第83卷 平面向量-专题训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第83卷 平面向量 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知向量与向量垂直，则x的值是（    ） A．3 B． C．0 D． 2．已知点，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，则（       ） A． B． C． D． 5．已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点满足，则（   ）    A． B． C． D． 8．已知，，且，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，，，则等于（    ） A．2 B． C． D．3 10．已知向量，，且与共线，则（   ） A． B． C． D．不存在 11．已知数组，，且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 12．已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 13．已知平面向量，，若，则（    ）． A． B． C． D． 14．四边形中，若，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 15．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 16．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，当和从圆与轴正半轴的交点同时出发，且点的角速度是点的角速度大小的2倍.当点第一次运动到射线与圆的交点时，点运动到点处，此时等于（    ） A． B． C． D． 17．已知向量，向量，则的最大值和最小值分别是（    ） A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0 18．在中，，，，若为直角三角形，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若向量满足，则______. 20．已知点，，则_________. 21．已知平行四边形，设，且是一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误的是______． 22．已知向量与的夹角为，，，则_____． 23．已知向量，，则________. 24．已知非零向量，满足，，则与夹角为________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，，求： (1) (2). 26．(本题10分)已知向量，，. (1)求； (2)若与垂直，求实数的值； (3)求在方向上的投影向量. 27．(本题12分)在平面直角坐标系中，已知点，且. (1)求点的坐标； (2)若，求实数的值. 28．(本题12分)已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 29．(本题14分)已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 30．(本题14分)已知，. (1)求； (2)若，求的坐标； (3)若，求与的夹角. 试卷第1页，共3页 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第83卷 平面向量 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知向量与向量垂直，则x的值是（    ） A．3 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题可知，，且， 所以，解得. 故选：A. 2．已知点，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示计算即可. 【详解】已知点， 则向量， 故选：C. 3．向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用向量的运算法则即可求解. 【详解】，， 则， 故选：A 4．已知平面向量，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示进行计算即可. 【详解】已知平面向量，， 所以. 故选：A. 5．已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 6．已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量的加减以及数乘运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，, 得， 故选：B 7．如图，在中，点满足，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】在中，点满足， 则， 故选：. 8．已知，，且，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直，向量内积的坐标表示，即可求解. 【详解】设，由，， 得，即，解得， 所以， 故选：C． 9．已知向量，，，则等于（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示及向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 故选：C. 10．已知向量，，且与共线，则（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示、向量共线的坐标表示可求解. 【详解】由题可得， ， 因为与共线， 所以，解得. 故选：C 11．已知数组，，且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据数组的线性运算及内积的坐标表示运算即可求解. 【详解】解:因为,, 所以 又因为, 所以解得 则 故 故选:C 12．已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先根据向量求得与，再根据共线关系，求得参数. 【详解】∵向量，， ∴，. ∵与共线，∴，即，故. 故选：A. 13．已知平面向量，，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示可得，利用向量线性运算的坐标表示得，最后根据向量模的坐标表示求解. 【详解】因为平面向量，，， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B 14．四边形中，若，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】由可得且，由此可判断四边形的形状. 【详解】因为， 所以且， 因此四边形为梯形. 故选：C. 15．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的差坐标等于终点的坐标减去起点的坐标及模长公式和三角函数求最值即可. 【详解】， 因为， 则| （当取最小值时，最大）. 故选：C. 16．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，当和从圆与轴正半轴的交点同时出发，且点的角速度是点的角速度大小的2倍.当点第一次运动到射线与圆的交点时，点运动到点处，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据三角函数的基本关系式，求得点，得到，再由倍角公式，求得，则，设，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，设，因为射线的方程为，可得， 因为，所以，所以点，则， 因为点的角速度是点的角速度大小的2倍，可得， 则， 所以点，则， 又由，设，即， 所以，，即. 故选：C.    17．已知向量，向量，则的最大值和最小值分别是（    ） A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0 【答案】D 【分析】先计算，再计算，根据三角函数的有界性求出最大值与最小值. 【详解】因为向量，向量， 所以 ， 因为，所以. 所以的最大值为4，最小值为0. 故选：D 18．在中，，，，若为直角三角形，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直的充要条件即可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以，，， 因为为直角三角形， 若角A为直角，则，即，因为，无解； 若角B为直角，则，即，解得；此时，，，， ， 所以，满足勾股定理，即为直角三角形 若角C为直角，则，即， 解得；此时，，， ， 所以，满足勾股定理，即是直角三角形， 综上所述， 或. 故选：B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若向量满足，则______. 【答案】9 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 由题意， 解得. 20．已知点，，则_________. 【答案】 【分析】由向量的坐标表示及两点坐标，可直接表示向量. 【详解】因为点，， 所以. 故答案为： 21．已知平行四边形，设，且是一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误的是______． 【答案】②④ 【分析】根据题意，结合向量的线性运算、零向量的定义和性质，及向量的模，即可判断求解. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为零向量和任意向量都平行，故①正确； 因为零向量和任意向量的和等于这个向量本身，,所以②错误，③正确； 所以，故，故④错误； 故符合题意的有②④. 故答案为：②④. 22．已知向量与的夹角为，，，则_____． 【答案】 【分析】根据平面向量的内积求出，结合即可得解. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以， 则． 故答案为：. 23．已知向量，，则________. 【答案】 【分析】根据题意结合夹角公式即可得解. 【详解】向量，， ， 因为， 所以. 故答案为：. 24．已知非零向量，满足，，则与夹角为________． 【答案】 【分析】利用向量垂直的性质、向量模长公式及向量内积的公式求解 与 的夹角. 【详解】设与夹角为， 因为，所以， 则，得①， 因为，所以. 又因为，所以， 则，则，所以②， ①代入②得：，得， 因为，所以. 因为，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，，求： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 26．(本题10分)已知向量，，. (1)求； (2)若与垂直，求实数的值； (3)求在方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求解； （2）根据向量垂直的坐标表示求解； （3）根据投影向量的概念求解. 【详解】（1）∵向量，，， ∴. （2），与垂直， ∴. （3）在方向上的投影向量为. 27．(本题12分)在平面直角坐标系中，已知点，且. (1)求点的坐标； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据向量的坐标表示及向量相等，列方程组可求解； （2）由向量的线性运算的坐标表示可得和，再根据向量共线的坐标表示，列方程可求解. 【详解】（1）设，由题可得 ，， 又， 所以，解得， 所以点的坐标为； （2）由（1）可得，，则 ， . 由可得 ，解得. 28．(本题12分)已知中，，，M为的中点，N为上靠近B的三等分点． (1)，表示向量，； (2)说明与的关系． 【答案】(1)， (2)向量与向量方向相同，且的长度为长度的 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求解， （2）根据，即可根据数乘运算的性质求解. （1）∵四边形是平行四边形， ． 为的中点，， ． 为上靠近B的三等分点，， ． （2）由（1）知， 向量与向量方向相同，且的长度为长度的． 29．(本题14分)已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求出，再利用向量夹角公式求解. （2）利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求解. （1）由，，得，解得， 又，因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）得， ， ， 所以与的夹角的余弦值. 30．(本题14分)已知，. (1)求； (2)若，求的坐标； (3)若，求与的夹角. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据向量的模长公式计算即可. （2）根据向量平行可设，结合向量的模长公式求解即可. （3）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. （1）. （2）因为，设， 则，解得. 因此或. （3）由（1）知，. 因为， 则， 所以，所以. 又，所以. 故与的夹角为. 试卷第1页，共3页 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $