第86卷 立体几何-专题训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第86卷 立体几何 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 3．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（ ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 4．正方体，直线与平面所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 5．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 7．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（   ）． A．   B．   C．   D．   8．已知边长为4的正方形，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，则该直观图的面积等于（    ） A．4 B． C．8 D． 9．下列有关空间直线与平面的位置关系的表述正确的是（   ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两个平面垂直 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 10．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A． B． C． D． 11．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（ ） A． B． C． D． 12．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 13．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 14．已知直线，，平面，，，则下列条件中，可推出的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 15．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．下列说法正确的是（    ） A．空间三点确定一个平面 B．直线及一点确定一个平面 C．直线平面，若直线平面，则 D．直线平面，若直线，则 17．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论中正确的序号是（ ）． ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．如下图所示是一个半径为2的半球，则它的表面积为______. 20．如图，在棱长为2的正方体中，二面角的正切值等于__________.    21．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，则该圆锥的体积是________． 22．如图，在正方体中，E，F是对角线，的中点，则正方体六个面中与直线EF平行的面有________个． 23．已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是__________填序号 24．已知高为3的直三棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 26．(本题10分)如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 27．(本题12分)如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求锐二面角的余弦值. 28．(本题12分)如图所示，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，为底面圆的圆心，M为底面圆周上一点，且，求：    (1)圆锥的表面积. (2)三棱锥的体积. (3)求点B到面的距离. 29．(本题14分)如图，已知正方体的棱长为1，点分别是和的中点．求：    (1)与平面所成的角的大小； (2)二面角的正切值； (3)三棱锥的体积． 30．(本题14分)如图所示，在直棱柱中，，，直线与平面所成的角为．    (1)求二面角的正切值； (2)若该直棱柱被平面分成两部分，求较大部分的体积． 试卷第1页，共3页 第 24 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第86卷 立体几何 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质得出两直线没有公共点，即平行或异面. 【详解】分别在两个平行平面内的直线没有公共点，则直线可能平行，也可能异面. 故选：D. 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用几何体主视图、左视图的特征判断即可. 【详解】由三视图知，几何体的主视图为直角三角形，左视图为矩形， 选项AC的主视图均为矩形，不符合题意，选项D的左视图为等腰三角形，不符合题意， 选项B的三视图与题意相符. 故选：B 3．检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（ ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D 4．正方体，直线与平面所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 5．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 6．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 如图，连接 在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 7．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（   ）． A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据正方体，圆柱，圆锥，球的三视图逐项分析即可. 【详解】A.正方体的俯视图和主视图都是正方形，故A不符合题意， B.横放的圆柱的俯视图和主视图都是长方形，故B不符合题意， C.圆锥的主视图为等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，两者不同，故C符合题意， D.球的俯视图和主视图都是圆，故D不符合题意， 故选：C. 8．已知边长为4的正方形，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，则该直观图的面积等于（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的规则计算即可. 【详解】正方形面积是，斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍， 直观图面积为. 故选：B. 9．下列有关空间直线与平面的位置关系的表述正确的是（   ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两个平面垂直 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 【答案】D 【分析】依据空间直线、平面间的位置关系及线面垂直的性质逐一分析每个选项. 【详解】平行于同一条直线的两个平面，存在平行、相交等情况，A错误； 平行于同一个平面的两条直线，存在平行、相交、异面等多种情况，B错误； 垂直于同一条直线的两个平面是平行的，C错误； 垂直于同一个平面的两条直线平行，D正确． 故选：D． 10．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可. 以所在平面作为下底面还原， 则重合，重合，还原成如图正方体: 对于A，由图可得异面不平行，故A错误； 对于B，显然，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由图可得异面不平行，故D错误. 11．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的结构特征及弧长的求法得，再逐项验证即可得. 设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径， 因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以，即， 因为，所以，又，即， 逐个验证各选项可知，当时符合题意． 12．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方形的对角线相交于点O，连接，易得平面，为与底面所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解. 如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 13．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，可得平面，可得为直线和平面所成的角，求解即可. 取的中点，连接， 由正三棱柱，可得，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线在平面内的射影， 所以为直线和平面所成的角， 设正三棱柱的棱长为2，则可得， ， 在中，. 故和平面所成角的正弦值为. 故选：A 14．已知直线，，平面，，，则下列条件中，可推出的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】A 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确； 垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故B不正确； 平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故C不正确； 一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，两个平面才平行，故D不正确. 故选：A. 15．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据平面内直线与直线，直线与平面，以及平面与平面的关系判断选项即可. 【详解】A选项，若，则或异面，故错误； B选项，若，则或或相交（斜交），故错误； C选项，若，则或或相交（斜交），故错误； D选项，若，则，故正确. 故选：D. 16．下列说法正确的是（    ） A．空间三点确定一个平面 B．直线及一点确定一个平面 C．直线平面，若直线平面，则 D．直线平面，若直线，则 【答案】D 【分析】根据平面的基本定理，线面平行的性质以及线面垂直的性质判断选项即可. 【详解】A选项，空间中不共线三点确定一个平面，缺乏关键词“不共线”，故错误； B选项，直线及直线外一点确定一个平面，缺乏关键词“直线外”，故错误； C选项，直线平面，若直线平面， 则直线与直线可能平行，可能异面，故错误； D选项，直线平面，若直线，则，故正确. 故选：D. 17．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线和平面的位置关系，举反例可判断ABD，利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断C. 对A，记，如图，当时，，错误； 对B，若，直线有可能平行，有可能异面，错误； 对C，过直线作平面与平面相交于直线，因为，所以， 又，所以，又，所以，正确； 对D，如下图，，当时，满足，此时两平面不平行，错误. 故选：C 18．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论中正确的序号是（ ）． ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】利用直线和平面的位置关系，对选项进行逐一判断即可得出结论. 对于①，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误； 对于②，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知②正确； 对于③，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面垂直的性质知③正确； 对于④，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误. 故选：D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．如下图所示是一个半径为2的半球，则它的表面积为______. 【答案】 【分析】根据球的表面积公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 20．如图，在棱长为2的正方体中，二面角的正切值等于__________.    【答案】 【分析】连接，交于，则有，，即是二面角的平面角，在直角三角形中可求解. 【详解】连接，交于，则， 因为为正方体的对角线，所以， 所以为等腰三角形，则， 所以是二面角的平面角，因为正方体的棱长为2， 则， 所以. 故答案为：.    21．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，则该圆锥的体积是________． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式和体积公式列式求值即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 则底面积为，侧面积为， 由圆锥的侧面积是底面积的2倍，可得， 解得，由，可得， 解得，所以该圆锥的体积是. 故答案为：. 22．如图，在正方体中，E，F是对角线，的中点，则正方体六个面中与直线EF平行的面有________个． 【答案】2 【分析】运用线面平行判定，结合正方体性质和三角形中位线性质可解. 连结，．因为F为的中点，所以F为的中点， 又E为的中点，所以． 又平面，平面 ，所以平面． 同理可证平面． 故正方体六个面中与直线平行的面有2个. 故答案为：2. 23．已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是__________填序号 【答案】①② 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. ①，，由平行公理得出，故①正确； ②，，由面面平行的性质得出，故②正确； ③，或，故③错误； ④，或，故④错误． 故答案为：． 24．已知高为3的直三棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为________． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式，结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】三棱锥的底面是边长为1的正三角形，高是3，又， 所以三棱锥的体积为． 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 【答案】(1)30° (2) 【分析】（1）由正四棱锥可知底面对角线焦点与顶点连线垂直底面，求出线面角即可. （2）由棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接AC，BD交于点，连接PO. 因为，底面ABCD是正方形，所以， 且平面ABCD，则就是PB与平面ABCD所成的角. ，， 又， 所以，则. （2）正四棱锥的底面面积，高， 根据体积公式， 可得体积. 26．(本题10分)如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 27．(本题12分)如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）通过和证明平面，从而证明面面垂直； （2）通过图形建立空间直角坐标系，求出两个平面的一个法向量，结合二面角的向量计算公式计算即可. 【详解】（1）因为直三棱柱， 所以平面， 因为平面， 所以； 因为是等边三角形，是棱的中点， 所以； 因为平面，且， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面 （2）分别取的中点为，连接， 因为是等边三角形，是中点， 所以， 因为直三棱柱， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为为的中点， 所以， 所以 即两两垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 取，则， 平面的一个法向量为； 则， 所以锐二面角的余弦值为 28．(本题12分)如图所示，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，为底面圆的圆心，M为底面圆周上一点，且，求：    (1)圆锥的表面积. (2)三棱锥的体积. (3)求点B到面的距离. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用圆锥的表面积公式求解； （2）利用棱锥的体积公式求解； （3）利用等体积法求解． 【详解】（1）由题意，轴截面是边长为4的等边三角形， 则，母线长，底面半径， 侧面积， 底面积， 所以圆锥的表面积. （2）在中，， 则， 由题意，是直径，∴， 在中，，， ∴， ， ∴三棱锥的体积. （3）取中点N，连接,    ∵是等腰三角形，∴, 在中，，， 得， 所以， 设点B到面的距离为h， ∵， ∴， ∴. 29．(本题14分)如图，已知正方体的棱长为1，点分别是和的中点．求：    (1)与平面所成的角的大小； (2)二面角的正切值； (3)三棱锥的体积． 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）由题意可知，∴与平面所成的角即为与平面所成的角，利用为等腰直角三角形即可得解. （）根据题意得出，，则为二面角的平面角即可得解. （）根据，结合棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）    如图所示，∵点分别为和的中点， ∴∴与平面所成的角即为与平面所成的角， ∵平面， ∴为与平面所成的角， ∵为等腰直角三角形，则， ∴与平面所成的角的大小为． （2）连接，    ∵，为的中点，∴， 又∵， 平面平面，平面，平面且，， ∴为二面角的平面角， ∵， ∴． 即二面角的正切值为． （3）在正方体，为中点， 所以点到平面的距离为， 则三棱锥． 30．(本题14分)如图所示，在直棱柱中，，，直线与平面所成的角为．    (1)求二面角的正切值； (2)若该直棱柱被平面分成两部分，求较大部分的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，得出为二面角的平面角，再由正切函数的定义求值即可. （2）先由三棱锥的体积公式和棱柱的体积公式，求出棱柱的体积和棱锥的体积，相减得到另一部分的体积，即可解得. 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为为直棱柱，且， 所以，所以， 因为平面，平面，平面， 所以，， 且，， 所以，则， 所以为二面角的平面角， 因为直线与平面所成的角为， 所以，所以， 则，因为，则， ， 则.    （2）由（1）可知，，， 所以， ， ， 则另一部分的体积为， 所以较大部分的体积为. 试卷第1页，共3页 第 24 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $