第88卷 解析几何-专题训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第88卷 解析几何 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．如图所示，已知点和点是椭圆C在x轴上的两个焦点，且椭圆C关于坐标原点对称．若，，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 3．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 5．若直线与圆相切，则的值是（ ） A．或12 B．2或 C．或 D．2或12 6．抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 8．曲线C的方程为，下列各点中在曲线C上的是（    ）． A． B． C． D． 9．某城市的地铁线路方程为，在站点附近要规划一条与之垂直的新线路，且站点到的距离为，则的方程可能为（   ） A． B． C． D． 10．已知双曲线虚轴在y轴上，且虚轴长为，离心率为3，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 11．若角是第三象限角，则方程表示的曲线是（   ） A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 12．若实数，满足.则的最大值为（   ） A．21 B． C． D． 13．已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ） A． B．若的顶点坐标为，则 C．的焦点坐标为 D．若，则的渐近线方程为 14．已知圆：，过轴上的点存在圆的割线，使得，则点P的横坐标a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知圆在曲线的内部，则半径r的范围是（　　） A． B． C． D． 16．食品厂的传送带上有一个圆形标识，其一般方程为，若有一条直线与圆相交，且弦长为，则的值为（     ）. A．或 B．或 C．或 D．或 17．过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是(    ) A．2. B． C． D． 18．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．城市的电缆铺设路线，经过点且斜率为，该路线的直线方程为 ______ ． 20．设圆的弦AB的中点为，则直线AB的方程是_________. 21．空导航台的位置坐标为.规划的导航线路为直线，直线与直线垂直，且过点.则导航台到导航线路的距离为______. 22．如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为__________.    23．斜率为的直线过抛物线的焦点，若直线与圆相切，则_____. 24．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段的中点为，则的面积为________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)设k为实数，若椭圆的方程为，求满足下列条件的k的取值范围： (1)椭圆的焦点在x轴上； (2)椭圆的焦点在y轴上． 26．(本题10分)已知圆的圆心在直线上，且过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相切，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 27．(本题12分)求经过直线与的交点且满足： (1)平行于直线的直线方程； (2)垂直于直线的直线方程. 28．(本题12分)如图所示，抛物线准线方程为，正方形的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在直线上，求： (1)抛物线的标准方程； (2)顶点A，B所在直线的斜率； (3)弦的长度． 29．(本题14分)如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线C经过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若经过点A，的直线l交双曲线C的左支于点B，求： ①的值； ②的面积． 30．(本题14分)已知，分别为椭圆的左、右焦点，且是椭圆上一点，椭圆的离心率是． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过点且斜率角为，它与椭圆交于A，B两点，为椭圆上一点，求的最大面积． 试卷第1页，共3页 第 19 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第88卷 解析几何 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．如图所示，已知点和点是椭圆C在x轴上的两个焦点，且椭圆C关于坐标原点对称．若，，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出椭圆方程，结合图形求解. 【详解】根据题意设椭圆方程为：， 由题意结合图形可知： ，， 所以， 所以椭圆C的标准方程为． 故选：B 2．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为， 故，解得. 故选：B. 3．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将双曲线方程化为标准方程，进而求解即可. 【详解】将双曲线方程化成标准方程为， 所以双曲线焦点在轴，且. 所以. 所以其渐近线方程为. 故选：D. 4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】结合椭圆方程的性质计算即可得. 【详解】由题意得，所以， 所以或. 故选：D 5．若直线与圆相切，则的值是（ ） A．或12 B．2或 C．或 D．2或12 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心坐标为，半径为1， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即， 解得或， 故选：C. 6．抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用斜率坐标公式结合韦达定理计算即得. 【详解】显然直线的斜率存在，设其方程为，， 由消去y并整理得，则， 所以. 故选：C 7．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可求出直线的斜率，结合直线的斜率和倾斜角的关系，即可求解. 【详解】因为直线的方程为， 化为斜截式得， 所以直线的斜率. 设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 8．曲线C的方程为，下列各点中在曲线C上的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入曲线中即可得解. 【详解】选项，将点代入曲线方程中得，所以点不在曲线上，故错误， 选项，将点代入曲线方程中得，所以点在曲线上，故正确， 选项，将点代入曲线方程中得，所以点不在曲线上，故错误， 选项，将点代入曲线方程中得，所以点不在曲线上，故错误， 故选：. 9．某城市的地铁线路方程为，在站点附近要规划一条与之垂直的新线路，且站点到的距离为，则的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直设出直线方程，再利用点到直线的距离公式求出直线方程即可. 【详解】由直线与直线垂直，可设直线方程为. 由点到直线距离公式，， 即，解得或， 故直线方程可为或. 故选：C. 10．已知双曲线虚轴在y轴上，且虚轴长为，离心率为3，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，根据虚轴的长求出b的值，再利用离心率列式即可求得a的值，最终求得双曲线方程. 【详解】设双曲线方程为， 由题意知，虚轴长为，， 又离心率为，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A． 11．若角是第三象限角，则方程表示的曲线是（   ） A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】B 【分析】根据角所在象限判断三角函数值的正负，结合双曲线的定义求解即可. 【详解】角是第三象限角，则，， 所以，， 令，， 则即， 即，即， 所以该方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线. 故选：B. 12．若实数，满足.则的最大值为（   ） A．21 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点在圆上，将圆的一般式化为标准方程，求出圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式，可将的最大值转化为圆周上的点到直线距离的最大值问题，即可求解. 【详解】因为，即， 所以圆心坐标为，半径， 所以点在圆周上， 设直线l的方程为， 则圆周上的点到直线l的距离为， 所以当圆周上的点到直线l的距离d取得最大值时，也取得最大值， 又， 所以. 故选：A. 13．已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ） A． B．若的顶点坐标为，则 C．的焦点坐标为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】D 【分析】根据即可判断A；根据双曲线的顶即可判断出B错误；分、两种情况，依次求出，即可判断C；根据双曲线的渐近线方程的求法即可判断D. 【详解】对于A项：因为方程表示双曲线， 所以，解得或，A错误； 对于B项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B错误； 对于C项：当时，， 当时，，C错误； 对于D项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D正确. 故选：D 14．已知圆：，过轴上的点存在圆的割线，使得，则点P的横坐标a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用圆的标准方程求出圆心半径，根据切割线定理等求解. 【详解】由圆：，可得圆心，， 根据割线定理可得：， 因为，， 所以，化为：， 因为，所以， 解得： 故选：C 15．已知圆在曲线的内部，则半径r的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】曲线表示正方形，表示圆，由题意只需圆的半径小于圆心到正方形边的距离，利用点到直线的距离公式求出此距离，即可得到满足题意的r的范围． 【详解】根据题意画出图形，如图所示： 可得曲线表示边长为4的正方形， 表示以原点为圆心，半径为的圆， 过O作， ∵边所在直线的方程为，∴， 则满足题意的半径r的范围是． 故选：A． 16．食品厂的传送带上有一个圆形标识，其一般方程为，若有一条直线与圆相交，且弦长为，则的值为（     ）. A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，将圆的一般式方程化为标准式方程，求出圆心坐标和半径，结合直线被圆所截弦长的一半、弦心距、半径之间的关系，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，即可求得参数m的值. 【详解】因为圆的一般方程为， 化为标准式方程得， 所以圆心坐标为，半径， 因为弦长， 所以圆心到直线距离， 所以，即， 解得或. 故选：D. 17．过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是(    ) A．2. B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设条件求出点A，B的坐标，再由给定的向量等式建立关于a，b，c的关系式而得解. 【详解】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到， 而，，即点A是线段FB的中点， 所以，所以. 故选：D 18．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得： ， 设，不妨设，， 则， 点O到直线AB的距离为， 所以△AOB的面积为 故选：B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．城市的电缆铺设路线，经过点且斜率为，该路线的直线方程为 ______ ． 【答案】 【分析】根据直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】该路线过点且斜率为， 将点和代入点斜式方程可得， 化简得到． 故答案为：. 20．设圆的弦AB的中点为，则直线AB的方程是_________. 【答案】 【分析】先求出圆心C的坐标和直线CP的斜率，然后根据求出直线AB的斜率，最后再根据点斜式方程求解即可. 【详解】由得，，则圆心为. 因为弦AB的中点为，所以， 则直线AB的斜率为， 故直线AB的方程是， 化简得，. 故答案为：. 21．空导航台的位置坐标为.规划的导航线路为直线，直线与直线垂直，且过点.则导航台到导航线路的距离为______. 【答案】 【分析】根据直线垂直的性质、点斜式方程以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为. 由点斜式可得直线的方程为，即. 根据点到直线的距离公式， 可得导航台到导航线路的距离. 故答案为：. 22．如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为__________.    【答案】 【分析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正弦定理结合已知条件可得，然后根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，. 由正弦定理，得，，（R为的外接圆半径）.    ∵， ∴，即. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）. 由题意，设所求轨迹方程为， ∵，，∴. 故所求轨迹方程为. 故答案为： 23．斜率为的直线过抛物线的焦点，若直线与圆相切，则_____. 【答案】 【分析】根据题意，可先设出直线方程，由直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【详解】因为斜率为的直线过抛物线的焦点， 所以可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切， 又圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离，即， 解得或（舍去）， 故答案为：. 24．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段的中点为，则的面积为________. 【答案】 【分析】结合抛物线方程解得线段所在直线，再得到点坐标，进而计算的面积. 【详解】已知抛物线，焦点为， 设点，，已知线段中点为， 则， 并且，两式相减可得 ， 故线段所在直线的斜率为， 所以线段所在直线的方程为，代入抛物线方程，可得 ，解得或，不妨令，， 在中，边的长为，高为， 则， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)设k为实数，若椭圆的方程为，求满足下列条件的k的取值范围： (1)椭圆的焦点在x轴上； (2)椭圆的焦点在y轴上． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，即求； （2）由题可知，即得. 【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的方程为， ∴，解得， ∴k的取值范围为； （2）∵椭圆的焦点在y轴上，椭圆的方程为， ∴，解得， ∴k的取值范围为. 26．(本题10分)已知圆的圆心在直线上，且过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相切，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给条件，利用待定系数法求圆的方程即可； （2）直线的斜率不存在时圆与直线相交，不符合题意；直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出，再求直线的方程求出截距可得答案. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 解得，所以圆心为，原的半径为。 所以圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以圆与直线相交，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以， 解得，此时直线的方程为， 令得，令得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为. 27．(本题12分)求经过直线与的交点且满足： (1)平行于直线的直线方程； (2)垂直于直线的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出两直线的交点，再根据直线平行的条件求解即可. （2）根据直线垂直的条件以及两直线的交点求解即可. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，所以交点为. 设平行于直线的直线为. 因为直线过点，所以，解得. 所以直线方程为. （2）直线可化为，斜率为， 所以垂直于直线的直线斜率为. 因为直线过点，所以， 化简得. 28．(本题12分)如图所示，抛物线准线方程为，正方形的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在直线上，求： (1)抛物线的标准方程； (2)顶点A，B所在直线的斜率； (3)弦的长度． 【答案】(1)； (2)1 (3)或 【分析】（1）根据题意，利用抛物线标准方程解答即可； （2）利用正方形性质解答即可； （3）根据题意利用弦长公式以及数形结合解答即可. 【详解】（1）由题意可知，焦点在x轴正半轴，则抛物线为， （2）正方形对边平行，则斜率相等，则顶点A，B所在直线的斜率为1， （3）设顶点A，B所在直线为， 联立方程组，，，， 则弦长为； 又平行直线，间距离为，因为正方形边长相等，则有， 即，解得或 则弦长为或． 29．(本题14分)如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线C经过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若经过点A，的直线l交双曲线C的左支于点B，求： ①的值； ②的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先求解与的长度，再由双曲线的定义求解a的值，由此求解即可； （2）①先求解直线l的方程，再联立直线与双曲线，求解点B的坐标即可求解； ②先求解点到直线的距离，再根据三角形面积求解即可. 【详解】（1）∵，， 由双曲线的定义知．可得， ∴， ∴双曲线C的标准方程为； （2）①∵直线l的斜率为， ∴直线l的方程为，即． 联立，解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴． ②∵点到直线l的距离为， ∴． 30．(本题14分)已知，分别为椭圆的左、右焦点，且是椭圆上一点，椭圆的离心率是． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过点且斜率角为，它与椭圆交于A，B两点，为椭圆上一点，求的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是椭圆上一点，椭圆C的离心率是，列出方程，即可求解. （2）根据条件，求出直线的方程，得到AB和点M到直线的最大距离，即可求解. 【详解】（1）由题知，，， 由得，解得， 所以椭圆的标准方程是． （2）因为， 所以直线的方程是，即， 设直线与椭圆交于A，B两点，且，， 则，化简得， 所以或， 故， 又设与直线平行且与椭圆有且只有一个交点的直线方程是， 则，化简得， 由题知，则， 解得， 所以与直线只有一个交点的直线方程是或， 由题知交椭圆于点与直线距离最远，如图所示， 这时的面积最大， 所以边上的高等于平行直线与的距离 ， 所以的最大面积是． 试卷第1页，共3页 第 19 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $