专题12 函数模型及应用（练习）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题12 函数模型及应用 【考点1 一次函数模型与应用】 1. 某电商平台上一种商品的销量（件）与商品的好评率（%）成一次函数关系．当好评率为 80% 时，销量为 200 件；当好评率为 90% 时，销量为 300 件．则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 2. 一个机器人在生产线上工作，它的工作效率（单位时间内生产的产品数量）与工作时间成一次函数关系．开始工作 1 小时时，生产了 10 个产品；工作 3 小时时，生产了 30 个产品．设工作时间为小时，生产产品数量为个，则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 3. 据调查，某存车处（只存放自行车和电动车）在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 4.某种藤类植物四个阶段的平均长度y（）与生长时间x（天）的函数关系图象如图所示．当藤蔓长度大约在115时，植物进入浆果生长期，此时植物的生长天数是（    ） A．90 B．95 C．140 D．143 5.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件） A类 7.5 B类 6 若制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发______件，最高产值为______万元． 6.2025年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了_____小时． 【考点2 二次函数模型及应用】 7. 某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，则商场每天的销售利润W（元）与每件的销售价格x（元）的函数关系是为（   ） A． B． C． D． 8.某商品在最近30天内的销售单价m与时间t(单位：天)的函数关系是；销售量y与时间t的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为（    ） A． B． C． D． 9.某汽车销售公司在，两地销售同一品牌的汽车，在地的销售利润（单位：万元），在地的销售利润（单位：万元），其中为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（   ） A．10.5万元 B．11万元 C．43万元 D．43.025万元 10.某电子产品的销售利润（万元）与产量（千件）之间的函数关系为，则产量为________ 千件时，销售利润最大. 11.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，生产量每增加一个单位产品，成本增加1万元.又知总收入R是单位产量Q的函数：，则总利润的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________单位. 12.某景区为了给游客们提供便利，在景区内开设了一家24小时营业的百货超市．根据近一年的消费数据反馈，顾客数量随着一天中的时间的变化可用函数表示，其图像如下图所示，其中是以小时为单位的时间变量，假设一天中的时间自凌晨0点开始计时． +     (1)求函数的表达式； (2)当顾客数量少于200人时，该超市不盈利，则一天中有多少小时该超市不盈利？ 13.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当时，求函数的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. 【考点3 分段函数模型及应用】 14. 某电子元件工作时电流强度随时间变化的规律为：当时，当时，当时在时的电流强度为 （    ）. A． B． C． D． 15. 某银行零存整取利息计算规则：每月存入金额元按年利率计息，超过部分按计息.某月存入元，该月利息为 （    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 16.某商场开展促销活动，顾客购买商品的总价（元）与商品的原价（元）以及折扣方式有关．若原价不超过 500 元，无折扣；若原价超过 500 元但不超过 1000 元，打 9 折；若原价超过 1000 元，超过 1000 元的部分打 8 折，其余部分打 9 折．设顾客购买商品的总价（元）与商品原价（元）的函数关系式为（分情况讨论），当时，的值为（    ）． A．1060 B．1080 C．1100 D．1120 17.电工安装照明系统，若安装灯具数量不超过 40 盏，每盏灯具的安装成本为 30 元；若安装灯具数量超过 40 盏但不超过 80 盏，超过部分每盏灯具安装成本为 25 元；若安装灯具数量超过 80 盏，超过 80 盏的部分每盏灯具安装成本为 20 元.现安装了 90 盏灯具，总的安装成本是_____元. 18.某机械厂生产某种零件，当生产数量不超过个时，每个零件的成本为 元；当生产数量超过 个时，超过部分每个零件的成本为元.设生产零件数量为个，总成本为元，则当时，_____. 19.某大学为进行为期90天的“三创”赛实战项目，前往某农村进行产品销售．已知该产品的成本为40元/件，项目组长根据市场情况列出了以下表格． 表1 该产品90天内时间和日销量的关系 时间第天 1 3 6 10 … 日销量/件 198 194 188 180 … 表2 该产品90天内时间和销售价格的关系 时间第天 销售价格（元/件） 100 (1)设销售该产品的日利润为元，请写出关于的函数表达式，并求出第几天该产品的销售利润最大？最大利润为多少？ (2)若该比赛规定90天内有不少于25天的销售利润不低于5400元即可晋级，则该小组能否顺利晋级？ 【考点4 指数与对数函数模型及应用】 20. 某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为（   ） A．p B．12p C． D． 21.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 22.核酸检测在新冠病毒防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（参考数据：），（   ） A．36.9 B．41.15 C．58.5 D．63.1 23.某型号发动机的使用寿命（单位：小时）与保养频率（次 / 月）的关系为.要使发动机使用寿命达到小时，保养频率至少为（     ）.（参考数据：） A．3 次 / 月 B．4 次 / 月 C．5 次 / 月 D．6 次 / 月 24.某公司的利润（单位：万元）与广告投入（单位：万元）满足关系.当广告投入为万元时，公司利润为（    ）.（ 参考 ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 25.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式，观测发现2015年冬（作为第一年）有越冬白鹤3000只，估计到2021年冬越冬白鹤有（    ）． A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 26.如图所示给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（    ） A．指数函数： B．对数函数： C．幂函数： D．二次函数： 27.某品牌手机的电池电量剩余百分比 y 与使用时间 x（单位：小时）满足指数函数关系.当使用 2 小时后，电量剩余 ；当使用 4 小时后，电量剩余 .则当使用 6 小时后，电量剩余百分比 __________ . 28.一杯热水的温度 T（单位：℃）与放置时间 t（单位：分钟）满足指数函数，室温为 20℃，刚倒出的热水温度为 100℃，5 分钟后水温变为 80℃，则 10 分钟后水温 T = __________ . 29.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是________m/s。 30.在机械切割过程中，刀具的磨损量（单位：毫米）与切割材料的长度（单位：米）满足.已知切割米材料时，刀具磨损量，则____. 【考点1 二次函数与分段函数模型及应用】 31.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人类的健康造成了一定的危害，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）分别满足，，设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）． (1)求的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大． 32.某大学生利用暑假天进行社会实践，参与了一家网店的经营．已知一种成本为元/件的新型商品在第天销售的相关信息见下表，且销售单价（元/件）与第天的函数关系为 销售天数第天 销售量件 (1)求该网店第天的销售量（件）关于的一次函数关系式； (2)求该网店第天获得的利润关于的函数关系式； (3)在这天中，该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？ 33.近年来，“无废城市”、“双碳”战略与循环经济的理念深入人心，垃圾分类政策的出台对厨余垃圾处理市场需求的释放起到了积极作用．某企业响应政策号召，引进了一个厨余垃圾加工处理项目．已知该企业日加工处理厨余垃圾成本（单位：元）与日加工处理厨余垃圾量（单位：吨）之间的函数关系可表示为. (1)为使该企业能可持续发展，政府决定给予处理每吨厨余垃圾260元的补助，当日加工处理厨余垃圾量在什么范围内时，该企业不亏损？ (2)当日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？ 【考点2 指数函数与对数函数模型及应用 】 34.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励，记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）. (1)写出奖金关于销售利润的关系式； (2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 35.某家庭每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为. (1)当气温为时，求天然气使用量（保留两位小数）；（参考数据：） (2)若天然气使用量为立方米，求此时的气温.(参考数据：) 36.某机械零件在特殊工艺处理后的耐用度（小时）与工作时长（小时）满足指数函数关系. (1)求工作小时后的耐用度. (2)若耐用度降至小时，大约工作了多长时间？（结果保留整数，参考数据：，，） 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，28）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 （1）若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； （2）记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c值； （3）根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 2.（2024年浙江，14）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 3.（2024年浙江，32）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度与时间的监测数据如下表： 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N 0.84 0.88 0.92 0.98 … … 0.92 0.82 … 0.58 0.46 （1）观察数据，比较和这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快； （2）当时，是关于的一次函数，求； （3）当时，是关于的二次函数，且，求为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值. 4. （2023年浙江，30）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 4.（2022年浙江，33）在2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，已知某运动员从起跳点开始，直到落在雪坡上为止，在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）符合二次函数关系．如图所示，以这个运动员起跳点为坐标原点O，建立平直角坐标系（单位：米）．点A为二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC垂直于x轴，测得相关数据如下：米，米．． 求： （1）落地点B的坐标； （2）高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式； （3）该运动员飞行到最高点时的坐标． 5.（2021年浙江，33）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上满足二次函数关系，下表记录了三次实验的数据： 加工时间 … 2 3 4 … 可食用率 … 0.28 0.82 0.96 … （1）求可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上的二次函数关系式； （2）若不考虑其它因素，求爆米花可食用率最高时的加工时间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题12 函数模型及应用 【考点1 一次函数模型与应用】 1. 某电商平台上一种商品的销量（件）与商品的好评率（%）成一次函数关系．当好评率为 80% 时，销量为 200 件；当好评率为 90% 时，销量为 300 件．则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一次函数的图象或性质确定参数 【分析】根据题意，可设出函数关系式，利用待定系数法，即可求出商品销量与商品的好评率的函数关系，代入即可求解. 【详解】设，把，和，代入， 得到， 两式相减得，解得， 把代入， 得，解得， 所以， 故选： A． 2. 一个机器人在生产线上工作，它的工作效率（单位时间内生产的产品数量）与工作时间成一次函数关系．开始工作 1 小时时，生产了 10 个产品；工作 3 小时时，生产了 30 个产品．设工作时间为小时，生产产品数量为个，则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其它常见函数模型的应用、由一次函数的图象或性质确定参数 【分析】根据题意，可设出函数关系式，利用待定系数法，代入即可求解. 【详解】设，把，和，代入， 得到，两式相减得，解得， 把代入，得，解得， 所以， 故选： A． 3. 据调查，某存车处（只存放自行车和电动车）在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与性质的分析与判断 【分析】根据题意中的收入由自行车的收入加电动车的收入计算即可. 【详解】由题意，因为自行车存车量为x辆次， 所以电动车存车量为辆次， 所以. 故选：D． 4.某种藤类植物四个阶段的平均长度y（）与生长时间x（天）的函数关系图象如图所示．当藤蔓长度大约在115时，植物进入浆果生长期，此时植物的生长天数是（    ） A．90 B．95 C．140 D．143 【答案】B 【知识点】待定系数法、一次函数图象与性质的分析与判断 【分析】根据对应段的图象由待定系数法求解函数解析式即可求解天数. 【详解】设时，， 根据题意得：，解得， ∴， 当时，，解得， 即此时植物的生长天数是95天. 故选：B． 5.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件） A类 7.5 B类 6 若制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发______件，最高产值为______万元． 【答案】 20 330 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数基本性质的综合应用、一次函数图象与性质的分析与判断 【分析】先设未知数，根据人员数量限制确定变量范围，进而求解. 【详解】设应开发A类电子器件件，则开发B类电子器件（）件． 根据题意，得，解得， 由题意，总产值， 因为，y随x增大而增大， 当且仅当时，取最大值330． 所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 故答案为：20，330 6.2025年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了_____小时． 【答案】3 【知识点】一次函数图象与性质的分析与判断 【分析】根据函数图像求出解析式即可得解. 【详解】根据函数图象可知， 为一次函数，且过点， 设的解析式为：，则，解得， 所以的解析式为， 当时，则，解得， 小亮从家到青岛崂山景区一共用了3个小时， 故答案为：. 【考点2 二次函数模型及应用】 7. 某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，则商场每天的销售利润W（元）与每件的销售价格x（元）的函数关系是为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】根据销售利润每件的利润每天的销售量，列出关系即可. 【详解】每件的销售价x元，则每件商品的利润为元， 又每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数， 那么每天销售利润， 因为，所以，即， 故选：D. 8.某商品在最近30天内的销售单价m与时间t(单位：天)的函数关系是；销售量y与时间t的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】根据日销售金额等于销售量乘以销售单价即可求解. 【详解】由题意可得，日销售金额为， 即，等价于，解得. 所以使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为. 故选：B. 9.某汽车销售公司在，两地销售同一品牌的汽车，在地的销售利润（单位：万元），在地的销售利润（单位：万元），其中为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（   ） A．10.5万元 B．11万元 C．43万元 D．43.025万元 【答案】C 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、求二次（型）函数的最值、实际问题中的定义域 【分析】根据题意，结合该公司在，两地的销售利润与销售量之间的关系，表示出总利润与在地的销售量为x辆之间的函数关系式，结合二次函数求最值，利用配方法即可求解. 【详解】由题意，设销售利润为万元，在地的销售量为x辆，则在B地的销售量为辆，且，， 所以， 所以函数图像开口向下，对称轴为， 所以当或 时，函数取得最大值， 即万元，万元， 即该公司能获得的最大利润是43万元. 故选：C. 10.某电子产品的销售利润（万元）与产量（千件）之间的函数关系为，则产量为________ 千件时，销售利润最大. 【答案】 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】根据二次函数的性质求解最值即可. 【详解】对于二次函数，， 图象开口向下，对称轴为， 所以当千件时，销售利润最大. 故答案为： 11.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，生产量每增加一个单位产品，成本增加1万元.又知总收入R是单位产量Q的函数：，则总利润的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________单位. 【答案】 250 300 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】由二次函数的图像及性质即可求解. 【详解】∵总利润=总收入－成本, ∴. 当生产数量时,取得最大值250. 故答案为: 250；300 12.某景区为了给游客们提供便利，在景区内开设了一家24小时营业的百货超市．根据近一年的消费数据反馈，顾客数量随着一天中的时间的变化可用函数表示，其图像如下图所示，其中是以小时为单位的时间变量，假设一天中的时间自凌晨0点开始计时． +     (1)求函数的表达式； (2)当顾客数量少于200人时，该超市不盈利，则一天中有多少小时该超市不盈利？ 【答案】(1) (2)8 【知识点】待定系数法、利用二次函数模型解决实际问题、二次函数的图象分析与判断 【分析】（1）根据函数图像求解函数解析式即可； （2）根据函数解析式列式求解即可； 【详解】（1）因为函数，且图像过点、顶点. 所以，解得， 所以函数； （2）当顾客数量少于200人时，该超市不盈利； 所以，解得或； 因为， 所以不盈利的时间段为、， 即一天中有个小时不盈利. 13.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当时，求函数的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. 【答案】(1) (2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 【知识点】求分段函数的值域或最值、分段函数模型的应用、求分段函数解析式或求函数的值、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意，函数表达式为分段函数的形式，关键在于求函数在时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法即可求得. （2）先在区间上，求得为增函数，得，然后在区间上用二次函数的性质求出函数的最大值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间上的最大值. 【详解】（1）由题意，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数. 当时，设， 由题意得，解得， 故当时，函数表达式为，. （2）依题意，当时，， 并由（1）可得，车流量， 当时，为增函数，， 当时，， 当时，在区间上取得最大值， 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 【考点3 分段函数模型及应用】 14. 某电子元件工作时电流强度随时间变化的规律为：当时，当时，当时在时的电流强度为 （    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】由题意，电流强度满足分段函数，根据自变量的取值代入对应的函数解析式中即可求解. 【详解】由题意，电流强度满足分段函数， 因为 ，所以. 故选：B. 15. 某银行零存整取利息计算规则：每月存入金额元按年利率计息，超过部分按计息.某月存入元，该月利息为 （    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】由题意，将存入的元拆分成元和元两部分，分别计算月利息即可求解. 【详解】由题意，将存入的元拆分成元和元两部分， 则元部分月利率为：，利息为元； 元部分月利率为：，利息为元 因此月利息为 元. 故选：A. 16.某商场开展促销活动，顾客购买商品的总价（元）与商品的原价（元）以及折扣方式有关．若原价不超过 500 元，无折扣；若原价超过 500 元但不超过 1000 元，打 9 折；若原价超过 1000 元，超过 1000 元的部分打 8 折，其余部分打 9 折．设顾客购买商品的总价（元）与商品原价（元）的函数关系式为（分情况讨论），当时，的值为（    ）． A．1060 B．1080 C．1100 D．1120 【答案】A 【知识点】分段函数模型的应用、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据题意列出相应的函数解析式，再将代入相应的函数解析式中即可求解. 【详解】根据题意可得总价（元）与商品原价（元）的函数关系式为 ，即， 所以当时，. 故选： A． 17.电工安装照明系统，若安装灯具数量不超过 40 盏，每盏灯具的安装成本为 30 元；若安装灯具数量超过 40 盏但不超过 80 盏，超过部分每盏灯具安装成本为 25 元；若安装灯具数量超过 80 盏，超过 80 盏的部分每盏灯具安装成本为 20 元.现安装了 90 盏灯具，总的安装成本是_____元. 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，即可求解. 【详解】由题意，安装了 90 盏灯具时， 前 40 盏成本为元； 40 到 80 盏这 40 盏成本为元； 超过 80 盏的部分为盏，这 10 盏成本为元. 所以总安装成本为元. 故答案为：. 18.某机械厂生产某种零件，当生产数量不超过个时，每个零件的成本为 元；当生产数量超过 个时，超过部分每个零件的成本为元.设生产零件数量为个，总成本为元，则当时，_____. 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用 【分析】首先计算出前个零件成本，再计算出超出个的部分的成本，令其相加即可. 【详解】因为，前个零件成本为元， 超过个的部分为个， 这个零件成本为元， 所以总成本元. 故答案为：. 19.某大学为进行为期90天的“三创”赛实战项目，前往某农村进行产品销售．已知该产品的成本为40元/件，项目组长根据市场情况列出了以下表格． 表1 该产品90天内时间和日销量的关系 时间第天 1 3 6 10 … 日销量/件 198 194 188 180 … 表2 该产品90天内时间和销售价格的关系 时间第天 销售价格（元/件） 100 (1)设销售该产品的日利润为元，请写出关于的函数表达式，并求出第几天该产品的销售利润最大？最大利润为多少？ (2)若该比赛规定90天内有不少于25天的销售利润不低于5400元即可晋级，则该小组能否顺利晋级？ 【答案】(1)；第40天该产品的销售利润最大，最大利润为7200元 (2)该小组能顺利晋级，理由见解析 【知识点】分段函数模型的应用、求二次（型）函数的最值、二次函数的图象分析与判断、一次函数图象与性质的分析与判断 【分析】（1）根据题意，可先设出日销量随时间的变化成一次函数关系式，利用待定系数法，求得日销量与时间之间的关系式；再表示出销售价格与时间之间的函数关系式，结合分段函数，继而求得日利润关于的函数表达式，结合分段函数求最值，二次函数和一次函数的图像和性质，即可求得函数的最值，继而求解； （2）根据题意，结合日利润关于的函数表达式，令，结合二次不等式和一次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）由表1数据可知，日销量随时间的变化成一次函数关系，设，则， 解得， 所以日销量与时间之间的关系式为， 由表2数据可知，销售价格与时间之间的函数关系式为， 所以当时间时，日利润， 当时间时，日利润， 所以日利润关于的函数表达式为， 当时，， 此时，当时，函数取得最大值，即； 当时，，是一次函数，且为单调减函数， 所以时，函数取得最大值，即， 综上所述，第40天该产品的销售利润最大，最大利润为7200元. （2）由（1）知，日利润关于的函数表达式为， 令，当时，， 即，所以，解得， 又，所以； 当，，即，解得， 又，所以， 综上所述，，故共有46天的销售利润不低于5400元， 故该小组能顺利晋级. 【考点4 指数与对数函数模型及应用】 20. 某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为（   ） A．p B．12p C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】根据指数函数模型列式求解. 【详解】设原有总产值为a，年平均增长率为r，则，解得． 故选：D． 21.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指数函数解析式、指数函数模型的应用 【分析】根据题意归纳出分裂次数与细胞个数之间的关系，可知函数符合指数函数模型，进而可得函数关系式. 【详解】由题意可知，分裂一次后细胞个数为个， 分裂两次后细胞个数为个， …… 分裂x次后细胞个数为个， 所以函数关系式为. 故选：D. 22.核酸检测在新冠病毒防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（参考数据：），（   ） A．36.9 B．41.15 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【知识点】简单的指数方程、指数函数模型的应用 【分析】根据题意，结合指数增长模型，列出方程即可得解. 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a，每扩增一次，DNA的数量就增加． 扩增5次后，数量变为原来的10倍，可得， 所以，所以， 可得， 所以， 故选：C． 23.某型号发动机的使用寿命（单位：小时）与保养频率（次 / 月）的关系为.要使发动机使用寿命达到小时，保养频率至少为（     ）.（参考数据：） A．3 次 / 月 B．4 次 / 月 C．5 次 / 月 D．6 次 / 月 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化、对数函数模型的应用 【分析】列出等式然后利用对数式与指数式的互化可求. 【详解】由题得，，即. .因为，所以， 因为，所以， 即要使发动机使用寿命达到小时，保养频率至少为6次， 故选：D. 24.某公司的利润（单位：万元）与广告投入（单位：万元）满足关系.当广告投入为万元时，公司利润为（    ）.（ 参考 ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】根据题意把万元代入中即可得解. 【详解】由题意，利润（单位：万元）与广告投入（单位：万元）满足关系， 把万元，代入中，得万元， 故选：. 25.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式，观测发现2015年冬（作为第一年）有越冬白鹤3000只，估计到2021年冬越冬白鹤有（    ）． A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 【答案】C 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】根据对数函数模型进行解答即可. 【详解】当时，由得， ∴到2021年冬，即第7年，． 故选:C. 26.如图所示给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（    ） A．指数函数： B．对数函数： C．幂函数： D．二次函数： 【答案】A 【知识点】指数函数模型的应用、对数函数模型的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】观察散点图的增长性，结合各基本初等函数的图象性质即可得解. 【详解】由散点图可知，随着时间的增长，枝数呈爆炸性增长， 对于A，指数函数模型的增长性为爆炸性增长，故A正确； 对于BCD，对数函数模型、幂函数模型、二次函数模型增长相较之下缓慢，故BCD错误. 故选：A. 27.某品牌手机的电池电量剩余百分比 y 与使用时间 x（单位：小时）满足指数函数关系.当使用 2 小时后，电量剩余 ；当使用 4 小时后，电量剩余 .则当使用 6 小时后，电量剩余百分比 __________ . 【答案】 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】根据题意列出方程组即可得解. 【详解】手机的电池电量剩余百分比 y 与使用时间 x（单位：小时）满足指数函数关系， 当使用 2 小时后，电量剩余 ；使用 4 小时后，电量剩余 ， 则，解得， 当使用 6 小时后，电量剩余百分比， 故答案为：. 28.一杯热水的温度 T（单位：℃）与放置时间 t（单位：分钟）满足指数函数，室温为 20℃，刚倒出的热水温度为 100℃，5 分钟后水温变为 80℃，则 10 分钟后水温 T = __________ . 【答案】64℃ 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】根据题意求出值，代入解析式中即可得解. 【详解】已知（初始水温）， 当时，，代入得，，. 当时，， 故答案为：64℃. 29.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是________m/s。 【答案】 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】分别将代入即可得解. 【详解】因为鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是， 其中表示鱼的耗氧量的单位数， 所以当一条鱼的耗氧量是2700个单位时， 它的游速是. 故答案为：. 30.在机械切割过程中，刀具的磨损量（单位：毫米）与切割材料的长度（单位：米）满足.已知切割米材料时，刀具磨损量，则____. 【答案】毫米 【知识点】对数函数模型的应用 【分析】根据题意列出方程即可得解. 【详解】根据题意，把米，代入， 可得，即，解得， 故答案为：毫米. 【考点1 二次函数与分段函数模型及应用】 31.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人类的健康造成了一定的危害，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社将每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）分别满足，，设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为（单位：万元）． (1)求的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大． 【答案】(1)万元 (2)当甲大棚的投入为128万元，乙大棚的投入为72万元时，才能使总收益最大，最大值为282万元. 【知识点】已知函数类型求解析式、利用二次函数模型解决实际问题、求具体函数的函数值、求二次（型）函数的最值 【分析】（1）根据题意，结合甲、乙两个大棚的年收入与投入的函数关系式，表示出总收益为与甲大棚的投入之间的函数关系，代入即可求解； （2）根据题意，结合二次函数求最值，利用换元法和配方法，即可求解. 【详解】（1）由题意，设甲大棚的投入为万元，则乙大棚的投入为万元， 所以，解得， 所以总收益， 化简得， 所以万元； （2）由（1）知，， 令，则， 所以， 所以当，总收益取得最大值，即万元， 此时，甲大棚投入万元，乙大棚投入万元， 即当甲大棚的投入为128万元，乙大棚的投入为72万元时，才能使总收益最大，最大值为282万元. 32.某大学生利用暑假天进行社会实践，参与了一家网店的经营．已知一种成本为元/件的新型商品在第天销售的相关信息见下表，且销售单价（元/件）与第天的函数关系为 销售天数第天 销售量件 (1)求该网店第天的销售量（件）关于的一次函数关系式； (2)求该网店第天获得的利润关于的函数关系式； (3)在这天中，该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)该网店第天获得的利润最大，最大利润为元 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数模型的应用、求二次（型）函数的最值、其它常见函数模型的应用 【分析】（1）设，代入表格中的两组数据解方程即可. （2）根据利润（销售单价成本）销售量，分段讨论即可. （3）分别根据二次函数和反比例函数的单调性求最值即可. 【详解】（1）设一次函数， 将代入， 得，解得， 即 验证当时，符合表格数据， 所以. （2）已知， 由（1）可知，， 所以当时， 当时， ， 综上所述，. （3）当时， ，这是开口向下的抛物线， 且对称轴， 所以当时，（元）， 当时， ，在该区间内单调递减， 所以当时， ， 综上所述，该网店第天获得的利润最大，最大利润为元. 33.近年来，“无废城市”、“双碳”战略与循环经济的理念深入人心，垃圾分类政策的出台对厨余垃圾处理市场需求的释放起到了积极作用．某企业响应政策号召，引进了一个厨余垃圾加工处理项目．已知该企业日加工处理厨余垃圾成本（单位：元）与日加工处理厨余垃圾量（单位：吨）之间的函数关系可表示为. (1)为使该企业能可持续发展，政府决定给予处理每吨厨余垃圾260元的补助，当日加工处理厨余垃圾量在什么范围内时，该企业不亏损？ (2)当日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？ 【答案】(1)的取值范围为时，不亏损. (2)当日加工处理厨余垃圾量为吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低. 【知识点】分段函数模型的应用、利用基本不等式求最值、求分段函数的值域或最值、由分段函数的值域或最值求参数 【分析】（）根据题意求出利润为的解析式，令即可得解. （）根据题意分别算出和时，处理每吨厨余垃圾的平均成本的最低值即可得解. 【详解】（1）设该企业日加工处理厨余垃圾的利润为， 则， 化简得， 令，当时，，解得，所以此时， 当时，， ， 则，，解得， 所以此时， 综上所述，的取值范围为时，不亏损. （2）当时，，此时处理每吨厨余垃圾的平均成本最低为元. 当时，， 当且仅当即吨时等号成立，此时处理每吨厨余垃圾的平均成本最低为元. 因为， 所以当日加工处理厨余垃圾量为吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低. 【考点2 指数函数与对数函数模型及应用 】 34.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励，记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）. (1)写出奖金关于销售利润的关系式； (2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算性质的应用、分段函数模型的应用、对数函数模型的应用 【分析】（1）利用分段函数模型写出解析式即可得出奖金关于销售利润的关系式； （2）显然销售利润大于20万元，解对数方程可得销售利润是万元. 【详解】（1）根据题意可知，当销售利润时，； 当时，； 所以可得奖金关于销售利润的关系式为； （2）易知当时，奖金不可能为10万元， 所以令，即，解得； 即业务员老江的销售利润是万元. 35.某家庭每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为. (1)当气温为时，求天然气使用量（保留两位小数）；（参考数据：） (2)若天然气使用量为立方米，求此时的气温.(参考数据：) 【答案】(1)（立方米） (2) 【知识点】指数函数模型的应用 【分析】（1）根据题意，代入气温计算天然气使用量； （2）根据天然气使用量列方程，通过对数运算求解气温. 【详解】（1）由题意，每月的天然气使用量（立方米）与气温（）的关系近似为， 当时，（立方米）. （2）已知，即， 即，， 两边取对数， 解得， 故此时的气温. 36.某机械零件在特殊工艺处理后的耐用度（小时）与工作时长（小时）满足指数函数关系. (1)求工作小时后的耐用度. (2)若耐用度降至小时，大约工作了多长时间？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)约为小时 (2)小时 【知识点】已知函数值求自变量或参数、指数函数模型的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）直接将工作时长代入函数即可计算耐用度. （2）根据给定耐用度列方程，利用对数运算求解工作时长. 【详解】（1）因为耐用度（小时）与工作时长（小时）满足指数函数关系， 所以当时，， 所以工作小时后的耐用度约为小时. （2）已知，则，即， 所以（小时）. 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，28）在一抛物实验中，物体从平台抛出，高度传感器记录了物体在某时刻t（单位：秒）时离地面的高度数据，记实际数据为；若不考虑空气阻力因素，根据物理理论计算得到理论，高度数据为，部分数据如下： t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.9 51 52.79 52.18 49.17 43.76 35.95 25.74 13.13 51 52.775 52.1 48.975 43.4 35.375 24.9 11.975 （1）若在35.5米高处安装了警报器，当物体到达该高度时警报器会响. 问：在时刻，警报器是否会响，请说明理由； （2）记，若满足二次函数规律，设，请根据表中数据，求a，b，c值； （3）根据（2）中的条件，判断物体在时，是否已落地，请说明理由. 【答案】（1）不会响，理由见解析 （2），， （3）没有落地，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格结合题意即可求解. （2）根据待定系数法即可求解. （3）根据把代入二次函数，结合题意即可求解. 【小问1详解】 由题意得，在时，，∵，∴警报器不会响. 【小问2详解】 由题意得，， 则解得，，. 【小问3详解】 由（2）得，， 则， ∴ ∴物体在时，没有落地. 2.（2024年浙江，14）随着全民健身理念深入人心，越来越多人在春暖花开时节来到户外，享受运动乐趣.已知某徒步路线全程由上坡和下坡两段构成.假设某人徒步上坡和下坡的速度均为匀速，且徒步的路程与时间的函数图像如图所示，则徒步3小时30分钟的路程是（ ） A. 6.125km B. 11.2km C. 8.3km D. 10.475km 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像分析求解即可. 【详解】根据已知的函数图像可知，前2h的路程为， 因为2h到5h为一次函数，又因为， 所以路程为， 所以总路程为. 故选：C. 3.（2024年浙江，32）某药物进入动物体内一段时间后进行实时监测，药物在血液中的浓度与时间的监测数据如下表： 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 N 0.84 0.88 0.92 0.98 … … 0.92 0.82 … 0.58 0.46 （1）观察数据，比较和这两个时间段，哪个时间段的药物浓度平均增速快； （2）当时，是关于的一次函数，求； （3）当时，是关于的二次函数，且，求为多少时药物浓度达到最高，并求出最高值. 【答案】（1）时段的药物浓度平均增速快 （2） （3）时，药物浓度最高数值为1 【解析】 【分析】（1）根据图表计算出和的增速比较大小即可. （2）根据血液浓度平均增长求解即可.. （3）根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 在时段的药物浓度平均增速快. 【小问2详解】 因为时，是关于的一次函数， 所以时，血液中的浓度平均增长， 所以. 【小问3详解】 因为， ， 当时，药物浓度最高数值为1. 4. （2023年浙江，30）某公司甲为提高员工的综合素质，聘请专业机构乙对员工进行上岗前专业技术和职业素养培训．培训机构乙在对公司甲每位员工进行培训时，要向公司甲收取相关的培训费，培训机构乙按以下方案和公司甲进行培训费用结算： ①若公司甲参加培训的人员总人数不超过30人，则每人的培训费用为840元； ②若公司甲参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每个人的培训费就相应减少10元，但参加培训的员工人数最多为70人．若公司甲参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元． （1）写出y与之间的函数关系式； （2）若培训机构乙的培训总成本固定为12000元，设培训机构乙的利润为Q，如果公司甲能够参加培训的人数在40~70人之间，则当公司甲参加培训的员工有多少人时，培训机构乙可获得最大利润？最大利润是多少． 【答案】（1） （2）57人，最大利润为20490元 【解析】 【分析】（1）根据题意分段解答; （2）根据利润=单价×数量列出函数，再根据二次函数性质找到最值. 【小问1详解】 由题意可得: 即: 【小问2详解】 由题意可得: 即 ∵ ∴ ∴当人时， 元 答：当培训人数为57人时，培训机构利润最大，最大利润为20490元． 4.（2022年浙江，33）在2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，已知某运动员从起跳点开始，直到落在雪坡上为止，在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）符合二次函数关系．如图所示，以这个运动员起跳点为坐标原点O，建立平直角坐标系（单位：米）．点A为二次函数图像与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC垂直于x轴，测得相关数据如下：米，米．． 求： （1）落地点B的坐标； （2）高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式； （3）该运动员飞行到最高点时的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）已知的横坐标，根据几何关系求的纵坐标. （2）由题意可知原点，点和点在二次函数图像上，由三点即可解出二次函数解析式. （3）根据二次函数图像即可求出最高点坐标. 【小问1详解】 因为米，米，所以米， 又因为， 所以， 故点B的坐标为． 【小问2详解】 设所求二次函数的解析式为， 因为此函数图像经过点，点和点， 所以，解得． 所以，所求二次函数的解析式为. 【小问3详解】 因为， 所以，当时，． 该运动员飞行到最高点的坐标为． 5.（2021年浙江，33）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上满足二次函数关系，下表记录了三次实验的数据： 加工时间 … 2 3 4 … 可食用率 … 0.28 0.82 0.96 … （1）求可食用率与加工时间（单位：分钟）在区间上的二次函数关系式； （2）若不考虑其它因素，求爆米花可食用率最高时的加工时间. 【答案】（1） （2）3.85 【解析】 【分析】（1）根据关系二次函数，将实验数据代入求解即可. （2）根据（1）求出的函数式，求解对称轴即可求解最佳加工时间即可. 【小问1详解】 设u为可食用率，t为加工时间，设 由已知得：，得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以当时，u有最大值，即最佳加工时间为3.85分钟. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $