专题5 一元二次不等式（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升.针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题5 一元二次不等式 【复习目标】 1.掌握区间的概念； 2.掌握一元二次不等式。 【考点1 区间】 1. 区间的定义：区间是表示连续实数范围的一种简便形式，通常用于表示连续的实数范围，分为开区间、闭区间、半开半闭区间. 2. 常见区间表示（设a < b）： （1）开区间：表示所有大于a且小于b的实数，记作 ，对应集合 ； （2）闭区间：表示所有大于等于a且小于等于b的实数，记作 ，对应集合 ； （3）半开半闭区间：① [a, b) 表示 ，② (a, b] 表示 ； （4）无穷区间：① (-∞, b) 表示 ， (-∞, b] 表示 ，② (a, +∞) 表示 ， [a, +∞) 表示 ，③ (-∞, +∞) 表示全体实数 . 【即时训练】 一、单选题 1. 区间 [2, 5) 对应的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 集合 用区间表示为（ ） A. (-3, +∞) B. [-3, +∞) C. (-∞, -3) D. (-∞, -3] 二、多选题 3. 下列区间表示正确的有（ ） A. 表示为 (1, 4] B. 表示为 (-∞, 0] C. 表示为 [-2, 3] D. 表示为 [5, 7] 三、填空题 4. 设集合 ，集合 ，则 _______，________. 5. 设全集 ，集合 ，集合 ，则 ___，____. 6. 设集合 ，集合 ，用区间表示 为_________. 7. 不等式组 的解集为_______________（用区间表示）. 【考点2 一元二次不等式】 1. 定义：只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式，其一般形式为： 或 . 2. 一元二次不等式的解法（核心：转化为一元一次不等式组，结合二次函数图像）： （1）先将一元二次不等式化为一般形式 ，确保a > 0； （2）求解对应一元二次方程 的根（判别式）： ① 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根（设）； ② 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； ③ 当Δ < 0时，方程没有实数根； （3）结合二次函数的图像，确定不等式的解集： ① 当a > 0时（抛物线开口向上）： 的解集为 ； 的解集为 ； 的解集为 ； 的解集为 ； ② 当a < 0时（抛物线开口向下）：先两边同乘-1，改变不等式方向，再按a > 0的情况求解. 3. 关键结论：一元二次不等式恒成立的条件是 ；恒成立的条件是 . 【即时训练】 一、单选题 1. 下列不等式中，属于一元二次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次不等式的解集是（ ） A. (-∞, -2) ∪ (2, +∞) B. (-2, 2) C. [-2, 2] D. (-∞, -2] ∪ [2, +∞) 3. 不等式的解集是（ ） A. B. R C. D. 4. 若一元二次不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A. a > 1 B. a ≥ 1 C. 0 < a < 1 D. a ≤ 1 5. 解不等式时，第一步应（ ） A.求解对应方程的根 B.化为 C.判断开口方向 D.确定判别式 6. 已知一元二次方程的两根为，则不等式的解集是（ ） A. (2, 3) B. [2, 3] C. (-∞, 2) ∪ (3, +∞) D. (-∞, 2] ∪ [3, +∞) 二、多选题 7. 下列关于一元二次不等式解法的说法正确的有（ ） A. 解一元二次不等式时，需先将二次项系数化为正数 B. 当Δ < 0，a > 0时，的解集为R C. 若一元二次方程无实根，则对应的不等式的解集为 D. 二次函数的图像在x轴上方的部分，对应的解集 8. 下列不等式的解集为的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 9. （1）不等式的解集是________________； （2）若有意义，则x的取值范围是____________________. 10. 若不等式的解集为，则a = ___，b = ___. 四、解答题 11. 已知a，b是实数，关于x的一元二次不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）从①、②中选择一个求m的取值范围: ①关于x的一元二次方程有实数解； ②关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立. （2025 年湖北技能高考第 21 题）不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. （2020 年湖北技能高考第 21 题）若不等式 的解集为 ，则实数 分别是（ ） A. B. C. D. （2019 年湖北技能高考第 20 题）不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. （2018 年湖北技能高考第 20 题）不等式 的解集为（ ） A. B. C. 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(-∞, -3] 【考点】区间的表示与集合的对应关系 【答案】B 【解析】 表示左端点-3含等号，右端点无穷大，用[-3, +∞) 表示. 二、多选题 3. 下列区间表示正确的有（ ） A. 表示为 (1, 4] B. 表示为 (-∞, 0] C. 表示为 [-2, 3] D. 表示为 [5, 7] 【考点】区间的表示与集合的对应关系 【答案】AC 【解析】B选项 应表示为(-∞, 0)，D选项 应表示为(5, 7)，故AC正确. 三、填空题 4. 设集合 ，集合 ，则 _______，________. 【考点】集合的交集、并集运算（区间形式） 【答案】； 【解析】交集 ：取同时属于 和 的元素. 中的元素都小于 2， 中的元素都大于 3，没有公共部分，因此交集为空集 . 并集 ：取属于 或属于 的所有元素，因此 . 5. 设全集 ，集合 ，集合 ，则 ___，____. 【考点】补集的运算（区间形式的集合补集） 【答案】； 【解析】补集的定义：,全集 ，集合 ，则在 中去掉 的部分，得到：；在 中去掉 的部分，得到：. 6. 设集合 ，集合 ，用区间表示 为_________. 【考点】解一元一次不等式、集合的交集运算（区间表示） 【答案】 【解析】先解集合 ：，即 . 再解集合 ：，即 . 求交集 ：取同时满足 且 的部分，即 . 7. 不等式组 的解集为_______________（用区间表示）. 【考点】解一元一次不等式组、用区间表示解集 【答案】 【解析】解第一个不等式 ：. 解第二个不等式 ：. 取两个不等式解集的交集，即同时满足 且 ，用区间表示为 . 【考点2 一元二次不等式】 1. 定义：只含有 1 个未知数，且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不等式，其一般形式为：（）或（）（a ≠ 0）. 2. 一元二次不等式的解法（核心：转化为一元一次不等式组，结合二次函数图像）： （1）先将一元二次不等式化为一般形式 （或等） ，确保a > 0； （2）求解对应一元二次方程的根（判别式）： ① 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根（设）； ② 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； ③ 当Δ < 0时，方程没有实数根； （3）结合二次函数的图像，确定不等式的解集： ① 当a > 0时（抛物线开口向上）： 的解集为； 的解集为； 的解集为； 的解集为； ② 当a < 0时（抛物线开口向下）：先两边同乘-1，改变不等式方向，再按a > 0的情况求解. 3. 关键结论：一元二次不等式恒成立的条件是 Δ < 0且a > 0；恒成立的条件是 Δ < 0且a < 0 . 【即时训练】 一、单选题 1. 下列不等式中，属于一元二次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【考点】一元二次不等式的定义 【答案】B 【解析】一元二次不等式需满足“只含1个未知数、最高次数为2”，A是一元一次不等式，C是一元三次不等式，D含两个未知数，只有B符合. 2. 一元二次不等式的解集是（ ） A. (-∞, -2) ∪ (2, +∞) B. (-2, 2) C. [-2, 2] D. (-∞, -2] ∪ [2, +∞) 【考点】一元二次不等式的解法 【答案】B 【解析】化为，对应方程根为±2，a=1>0，开口向上，解集为(-2, 2). 3. 不等式的解集是（ ） A. B. R C. D. 【考点】一元二次不等式的解法 【答案】C 【解析】，只有时成立，解集为. 4. 若一元二次不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A. a > 1 B. a ≥ 1 C. 0 < a < 1 D. a ≤ 1 【考点】一元二次不等式的解法及恒成立问题 【答案】A 【解析】恒成立需满足且，解得. 5. 解不等式时，第一步应（ ） A.求解对应方程的根 B.化为 C.判断开口方向 D.确定判别式 【考点】一元二次不等式的解法 【答案】B 【解析】，第一步需两边同乘，改变不等号方向，化为. 6. 已知一元二次方程的两根为，则不等式的解集是（ ） A. (2, 3) B. [2, 3] C. (-∞, 2) ∪ (3, +∞) D. (-∞, 2] ∪ [3, +∞) 【考点】一元二次不等式的解法 【答案】D 【解析】 ，开口向上，不等式对应根的两侧，解集为(-∞, 2] ∪ [3, +∞)； 二、多选题 7. 下列关于一元二次不等式解法的说法正确的有（ ） A. 解一元二次不等式时，需先将二次项系数化为正数 B. 当Δ < 0，a > 0时，的解集为R C. 若一元二次方程无实根，则对应的不等式的解集为 D. 二次函数的图像在x轴上方的部分，对应的解集 【考点】一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的关系 【答案】ABD 【解析】选项 A：解一元二次不等式时，先将二次项系数化为正数，能简化后续判断（如利用 “大于取两边，小于取中间” 的规律），是常规的解题步骤，正确. 选项 B：当且时，二次函数的图像开口向上，且与轴无交点，函数值恒大于 0，因此的解集为，正确. 选项 C：一元二次方程无实根时，需分情况讨论：若，则的解集为；若，则解集为.选项未说明的符号，结论不成立，错误. 选项 D：二次函数的图像在轴上方的部分，对应，即的解集，正确. 8. 下列不等式的解集为的是（ ） A. B. C. D. 【考点】一元二次不等式的解集判断 【答案】AD 【解析】选项 A：对于，二次项系数，，函数开口向上且与轴无交点，函数值恒大于 0，因此的解集为. 选项 B：可化为，仅当时成立，解集为{}，不是空集. 选项 C：解，因式分解得，解集为，不是空集. 选项 D：，两边同乘（不等号变向）得，二次项系数，，函数开口向上且与轴无交点，函数值恒大于 0，因此的解集为，即原不等式解集为. 三、填空题 9. （1）不等式的解集是________________； （2）若有意义，则x的取值范围是____________________. 【考点】一元二次不等式的求解；二次根式有意义的条件（被开方数非负） 【答案】 ； 【解析】（1）原不等式等价于 . 平方数大于 0 的条件是底数不为 0，即 ，解得 . （2）若 有意义，则被开方数非负，即： 解此不等式：方程 的根为 和 ； 二次函数 开口向上，因此不等式 的解集为两根之外（含端点），即 或 . 10. 若不等式的解集为，则a = ___，b = ___. 【考点】一元二次不等式的解集与对应方程根的关系（韦达定理） 【答案】， 【解析】由解集 可知：（二次函数开口向下，不等式 的解集在两根之外）； 和 是方程 的两个实数根.根据韦达定理： 解方程组：由第二个方程：，解得 ； 将 代入第一个方程：，即 . 四、解答题 11. 已知a，b是实数，关于x的一元二次不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）从①、②中选择一个求m的取值范围: ①关于x的一元二次方程有实数解； ②关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立. 【考点】一元二次不等式的解集与对应方程根的关系（韦达定理） 【答案】（1），； （2）选①，m的取值范围为；选②，m的取值范围为. 【解析】（1）因为关于x的一元二次不等式的解集为 所以1和2是对应方程的解，由根与系数的关系知，a=l+2=3，b=l×2=2； （2）若选①， 方程即为， 因为一元二次方程有实数解，所以 ， 解得，−4或4 ， 所以，m的取值范围为. 若选②， 一元二次不等式即为， 因为一元二次不等式对于一切实数x都成立， 所以 ，解得，4， 所以，m的取值范围为. （2025 年湖北技能高考第 21 题）不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【考点】一元二次不等式的求解 【答案】B 【解析】先对不等式左边因式分解： 原不等式转化为： 一元二次函数 开口向上，小于 0 的解集在两根之间，即 ，对应区间为 . （2020 年湖北技能高考第 21 题）若不等式 的解集为 ，则实数 分别是（ ） A. B. C. D. 【考点】一元二次不等式解集与对应方程根的关系（韦达定理） 【答案】C 【解析】不等式 的解集为 ，说明对应方程 的两个根为 . 根据韦达定理：， 代入根的值：， 故 ，选 C. （2019 年湖北技能高考第 20 题）不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【考点】方型不等式的求解（等价转化为绝对值不等式） 【答案】A 【解析】由 等价于 ，原不等式转化为： 绝对值不等式 等价于： 分别求解：； 因此解集为 ，选 A. （2018 年湖北技能高考第 20 题）不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【考点】一元二次不等式的求解（先整理为标准形式） 【答案】D 【解析】先展开并整理不等式左边： 原不等式：，移项并整理为标准形式： 两边同乘（注意不等号方向改变）： 因式分解： 一元二次函数 开口向上，大于 0 的解集在两根之外，即 或 ，对应区间为 ，选 D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $