第72卷 集合与充要条件-专题训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第72卷 集合与充要条件 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，则=（ ） A． B． C． D． 6．设集合，，且，则满足条件的实数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．设集合 ，集合 ，则 =（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，集合N满足，则集合N的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．下列表示正确的是（） A． B． C． D． 11．直面坐标平面内，集合的元素所对应的点是（    ） A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二，第四象限的点 12．下列集合是空集的是（    ） A．或 B． C． D． 13．“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 14．设命题：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．设集合，，，，中有个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则． 则中的元素个数为（    ） A． B． C． D．不确定 17．“”是“函数是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．下列四个说法中正确的个数是___________. ①集合N中最小数为1； ②若a∈N，则-aN； ③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合. 20．在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出下列四个结论， ①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”． 其中正确的结论是___________（填所有正确的结论的序号）． 21．函数的图像关于直线对称的充要条件是___________． 22．已知集合，，且，则a的取值范围为______． 23．已知集合，集合，则集合________. 24．下列五个写法：①；②；③；④；⑤．其中错误写法的为________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)集合，若集合中只有一个元素，求实数的值组成的集合，用列举法表示. 26．(本题10分)已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 27．(本题12分)已知实数x满足集合，实数x满足集合或． (1)若，求； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 28．(本题12分)已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 29．(本题14分)已知集合，，若，求实数x的值． 30．(本题14分)已知集合，． (1)用列举法表示集合A； (2)若，求实数a的值． 试卷第1页，共3页 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第72卷 集合与充要条件 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 2．是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题中的命题验证充分性，必要性即可. 【详解】若，则能推出，故充分性成立， 若，解得，则不一定能推出，故必要性不成立. 所以是的充分而不必要条件. 故选：. 3．已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合A中的元素，再根据交集的概念求解即可. 【详解】由可知， 且， 所以. 故选：C. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意联立方程组即可得解. 【详解】， 联立方程组得，解得， 所以. 故选：. 5．设全集，集合，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出集合的补集，进而求出交集得解. 【详解】由全集，， 得，而， 所以． 故选：C. 6．设集合，，且，则满足条件的实数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意知，，则有或两种情况，求出值后注意代入集合验证是否满足互异性． 【详解】因为集合，，且， 所以或，即或或， 当时，集合，，由元素的互异性可知不符合条件， 当时，集合，，满足， 当时，集合，，满足， 当时，集合，，满足， 综上所述：满足条件的实数的个数是3个. 故选：C. 7．设集合 ，集合 ，则 =（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算求解即可； 【详解】因为， 所以. 故选：C. 8．已知集合，集合N满足，则集合N的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用集合的包含关系求集合个数即可. 【详解】集合，集合N满足， 则集合可能为共有8个； 故选：C. 9．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用对数的单调性得到大小关系即可. 【详解】在单调递增. 因此时，成立.反之也成立. 因此是的充要条件. 故选：C. 10．下列表示正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与集合间的包含关系以及元素与集合之间的关系求解即可． 【详解】选项A：2是集合中的元素，应该用表示，所以A选项错误. 选项B：0是集合中的元素，用表示是正确的，所以B选项正确. 选项C：是一个集合，它是任何集合的子集，应该用表示，所以C选项错误. 选项D：表示空集，不含任何元素，含有一个元素0，两者不相等，所以D选项错误. 故选：B. 11．直面坐标平面内，集合的元素所对应的点是（    ） A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二，第四象限的点 【答案】D 【分析】根据集合的含义及点在各象限的特点即可求解. 【详解】集合表示满足的点， ∴，或，． ∴可知M的元素所对应点为非第二、四象限的点． 故选：D． 12．下列集合是空集的是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的概念逐个分析即可. 【详解】或不是空集，故A错误. 不是空集，故B错误. 不是空集，故C错误. 方程无解，所以，故D正确. 故选：D. 13．“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充要条件定义易得答案 【详解】因为，所以，由于，而，故A选项满足题意； 令，则满足，但不满足，故B错误； 由得：，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误； 令，则满足，但不满足，D错误， 故选：A. 14．设命题：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别运用绝对值不等式的解法和分式不等式的解法求出，的解，再由充分条件与必要条件的概念判别即可. 【详解】因为等价于， 解得，所以： 因为可得， 即，整理为， 等价于，解得. 所以：， 而是的真子集，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 15．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据，，结合充要条件的概念可得结果. 【详解】若，则，即； 若，则，所以，即. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 16．设集合，，，，中有个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则． 则中的元素个数为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】先算出集合，再根据并集的运算法则即可算出答案. 【详解】设集合，且，， 则，且， 则，同理，，， 若，则，则，故， 所以，又， 所以，故， 此时这与矛盾，所以舍去； 若，则 故， 所以，， 又 ，故， 所以，故， 此时， 若则是， 故故 即，故， 所以 . 故选：C. 17．“”是“函数是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若函数为奇函数， 则，即， 即， 即，整理得， 所以，解得或， 当时，， 定义域为关于原点中心对称，且，满足奇函数定义， 当时，， 定义域为关于原点中心对称，且，满足奇函数定义， 所以函数是奇函数或． 若，则函数是奇函数，充分性成立， 若函数是奇函数，则或，不一定有，必要性不成立， 所以“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件， 故选：A. 18．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】根据集合与元素的关系分析求解即可； 【详解】由，则知， 当时，， 同理时,， 同理时,， 经过这一系列的推导后，又回到了最初设的元素， 说明集合中的元素在这四个元素之间循环出现, 又因为，则互不相等， 所以集合中有且仅有4个元素； 故选：C. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．下列四个说法中正确的个数是___________. ①集合N中最小数为1； ②若a∈N，则-aN； ③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合. 【答案】0个 【分析】直接由元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】①集合N中最小数为，故①错误； ②若∈N，则-N，故②错误； ③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2，错误，当时，； ④所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素的确定性. 故答案为：0个 20．在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出下列四个结论， ①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”． 其中正确的结论是___________（填所有正确的结论的序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④的正误. 【详解】对于①，，则，①正确； 对于②，，则，②正确； 对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类， 则，③正确； 对于④，若整数、属于同一“类”， 则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，， 则，故， 若，不妨令， 则， 显然，于是得， ，即整数属于同一“类”， “整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确． 正确的结论是①②③④. 故答案为：①②③④. 21．函数的图像关于直线对称的充要条件是___________． 【答案】 【分析】由二次函数的对称轴，列出式子计算即可. 【详解】函数的图像的对称轴为， 因此图像关于直线对称的充要条件为，即， 故答案为：. 22．已知集合，，且，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据并集的运算性质，即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 23．已知集合，集合，则集合________. 【答案】 【分析】由题意计算可直接得出集合. 【详解】由题意知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以   故答案为：. 24．下列五个写法：①；②；③；④；⑤．其中错误写法的为________． 【答案】①④⑤ 【分析】由集合与元素，集合与集合之间的关系以及集合的交集运算即可得解. 【详解】①，故①中写法错误； ②是任意集合的子集，故②写法正确； ③，故，故③正确； ④是不含任何元素的集合，故，故④不成立，错误； ⑤0不是集合，故不能用集合间的运算符号，故⑤错误； 故答案为：①④⑤. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)集合，若集合中只有一个元素，求实数的值组成的集合，用列举法表示. 【答案】 【分析】根据集合只有一个元素，对进行分情况讨论，即可得出结果. 【详解】∵， 当时，由得，符合题意，此时． 当，若集合A中只有一个元素， 则方程有两个相等实根． 即，即， 从而，此时集合． 综上所述，实数k的值组成的集合为. 26．(本题10分)已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 27．(本题12分)已知实数x满足集合，实数x满足集合或． (1)若，求； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果； （2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果． （1）因为，所以，又或． 所以 （2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，解得：或， 故实数a的取值范围是. 28．(本题12分)已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可； （2）由题可知此时，再分和讨论即可. （1），故，， 或. （2）若“”是“”的充分条件，则， 当时，， 当时，，解得， 综上，. 29．(本题14分)已知集合，，若，求实数x的值． 【答案】或 【分析】根据交集的概念列方程求解即可. 【详解】因为， 所以，或， ①若，则， 时，， 但在B中，，与元素的互异性矛盾，不合题意， 时，，，符合题意． ②若，则，此时，，符合题意． 综上所述，或． 30．(本题14分)已知集合，． (1)用列举法表示集合A； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求解方程，再用列举法表示集合A即可. （2）由集合之间的包含关系，分类讨论求解实数a的值即可. 【详解】（1）集合， 由可得，，解得或， 用列举法表示集合A，则. （2）集合， 因为， 所以或， 当时，解得或， 当时，解得或， 所以当时，，不满足互异性，舍去， 综上，或. 试卷第1页，共3页 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $