元 C．520元 D．540元 13.（2025届浙江省职教高考复习二模）某停车场的停车收费标准如下表所示： 停车收费标准 小型车 大型车 白天 3小时内 2元/1小时 4元/1小时 3小时后 4元/1小时 8元/1小时 夜间（（不含）一次日） 1元/2小时 2元/2小时 注：白天停车收费以1小时为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用 李明驾驶小型车于进入该停车场，并于次日前驶出该停车场，李明缴纳的停车费为元，则李明可能驶出的时间段是（    ） A．当日 B．当日 C．次日 D．次日 14.（2024届浙江省职教高考研究联合体五模）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在某一条件下，每条（尾）鱼的平均生长速度v[单位：千克/（年·条）]是养殖密度x（单位：条/立方米）的函数.当x不超过4条/立方米时，v的值为2千克/（年·条）；当时，v是x的一次函数；当x达到20条/立方米及以上时，因缺氧等原因，v的值为0千克/（年·条）. (1)求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，每立方米的“活水围网”空间里，鱼的年生长量[单位：千克/（年·立方米）]可以达到最大？并求出最大值. 考点4 指数函数模型与实际应用 【典例4】（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试二模）若提供100个成语，小李在分钟内能够记忆的成语个数大致符合，（为常数），若小李在5分钟内能够记忆10个成语，则小李15分钟内能记忆的成语个数大约为（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【即时训练】 15.（2025届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量（单位：个）与其繁殖时间（单位：天）满足关系式.繁殖5天后，这种霉菌的数量为20个，10天后数量为40个.若要使这种霉菌的数量达到320个，则需要（   ） A．30天 B．25天 C．22天 D．20天 16.（2024届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）某传染病传播初期，可用指数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.据此，在这种传染病传播初期，累计感染病例数增加一倍需要的时间约为（     ）（精确到0.1，参考参数：） A．0.38天 B．0.69天 C．1.8天 D．2.7天 17.（2024届浙江省宁波市、嘉兴市职教高考二模）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是72小时，则该食品在的保鲜时间为（    ） A．18小时 B．20小时 C．24小时 D．36小时 18.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）某医药研究所研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：h）之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后，关于的函数解析式； (2)根据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，求服药一次后，治疗疾病有效的时间. 考点5 对数函数模型与实际应用 【典例5】（2026届浙江省宁波市职教高考高三一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数内的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（    ） A．11% B．22% C．33% D．100% 【即时训练】 19.（2022届浙江省衢州市、丽水市中职学校高三5月质量检测）有一组实验数据如下： 1.98 3.0 4.01 5.0 6.1 1.47 4.02 7.8 12.5 18.24 现在拟用下列函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是（    ） A． B． C． D． 20.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式，观测发现2019年冬（作为第一年）有越冬白鹤3000只，估计到2025年冬越冬白鹤有（    ） A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 21世界地球日为每年的4月22日，旨在提高人类对于环境保护问题的重视.今年世界地球日的主题是“全球战塑”.生物学家为了解塑料制品对土壤的影响，常通过检测进行分析.已知土壤中某种塑料制品的残留量（毫克）与时间（年）近似满足关系式，其中是残留系数，则土壤中该塑料制品残留量降为原来的所需时间为（    ） A．63年 B．127年 C．255年 D．511年 22.（2026届浙江省绍兴市中等专业学校高三期中考）生活中一般用pH值表示溶液的酸碱度，pH值具体是指溶液中氢离子浓度的常用对数值的相反数．例如：溶液中氢离子浓度为个单位，则此溶液的pH值为．若有甲、乙两种饮料，甲饮料的pH值为3，乙饮料的pH值为6，则甲饮料的氢离子浓度是乙饮料的________倍． 23.（2026届浙江省宁波市北仑职业高级中学)高考班第一次选拔考试）创新是一个国家､一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（单位：千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物总量为12千只，则还需要经过__________个月. 考点6 幂函数模型与实际应用 【典例6】为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密）．现在加密密钥为（为常数），如“4”通过加密后得到的密文是“2”．若接收方得到密文“3”，则解密后得到的明文是_______ 【即时训练】 24.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ） A． B． C． D． 25.某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为和（万元），事先根据相关资料得出它们与投入资金（万元）的数据分别如下表和图所示：其中已知甲的利润模型为，乙的利润模型为．（为参数，且）. （1）请根据下表与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模型 （2）今将万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于万元．设对乙种产品投入资金（万元），并设总利润为（万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润． 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，28）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 （1）若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； （2）记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c值； （3）根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 2.（2024年浙江，14）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 3.（2024年浙江，32）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度与时间的监测数据如下表： 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N 0.84 0.88 0.92 0.98 … … 0.92 0.82 … 0.58 0.46 （1）观察数据，比较和这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快； （2）当时，是关于的一次函数，求； （3）当时，是关于的二次函数，且，求为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值. 4. （2023年浙江，30）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 4.（2022年浙江，33）在2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，已知某运动员从起跳点开始，直到落在雪坡上为止，在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）符合二次函数关系．如图所示，以这个运动员起跳点为坐标原点O，建立平直角坐标系（单位：米）．点A为二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC垂直于x轴，测得相关数据如下：米，米．． 求： （1）落地点B的坐标； （2）高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式； （3）该运动员飞行到最高点时的坐标． 5.（2021年浙江，33）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上满足二次函数关系，下表记录了三次实验的数据： 加工时间 … 2 3 4 … 可食用率 … 0.28 0.82 0.96 … （1）求可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上的二次函数关系式； （2）若不考虑其它因素，求爆米花可食用率最高时的加工时间. 二、【考向感知】 浙江中职高考函数应用命题稳定、模型集中、重基础、强应用。二次函数建模 + 最值是绝对核心，抓住 “建模 — 定义域 — 最值 — 验证” 四步，即可稳拿该板块大部分分值。2026 年备考以二次函数为主、分段函数为辅，强化计算与审题，是提分关键。 1、考纲定位与分值地位 (1)考纲要求（2026 年起依新课标） 核心要求：理解一次、二次函数模型，了解指数、对数、分段函数模型 能力目标：能从实际问题（几何、利润、效率、行程等）抽象函数关系、确定定义域、求最值、最优解、验证结果合理性 新课标导向：强化数学建模、数据分析、应用意识，贴合职教 “实用、够用” 原则 （2）分值与题型占比（近年稳定） 总分占比：15%–20%（约 22–30 分） 题型分布： 选择题、填空题：2–4 题（6–12分），基础题，考函数性质、图像、简单应用 解答题：固定1道大题（10–12 分），中档为主，必考函数建模 + 最值、范围求解 2、命题规律与热点特征 （1）模型类型：高度集中，二次函数为主 二次函数模型（绝对高频，约 80%） 情境：面积最值、利润最大化、效率最优、用料最省 考法：求解析式→定义域→对称轴、顶点→最值 （2）一次、分段函数模型（次高频） 情境：行程、成本、计费、匀速运动 考法：斜率（速度、单价）、分段解析式、图像读图 （3）指数、对数模型（低频了解） 情境：增长、衰减、细胞分裂、浓度变化 考法：运算、单调性、简单求值 3、 备考策略 （1）模型全覆盖，重点突破二次函数 （2）解题流程标准化（必背） ①审题：圈变量、单位、限制条件 ②建模：设 x→列关系→写y=f(x)→标定义域 ③求解：代数变形、配方法、单调性→求最值 ④验证：结果是否符合实际（正、整数、范围） ⑤作答：完整答句 + 单位 （3）题型专项训练 · 几何面积类：矩形、三角形、组合图形 · 经济利润类：单价、销量、成本、折扣 · 效率最优类：时间、合格率、用料 · 分段计费类：行程、水电、通讯 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题12 函数模型及应用 【复习目标】 1. 掌握一次函数、二次函数的解析式、图像与基本性质，熟记常用函数模型结构. 2. 了解分段函数、简单指数函数、对数函数实际模型，识别不同实际问题对应的函数类型 3. 熟记常见应用公式：利润、面积、周长、成本、计费等数量关系 4. 掌握二次函数配方法、对称轴、顶点公式，会求解定区间内最值 5. 能读懂生活、经济、几何、生产类实际情境，抽象变量关系，建立函数解析式 6. 熟练进行配方、代数变形、函数求值，准确求解函数最值、取值范围 7. 能看懂简单函数图像，从图像中提取数据、分析变化规律 1、 【知识清单】 1．常见函数模型 (1)一次函数模型，它的解析式 ，函数的增长特点是随直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0). (2)二次函数模型，它的解析式为，通过对函数配方得 到 ，由函数图像分析单调性，通常用来解决实际中的最值问题，但一定要注意自变量的取值范围． (3)分段函数模型，对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数．它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的 并集 ． （4）指数函数模型，解析 ①增长模型（）：单调递增，考查重点——复利计算、简单增长问题（如产值、人口增长. ②衰减模型（）：单调递减，考查重点——设备折旧、药效衰减等基础衰减问题. (5)对数函数模型,解析式 应用场景：多考查简单对数计算、与指数模型的转化（已知增长结果求时间），偶涉及地震震级、pH值等基础. (6)幂函数模型，解析式 （为常数） ，通常用来解决实际中的最值问题，但一定要注意自变量的取值范围. 二、【技巧归纳】 2．解决应用问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 三、【考点清单】 考点1 一次函数模型与实际应用 【典例1】（2024届浙江省高职理论考临海、温岭、玉环县市三模）某学校组织团员举行“江南长城文化节”宣传活动，从学校骑自行车出发，先上坡到达甲地后，宣传了5分钟，然后下坡到乙地又宣传了5分钟返回，上坡和下坡均按原来速度保持不变，行程情况如图所示.若返回时，在甲地仍要宣传5分钟，那么他们从乙地原路返回学校所用的时间是（    ）    A．36分钟 B．37分钟 C．41分钟 D．46分钟 【答案】C 【知识点】一次函数的图像和性质、函数图像的识别 【分析】首先求出从学校到甲地的上坡速度，再求出下坡用时，进而求出下坡的速度，然后根据返回时上，下坡的速度相同，并根据上坡时间+下坡时间+宣传时间即可得出答案. 【详解】从学校到甲地需要15分钟，行驶了3000米， 可知上坡的速度为(米/分)， 从甲地到乙地需要(分钟). 从甲地到乙地行驶了(米)， 则下坡的速度为(米/分) 返回时，上坡6000米，下坡3000米， 所以返回用时(分). 故选：C. 【点拔】能根据已知条件，构建一次函数模型，用待定系数法求一次函数解析式．通过观察函数图像获取信息，并结合一次函数性质来解决现实生活中的实际问题． 【即时训练】 1.（2023届浙江省精准教学研究中心职教高考第二次考试）王明上午有一个9点钟准时召开的会议需要参加．他8点30分坐出租车出发前往会场，估计8点50分左右能到达会场，但途中遇到堵车堵了3分钟，王明怕迟到只能改跑步前往，他以平均每小时0.2公里的速度跑到了会场．王明从出发开始，离会场的距离S与时间t关系如图所示，则结果是（    ） A．王明离会议开始还有3分钟到达会场 B．王明比会议开始迟到了3分钟 C．王明在会议开始时刚好到达会场 D．如果不堵车，王明恰好能在会议开始前9分钟到达会场 【答案】D 【知识点】图象法表示函数、一次函数的图像和性质 【分析】根据函数模型求出对应速度和时间即可判断. 【详解】解：从出发离会场的距离为S， 如图，距离会场，出租车行驶时间为20分钟， 此时距离会场还有， 跑步到会场速度为每分钟， 则跑步的时间为分钟， 所以所用时间为分钟. 此时距离会议开始还有2分钟，故A、B、C都错. 出租车行驶路程为，时间为20分钟， 则出租车的速度为， 则出租车不堵车时所用时间为分钟， 所以，如果不堵车王明恰好能在会议开始前9分钟到达会场. 故选:D. 2.（2022届2022年浙江省普通高职单独考试温州市三模）小叶家与姥姥家相距24km，小叶8：00从家出发，骑自行车去姥姥家.妈妈8：30从家出发，乘出租车沿相同路线去姥姥家.在同一直角坐标系中，小叶和妈妈的行进路程与北京时间的函数图象如图所示.下列结论中错误的是（   ） A．小叶骑自行车的平均速度是12km/h B．妈妈比小叶提前0.5h到达姥姥家 C．妈妈在距家12km处追上小叶 D．9：30时妈妈追上小叶 【答案】D 【知识点】一次函数的图像和性质、函数图像的识别、函数图象的应用 【分析】观察图象可知，小叶去姥姥家所用时间为2小时，骑行了24km，可求得平均速度是12km/h；对应函数图象，可得妈妈到姥姥家所用时间，由交点坐标可确定妈妈追上小叶所用的时间，据此可得结果. 【详解】观察图象可知，小叶8：00从家出发，10：00到姥姥家，所用时间为2小时，共骑了24km， 所以小叶的速度为：12km/h，故A说法正确； 妈妈是9.5时到姥姥家，即9：30，故比小叶提前0.5小时到达姥姥家，所以B说法正确； 图形中交点处对应的横坐标就是两人相遇时间，纵坐标为两人相遇时距家的距离， 故妈妈在9：00追上小叶，距家的距离为km，故C说法正确，D说法错误. 故选：D 3.如图，是某复印店复印收费（元）与复印面数（8开纸）（面）的函数图像，那么从图像中可看出，复印超过100面的部分，每面收费（　 　）    A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】一次函数图象与性质的分析与判断、图象法表示函数 【分析】根据一次函数的特征可求解. 【详解】由图可知，当时，图像为射线，函数为一次函数模型， 因为函数过点， 所以复印超过100面的部分，每面收费（元）. 故选：A 4.（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）车管所对某道路早晚高峰的车流速度和车流密度进行调查研究，发现车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，且当时，；当时，是的一次函数，其函数关系如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)当车流密度（单位：辆/千米）为多少时，车流量（单位：辆/时）最大，并求出最大值．（其中） 【答案】(1) (2)辆千米，辆时． 【知识点】由一次函数的图象或性质确定参数、分段函数模型的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求出当时，关于的函数解析式；   （2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以分别计算出当时，，当时，车流量的表达式，分别求出最大值即可求解. 【详解】（1）当时，设， 由图像可知，解得， 当时，关于的函数解析式为． （2）当时，， 当时， ， 当时，． 综上所述，当车流密度为辆/千米时，车流量最大，最大值为辆/时． 考点2 二次函数模型与实际应用 【典例2】（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.在一条限速的公路上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.已知汽车在行驶过程中，刹车距离与车速满足二次函数关系.根据两车车型查阅资料可知，甲车的车速与刹车距离的关系为；乙车的车速与刹车距离的部分数据如下表： 30 45 55 60 6 15.75 24.75 30 (1)若甲车的车速为时，求其刹车距离； (2)求乙车的车速与刹车距离之间的二次函数解析式； (3)若发生事故后测得甲车的刹车距离略大于，乙车的刹车距离略小于，试从两车的速度分析哪辆车的责任更大（哪辆车超速）. 【答案】(1)3 (2) (3)甲车超速，甲车的责任更大 【知识点】待定系数法、解不含参数的一元二次不等式、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据甲车的车速与刹车距离的关系代入求解即可. （2）设出二次函数解析式，再根据表格中的数据代入求解即可. （3）根据车速与刹车距离之间的关系式，求出甲车与乙车的车速，再进行比较即可. 【详解】（1）由，所以当，. （2）设. 将、、代入，得 ，解得. 因此，.经检验，满足上式. （3）由题意知，，解得或， 即甲车车速大于. 由题意知，，解得， 即乙车车速小于. 因此，甲车超速，甲车的责任更大. 【点拔】能根据已知条件，构建二次函数模型，利用二次函数性质解决最大面积或最大利润的问题．当物体形状或运动轨迹是抛物线时，建立合适的直角坐标系，用待定系数法确定二次函数的解析式，并结合题意解决实际问题． 【即时训练】 5.（2026届浙江省宁波、嘉兴职教高考二模考试）如图，古运河上有一座历史悠久的抛物线形石拱桥.当拱顶距离水面2米时，水面宽度为4米，则当水位上涨1米后，水面的宽度为（   ）    A．米 B．2米 C．米 D．4米 【答案】C 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、求二次（型）函数的最值 【分析】先建立平面直角坐标系，得到的坐标，再求出抛物线解析式，再代入求解即可. 【详解】   如图，建立平面直角坐标系，以横轴轴通过，纵轴通过的中点以及点，如图所示， 因为，所以设抛物线为， 代入，得，解得，因此， 当水位上涨1米后，即，代入得，化简得，解得， 因此水面的宽度为米. 故选：C. 6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润为（   ）. A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 【答案】B 【知识点】求二次（型）函数的最值、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】设出甲乙的销售量，代入利润公式求解即可. 【详解】设在甲地销售量为a，则在乙地销售量为， 设利润为y，则， 即， 对称轴为， ∵，即当时，最大利润为万元. 故选：B. 7.（2026届浙江省单独考试招生考试杭州市三模）市场调查所得产品月销售量（件）与销售价格（元）的数据如下表，经分析发现销售量是关于销售价格的一次函数，若此产品的成本价为24元/件，则当产品售价为__________元时可获得最大利润. 售价（元） 30 35 40 45 销售量（件） 400 300 200 100 【答案】37 【知识点】求二次（型）函数的最值、其它常见函数模型的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】先根据给定数据求出销售量关于销售价格的一次函数表达式，再建立利润关于售价的函数，最后根据二次函数性质求出最大利润时的售价. 【详解】由题意，可设（）， 将和代入中， 可得方程组，解得，， 所以. 设利润为元，已知成本价为元/件， 则， 函数图象开口向下，对称轴为， 所以当产品售价为元时可获得最大利润. 故答案为：37. 8.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）某网店主营玩具销售，市场调查发现，某种玩具的月销量（单位：件）是售价（单位：元/件）的一次函数．若该玩具的月销售总利润（售价一成本）月销量，三者有如下数据． 售价（单位：元/件） 20 30 40 50 月销量（单位：件） 240 210 180 月销售总利润（单位：元） 1200 3150 4500 5250 (1)求关于的函数解析式（不要求写定义域），并在空格处填写适当的数据； (2)根据已知条件求玩具的成本为多少元/件，并求出为何值时，月销售总利润取得最大值，并求出最大值； (3)若从本月起，该玩具成本下降3元/件，售价不超过60元/件，且月销量与售价仍满足（1）中的函数关系，求本月的销售总利润的最大值． 【答案】(1)，150. (2)成本为15元/件，当或58时，取得最大值5418元. (3)本月的销售总利润的最大值为5808元. 【知识点】一次函数图象与性质的分析与判断、求二次（型）函数的最值、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（）根据题意结合待定系数法列出方程组即可得解. （）根据题意求出成本，列出利润方程结合二次函数的性质即可得解. （）根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设，代入，得， 解得，所以关于的函数解析式为． 当时，，空格处填150． （2）设成本为元/件，则，即． 由题意得，解得，即成本为15元/件． ． 函数的对称轴方程为，且， 当或58时，取得最大值，元． （3）成本下降3元/件，成本为12元/件． ， 当时，． 即当售价为56元/件时，本月的销售总利润的最大值为5808元． 9.（2026届浙江省嘉兴、台州市高三一模）某新能源汽车企业研究一款新型电池，经长期跟踪研究，记录了该款电池容量随行驶里程逐步衰减的数据，详见下表所示.已知电池初始容量为．规定：当电池容量衰减至时，电池寿命进入加速衰减阶段，需引起用户高度重视.现在研究人员尝试分别用一元一次函数和一元二次函数模型分析表格数据，并预测电池寿命.请回答下列问题： 行使里程x（万公里） 0 5 10 15 … 电池容量 m n … (1)首先使用二次函数模型分析，设解析式为，求： ①常数c； ②电池容量降至时，对应的行驶里程； (2)假设数据也适用一次函数模型，说明哪个模型估测的电池容量会更早降至. 【答案】(1)；20万公里 (2)二次函数模型估测的电池容量会更早降至 【知识点】其它常见函数模型的应用、待定系数法、利用已知求解析式中的参数、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意，结合二次函数模型的应用，将，代入函数解析式，即可求得常数c的值，继而求得二次函数解析式，令，即可求得对应里程； （2）根据题意，结合一次函数模型的应用，设出一次函数解析式，将代入，求得参数值，即可求得一次函数解析式，令，求得对应里程，与二次函数模型下对应的里程比较，即可求解. 【详解】（1）因为电池初始容量为， 即当时，，代入得. 由①知，所以， 当电池容量降至时，即， 所以，即， 解得或（舍）； 即电池容量降至时，对应的行驶里程为20万公里. （2）设一次函数解析式为， 将代入得， 解得，所以一次函数解析式为， 令，即，解得. 即一次函数模型下，当电池容量降至时，对应的行驶里程为万公里， 所以二次函数模型估测的电池容量会更早降至. 10.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试二模）网球运动在我国的普及程度越来越高，已从一项“小众运动”发展为拥有广泛群众基础的时尚体育活动，已知网球比赛场地长为24米（其中为边界点），球场中心的球网高度为1米，网球飞行路线为抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，运动员从点处击球，网球飞行过程中在点处达到最高点，网球一定能过网．    (1)若． ①求网球飞行路线的解析式（不必写出变量取值范围）； ②判断此次击球后，网球是否落在对方区域内（含边界），并说明理由； (2)若此次击球后，网球落在对方区域内（含边界），求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②在对方区域内，理由见详解. (2) 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、二次函数的图象分析与判断 【分析】（）①根据题意设出抛物线的顶点式方程，将点代入即可得解. ②令，求出正根后与点进行比较即可得解. （）根据题意设出点斜式方程，结合抛物线的开口方向，过球网，及落在对方区域内列出不等式即可得解. 【详解】（1）①由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 因为，所以顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 因为抛物线过点，则，解得， 所以网球飞行路线的解析式为. 因为此次网球飞行路线的解析式为， ②令，则， 解得，， 因为米，所以，， 所以网球落在对方区域内. （2）抛物线顶点为，且过点， 设网球飞行路线解析式为， 将点代入得，解得， 则，解得，此时网球飞行路线解析式为， 因为网球越过球网，则当时，， 即，解得，综合，此条件自动满足； 又因为网球落在对方区域， 令，则，解得（舍）或， 则，因为，所以恒成立， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 考点3 分段函数模型与实际应用 【典例3】（2024届浙江省湖州、衢州、丽水市中职学校二模）某市为改善城市交通拥堵情况，启动快速路建设工程.根据交通工程学理论，把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征.为研究车辆流量（辆/时）、速度（千米/时）、密度（辆/千米）的关系，测得某路段当时，车流速度；当时，道路堵塞，车流速度；当时，测得车流速度与车流密度之间的部分数据如下表： 密度（辆/千米） 80 100 120 140 160 180 速度（千米/时） 80 70 60 50 40 30 (1)选择恰当的函数模型，写出关于的函数关系式； (2)求时，车流量和车流密度之间的函数关系式.（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)当该路段的车流速度为多少时，车流量最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)， (3)车流速度为60千米/时时，车流量最大为7200辆/时 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】（1）根据题意可判断函数为分段函数，根据实际情况列式即可； （2）根据计算公式即可列式； （3）先求出车流量最大时的速度，进而求解. 【详解】（1）当时，设， 则，解得， .，经检验符合题意； 所求函数关系式为 （2）当时， （3）当时，；当时，； 当时，当，即时， ， 当该路段的车流速度为60千米/时时，车流量最大，最大值是7200辆/时. 【即时训练】 11.（2024届浙江省高校招生宁波市中职一模）某地区按以下规定收取水费：若每月用水不超过，则每立方米水费按2元收取；若超过，则超过的部分按每立方米3元收取.如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.2元，则这户居民这月共用水（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】设这个月共有了立方米的水，依据钱数不变可列方程，依据等式的性质求解即可. 【详解】设该居民这个月共用了立方米的水， 则，即，解得. 所以他这个月共用了25立方米的水. 故选：B. 12.（2022届浙江省普通高职单独考试温州市二模）某商场进行促销活动，规定： （1）如果商品标价不超过500元，则给予9折优惠； （2）如果商品标价超过500元，其中500元内的部分按第（1）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某商品标价为600元，则促销后，实际付款应为（    ） A．420元 B．513元 C．520元 D．540元 【答案】C 【知识点】分段函数模型的应用、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数列出解析式，再代数求解. 【详解】设单价为元，实际付款为元， 根据题意如果商品标价不超过500元，则给予9折优惠可表示为： ， 如果商品标价超过500元，其中500元内的部分按第（1）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠，可表示为 . 当商品标价为600元时，因为， 实际付款元. 故选：C. 13.（2025届浙江省职教高考复习二模）某停车场的停车收费标准如下表所示： 停车收费标准 小型车 大型车 白天 3小时内 2元/1小时 4元/1小时 3小时后 4元/1小时 8元/1小时 夜间（（不含）一次日） 1元/2小时 2元/2小时 注：白天停车收费以1小时为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用 李明驾驶小型车于进入该停车场，并于次日前驶出该停车场，李明缴纳的停车费为元，则李明可能驶出的时间段是（    ） A．当日 B．当日 C．次日 D．次日 【答案】C 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据小车于进入停车场，且停车费为元，可知停车场时长超过3小时，且在夜间使出，再由题中的收费规则即可得出结论. 【详解】由题意得，，停车费6元， ，停车费元，还需缴纳3元车费． 且夜间停车1元/2小时，以2小时为1个计时单位， 由于满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用， 所以夜间停车时长大于6小时，不足8小时，即驶出时间在之间． 故选：C． 14.（2024届浙江省职教高考研究联合体五模）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在某一条件下，每条（尾）鱼的平均生长速度v[单位：千克/（年·条）]是养殖密度x（单位：条/立方米）的函数.当x不超过4条/立方米时，v的值为2千克/（年·条）；当时，v是x的一次函数；当x达到20条/立方米及以上时，因缺氧等原因，v的值为0千克/（年·条）. (1)求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，每立方米的“活水围网”空间里，鱼的年生长量[单位：千克/（年·立方米）]可以达到最大？并求出最大值. 【答案】(1). (2)条/立方米，最大值为. 【知识点】求二次（型）函数的最值、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用、求分段函数的值域或最值 【分析】（1））根据题意，分，与三种情况，得到函数解析式； （2）在（1）的基础上，结合函数单调性得到最值，比较后求出最大值. 【详解】（1）由题意可知， 当且时，千克/（年·条）； 当且时，设， 因为，解得 ∴； 当且时，千克/（年·条）. 综上所述，v关于x的函数解析式为. （2）设每立方米的“活水围网”空间里，鱼的年生长量为y[单位：千克/（年·立方米）]， 则， 所以当且时，； 当且时，， 所以当时，； 当且，； 因为， 所以当养殖密度条/立方米时，每立方米的“活水围网”空间里，鱼的年生长量达到最大，最大值为. 考点4 指数函数模型与实际应用 【典例4】（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试二模）若提供100个成语，小李在分钟内能够记忆的成语个数大致符合，（为常数），若小李在5分钟内能够记忆10个成语，则小李15分钟内能记忆的成语个数大约为（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【知识点】指数函数的应用、指数函数模型的应用 【分析】根据题意，代入函数的解析式，求出，再代入求解即可. 【详解】因为小李在5分钟内能够记忆10个成语，所以，解得. 则小李15分钟内能记忆的成语个数为. 故选：C. 【即时训练】 15.（2025届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量（单位：个）与其繁殖时间（单位：天）满足关系式.繁殖5天后，这种霉菌的数量为20个，10天后数量为40个.若要使这种霉菌的数量达到320个，则需要（   ） A．30天 B．25天 C．22天 D．20天 【答案】B 【知识点】求指数函数解析式、指数函数模型的应用 【分析】根据题意列出方程组，求出的值即可得解. 【详解】某种霉菌的数量（单位：个）与其繁殖时间（单位：天）满足关系式， 根据题意可知，所以，即， 则，解得，所以， 当时，，解得， 所以需要天， 故选：. 16.（2024届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）某传染病传播初期，可用指数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律.据此，在这种传染病传播初期，累计感染病例数增加一倍需要的时间约为（     ）（精确到0.1，参考参数：） A．0.38天 B．0.69天 C．1.8天 D．2.7天 【答案】C 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】利用指数函数模型求解即可. 【详解】设与，因为， 所以，得. 故选：C. 17.（2024届浙江省宁波市、嘉兴市职教高考二模）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是72小时，则该食品在的保鲜时间为（    ） A．18小时 B．20小时 C．24小时 D．36小时 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用 【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解. 【详解】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：） 满足函数关系， 的保鲜时间是144小时，的保鲜时间是72小时， 可得，整理得， 当时，， 所以该食品在的保鲜时间为18小时. 故选：A. 18.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）某医药研究所研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：h）之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后，关于的函数解析式； (2)根据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，求服药一次后，治疗疾病有效的时间. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数函数的应用、分段函数模型的应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由函数的图像设出函数的解析式并求解即可； （2）令求解即可. 【详解】（1）由题意可设 由图像可知，当时，， 代入，可知； 代入，得，即， ，解得. ∴第一次服药后，关于的函数解析式为 （2）由得或 解得， ∴服药一次后，治疗疾病有效的时间是. 考点5 对数函数模型与实际应用 【典例5】（2026届浙江省宁波市职教高考高三一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数内的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（    ） A．11% B．22% C．33% D．100% 【答案】C 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】根据题意，将香农公式进一步化简，再分别求得两个信噪比对应的值，从而得解. 【详解】根据题意，香农公式可以化简为， 当时，， 当时，， 所以C大约增加了. 故选：C. 【即时训练】 19.（2022届浙江省衢州市、丽水市中职学校高三5月质量检测）有一组实验数据如下： 1.98 3.0 4.01 5.0 6.1 1.47 4.02 7.8 12.5 18.24 现在拟用下列函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求具体函数的函数值、对数函数模型的应用、利用二次函数模型解决实际问题、其它常见函数模型的应用 【分析】用排除法求解. 【详解】若是函数，则时，，故排除A； 若是函数，则，，而，故排除B； 若是函数，则时，，排除D， 故选：C． 20.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式，观测发现2019年冬（作为第一年）有越冬白鹤3000只，估计到2025年冬越冬白鹤有（    ） A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 【答案】C 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】根据对数函数模型，分析解答即可. 【详解】由题意可知，当时，， 即， 所以，所以， 到2025年冬，即时， ， 即估计到2025年冬越冬白鹤有6000只. 故选：C. 21世界地球日为每年的4月22日，旨在提高人类对于环境保护问题的重视.今年世界地球日的主题是“全球战塑”.生物学家为了解塑料制品对土壤的影响，常通过检测进行分析.已知土壤中某种塑料制品的残留量（毫克）与时间（年）近似满足关系式，其中是残留系数，则土壤中该塑料制品残留量降为原来的所需时间为（    ） A．63年 B．127年 C．255年 D．511年 【答案】B 【知识点】对数函数模型的应用、对数的运算 【分析】先求解土壤中塑料制品的初始残留量，再将代入函数解析式即可求解时间. 【详解】因为函数关系式为， 当时，，即土壤中塑料制品的初始残留量为8a， 因为计算土壤中该塑料制品残留量降为原来的所需的时间， 将代入函数关系式中，得到， 化简得到，得，解得， 土壤中该塑料制品残留量降为原来的所需时间为年. 故选：B. 22.（2026届浙江省绍兴市中等专业学校高三期中考）生活中一般用pH值表示溶液的酸碱度，pH值具体是指溶液中氢离子浓度的常用对数值的相反数．例如：溶液中氢离子浓度为个单位，则此溶液的pH值为．若有甲、乙两种饮料，甲饮料的pH值为3，乙饮料的pH值为6，则甲饮料的氢离子浓度是乙饮料的________倍． 【答案】1000 【知识点】指数幂的运算、对数函数模型的应用 【分析】根据饮料的pH值与溶液中氢离子浓度的关系，借助指数的运算求解即可； 【详解】根据题意可知，甲饮料的pH值为3，乙饮料的pH值为6， 所以甲饮料的氢离子浓度为个单位，乙饮料的氢离子浓度为个单位， 因为，即甲饮料的氢离子浓度是乙饮料的1000倍， 故答案为：1000 23.（2026届浙江省宁波市北仑职业高级中学)高考班第一次选拔考试）创新是一个国家､一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（单位：千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物总量为12千只，则还需要经过__________个月. 【答案】24 【知识点】简单的对数方程、对数的运算、指数式与对数式的互化、对数函数模型的应用 【分析】分别令，和，，根据对数的运算法则，得和，再令可求解. 【详解】由题意，当时，，则，解得； 当时，，则，可得， 当时，有， 即. 所以还需要经过个月. 故答案为：24 考点6 幂函数模型与实际应用 【典例6】为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密）．现在加密密钥为（为常数），如“4”通过加密后得到的密文是“2”．若接收方得到密文“3”，则解密后得到的明文是_______ 【答案】 【知识点】根据幂函数的性质求参数或解析式、幂函数模型的应用 【分析】根据题中函数的描述解出原函数即可解得. 【详解】由题，加密密匙为， 又知通过加密后得到的密文是， 即，解得，即， 则，解得，即解密后的明文是. 故答案为：. 【即时训练】 24.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂函数模型的应用、根据幂函数的性质求参数或解析式、简单的指数方程 【分析】利用幂函数的应用，结合指数幂的运算求参数即可得解. 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 25.某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为和（万元），事先根据相关资料得出它们与投入资金（万元）的数据分别如下表和图所示：其中已知甲的利润模型为，乙的利润模型为．（为参数，且）. （1）请根据下表与图中数据，分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模型 （2）今将万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于万元．设对乙种产品投入资金（万元），并设总利润为（万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润． 【答案】（1）；（2）当甲产品投入万元，乙产品投入万元时，总利润最大为万元 【知识点】幂函数模型的应用、其它常见函数模型的应用、求二次（型）函数的最值、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】（1）根据题意,将数据分别代入甲、乙两种产品所得的利润与投入资金（万元）的函数模型中,解方程组,即可求出函数表达式. （2）根据题意,设对乙种产品投资,对甲种产品投资,代入两个利润公式,利用换元法求出函数的值域,然后求最大值即可. 【详解】解：（1）由甲的数据表结合模型代入两点可得 代入有 得, 即 由乙的数据图结合模型代入三个点可得,,可得 , 得,, 即 （2）根据题意,对乙种产品投资（万元）,对甲种产品投资（万元）, 那么总利润, 由,解得, 所以, 令,,故, 则, 所以当时,即时,, 答：当甲产品投入万元,乙产品投入万元时,总利润最大为万元 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，28）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 （1）若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； （2）记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c值； （3）根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 【答案】（1）不会响，理由见解析 （2），， （3）没有落地，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格结合题意即可求解. （2）根据待定系数法即可求解. （3）根据把代入二次函数，结合题意即可求解. 【小问1详解】 由题意得，在时，，∵，∴警报器不会响. 【小问2详解】 由题意得，， 则解得，，. 【小问3详解】 由（2）得，， 则， ∴ ∴物体在时，没有落地. 2.（2024年浙江，14）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像分析求解即可. 【详解】根据已知的函数图像可知，前2h的路程为， 因为2h到5h为一次函数，又因为， 所以路程为， 所以总路程为. 故选：C. 3.（2024年浙江，32）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度与时间的监测数据如下表： 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N 0.84 0.88 0.92 0.98 … … 0.92 0.82 … 0.58 0.46 （1）观察数据，比较和这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快； （2）当时，是关于的一次函数，求； （3）当时，是关于的二次函数，且，求为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值. 【答案】（1）时段的药物浓度平均增速快 （2） （3）时，药物浓度最高数值为1 【解析】 【分析】（1）根据图表计算出和的增速比较大小即可. （2）根据血液浓度平均增长求解即可.. （3）根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 在时段的药物浓度平均增速快. 【小问2详解】 因为时，是关于的一次函数， 所以时，血液中的浓度平均增长， 所以. 【小问3详解】 因为， ， 当时，药物浓度最高数值为1. 4. （2023年浙江，30）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 【答案】（1） （2）57人，最大利润为20490元 【解析】 【分析】（1）根据题意分段解答; （2）根据利润=单价×数量列出函数，再根据二次函数性质找到最值. 【小问1详解】 由题意可得: 即: 【小问2详解】 由题意可得: 即 ∵ ∴ ∴当人时， 元 答：当培训人数为57人时，培训机构利润最大，最大利润为20490元． 4.（2022年浙江，33）在2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，已知某运动员从起跳点开始，直到落在雪坡上为止，在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）符合二次函数关系．如图所示，以这个运动员起跳点为坐标原点O，建立平直角坐标系（单位：米）．点A为二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC垂直于x轴，测得相关数据如下：米，米．． 求： （1）落地点B的坐标； （2）高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式； （3）该运动员飞行到最高点时的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）已知的横坐标，根据几何关系求的纵坐标. （2）由题意可知原点，点和点在二次函数图像上，由三点即可解出二次函数解析式. （3）根据二次函数图像即可求出最高点坐标. 【小问1详解】 因为米，米，所以米， 又因为， 所以， 故点B的坐标为． 【小问2详解】 设所求二次函数的解析式为， 因为此函数图像经过点，点和点， 所以，解得． 所以，所求二次函数的解析式为. 【小问3详解】 因为， 所以，当时，． 该运动员飞行到最高点的坐标为． 5.（2021年浙江，33）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上满足二次函数关系，下表记录了三次实验的数据： 加工时间 … 2 3 4 … 可食用率 … 0.28 0.82 0.96 … （1）求可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上的二次函数关系式； （2）若不考虑其它因素，求爆米花可食用率最高时的加工时间. 【答案】（1） （2）3.85 【解析】 【分析】（1）根据关系二次函数，将实验数据代入求解即可. （2）根据（1）求出的函数式，求解对称轴即可求解最佳加工时间即可. 【小问1详解】 设u为可食用率，t为加工时间，设 由已知得：，得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以当时，u有最大值，即最佳加工时间为3.85分钟. 二、【考向感知】 浙江中职高考函数应用命题稳定、模型集中、重基础、强应用。二次函数建模 + 最值是绝对核心，抓住 “建模 — 定义域 — 最值 — 验证” 四步，即可稳拿该板块大部分分值。2026 年备考以二次函数为主、分段函数为辅，强化计算与审题，是提分关键。 1、考纲定位与分值地位 (1)考纲要求（2026 年起依新课标） 核心要求：理解一次、二次函数模型，了解指数、对数、分段函数模型 能力目标：能从实际问题（几何、利润、效率、行程等）抽象函数关系、确定定义域、求最值、最优解、验证结果合理性 新课标导向：强化数学建模、数据分析、应用意识，贴合职教 “实用、够用” 原则 （2）分值与题型占比（近年稳定） 总分占比：15%–20%（约 22–30 分） 题型分布： 选择题、填空题：2–4 题（6–12分），基础题，考函数性质、图像、简单应用 解答题：固定1道大题（10–12 分），中档为主，必考函数建模 + 最值、范围求解 2、命题规律与热点特征 （1）模型类型：高度集中，二次函数为主 二次函数模型（绝对高频，约 80%） 情境：面积最值、利润最大化、效率最优、用料最省 考法：求解析式→定义域→对称轴、顶点→最值 （2）一次、分段函数模型（次高频） 情境：行程、成本、计费、匀速运动 考法：斜率（速度、单价）、分段解析式、图像读图 （3）指数、对数模型（低频了解） 情境：增长、衰减、细胞分裂、浓度变化 考法：运算、单调性、简单求值 3、 备考策略 （1）模型全覆盖，重点突破二次函数 （2）解题流程标准化（必背） ①审题：圈变量、单位、限制条件 ②建模：设 x→列关系→写y=f(x)→标定义域 ③求解：代数变形、配方法、单调性→求最值 ④验证：结果是否符合实际（正、整数、范围） ⑤作答：完整答句 + 单位 （3）题型专项训练 · 几何面积类：矩形、三角形、组合图形 · 经济利润类：单价、销量、成本、折扣 · 效率最优类：时间、合格率、用料 · 分段计费类：行程、水电、通讯 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $