2026 年苏科版中考数学解决问题能力（中点、角平分线）专题训练

中考数学解决问题能力（中点、角平分线）专题训练 中点问题的模型 一、选择题 1.如图，为测量池塘边上两点A,B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O,测得OA,OB的中点分别 是点D,E,且DE=15m,则A,B两点间的距离是() 0 D B A.20m B.24m C.30m D.28m 2.笔直的公路AB,AC,BC如图所示，AC,BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC 的长为6am,BC的长为8am,则C,D之间的距离为() B A.3km B.4km C.5km D.6km 3.如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=() C D B A.20° B.40° C.70° D.110° 第2页，共10页 4.如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度 的变化情况是() A y P B'B A.不断增大 B.不断减小 C.先减小后增大D.不变 5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D为边BC的延长线上一点，连结AD,E为AD的中点，连结 CE,若BC=2CD=4:CB=5,则△ABC的面积为) E D A.25 B.4V5 C.8 D.85 6.如图，在△ABC中，E是AC的中点，DE⊥AC于点E,交BC于点D,若∠B=70,且 AB+BD=BC,则∠BAC的度数是() E B D A.40° B.65° C.70° D.75 二、填空题 7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90,D,E分别为AB,BC的中点，若CD=5,DE=3,则 BC=_ 第2页，共10页 8.如图，在△ABC中，AB=5,BC=8,DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F,则线 段EF的长为 9.如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC=∠BDC=90,O是BC的中点，连结AO,DO.若 A0=3,则D0的长为一 D B 0 10.如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E,D为BC的中点，AF⊥AB交BC边于点F,∠C=2∠B,若 DE=4,CF=2,则CE= 三、解答题 11.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，在边AC上截取AD=AB,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E.已 知AB=6,BC=8,F是边BC的中点，连接ER B® (1)求CD的长； ②)求EF的长. 第2页，共10页 12.如图，BD,CE分别为△ABC的中线，BD,CE交于点G,M,N分别是BG,CG的中点.求证： (1EMDN 2)CG=2EG. 13. (1)用数学的眼光观察 如图1，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证： ∠PMN=∠PNM, M 图1 (②)用数学的思维思考 如图2，延长图1中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F求证： ∠AEM=∠F 第2页，共10页 F M 图2 (3)用数学的语言表达 如图3，在△ABC中，AC<AB,点D在AC上，AD=BC,M是AB的中点，N是DC的中点，连结 MW并延长，与BC的延长线交于点G,连结GD若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行证明. M B 图3 角平分线问题的模型 一、选择题 1.如图，AB//CD,∠AEC=40,CB平分∠DCE,则∠ABC的度数为) E B 一D A.10° B.20° C.30° D.40° 第2页，共10页 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=30,BD:CD=3:2,则点D到AB的距离() B A.为18 B.为12 C.为15 D.不能确定 3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=8cm,AC=6cm,则S△4BD:S△4m=（） B C A.9:16 B.3:4 C.16:9 D.4:3 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=4,点P是边AC上一动点，过点P作PQ//AB交 BC于点Q,D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为() B D A最 B c D弱 5.在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,用无刻度的直尺和圆规在AC边上找一点D,使BD平分∠ABC, 下列画法不正确的是() 第2页，共10页 A D D B 6.如图，△ABC的三边长AB,BC,CA分别是20,30,40，其三条角平分线相交于点O且将△ABC分 为三个三角形，则S△4B0:S△Bco:S△c40等于() B C A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 二、填空题 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，∠ADC=60°，AD=4,过D作 DE⊥AB于点E,则DE=一 -B D 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N, 再分别以点M,N为圆心，以大于号MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若 第2页，共10页 CD=3,AB=10,则△ABD的面积是 C D 9.如图，M是∠AOB的平分线上一点，ME⊥OA于点E,EM=1,若P是OB上一动点，则线段MP的 长度的取值范围是一 E M B 10.如图，在△ABC中，BE,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED//AC,交BC于点D, EF⊥AB于点F,若BC=35,EF=5,DE=13,则BF的长是 D 11.如图，在△ABC中，∠BAC=3∠B,CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点E,若BD=11, AD=5,则 D E B (1= (2)△ABC的周长是— 三、解答题 第2页，共10页 12.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，EF交DC于点F,∠3十∠2=180°，∠1=∠B, D E (1)求证：DE//BC (2)若DE平分∠ADC,∠3=3∠B,求∠2的度数. 13.如图，在△ABC中，AB=AC,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F B 0 (1)求证：DE=DF (2)若∠BDE=55,求∠BAC的度数. 第2页，共10页 14.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F C (1)∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由. (2)若△ABC的面积为70，AB=16,DE=5,求BC的长. 第2页，共10页中考数学解决问题能力（中点、角平分线）专题训练 中点问题的模型 一、选择题 1.如图，为测量池塘边上两点A,B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O,测得OA,OB的中点分别 是点D,E,且DE=15m,则A,B两点间的距离是() 0 D A B A.20m B.24m C.30m D.28m 【答案】C 2.笔直的公路AB,AC,BC如图所示，AC,BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC 的长为6am,BC的长为8kam,则C,D之间的距离为() B A.3km B.4km C.5km D.6km 【答案】C 3.如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°则∠EDF=（） E 第7页，共16页 A.20° B.40° C.70° D.110° 【答案】C 4.如图，一 根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度 的变化情况是() y B'B A.不断增大 B.不断减小 C.先减小后增大D.不变 【答案】D 【解答】 解：：AO⊥BO,点P是AB的中点， OP=AB. ·在滑动的过程中OP的长度不变. 5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D为边BC的延长线上一点，连结AD,E为AD的中点，连结 CE,若BC=2CD=4,CE=V5,则△ABC的面积为水) E C D A.2V5 B.45 C.8 D.85 【答案】B 6.如图，在△ABC中，E是AC的中点，DE⊥AC于点E,交BC于点D,若∠B=70°，且 AB十BD=BC,则∠BAC的度数是() A D A.40° B.65 C.70° D.75 第7页，共16页 【答案】D 二、填空题 7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D,E分别为AB,BC的中点，若CD=5,DE=3,则 BC= 【答案】8 8.如图，在△ABC中，AB=5,BC=8,DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F,则线 段EF的长为一 【答案】 9.如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC=∠BDC=90°，O是BC的中点，连结AO,DO,若 A0=3,则D0的长为一 B 【答案】3 第7页，共16页 10.如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E,D为BC的中点，AF⊥AB交BC边于点F,∠C=2∠B,若 DE=4,CF=2,则CE= 【答案】5 三、解答题 11.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，在边AC上截取AD=AB,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E已 知AB=6,BC=8,F是边BC的中点，连接ER (1)求CD的长； (②)求EF的长. 【答案】【小题1】 解：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,由勾股定理得 AC=VAB2+BC=V62+82=10,:AD=AB=6,:CD=AC-AD=10-6=4 【小题2】 :AB=AD,AE⊥BD,:BE=ED,:F是边BC的中点，·EF是△BDC的中位线， EF=专CD=2 12.如图，BD,CE分别为△ABC的中线，BD,CE交于点G,M,N分别是BG,CG的中点.求证： (1)EM /DN. (2)CG=2EG. 第7页，共16页 【答案】【小题1】 证明：连接AG, :BD,CE分别为△ABC的中线，点M,N分别是BG,CG的中点， E AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN, G :EM//AG,DN/AG ⊙ M ÷EM//DN: 【小题2】 证明：(1)知AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN, .EM=AG.DN=AG. ÷EM=DN,EM//DN, :∠MEG=∠DNG,∠EMG=∠NDG, 在△EMG和△NDG中 ∠MEG=∠DNG EM=ND·△EMG兰△NDG ASA ∠EMG=∠NDG .EG=GN, ·CG=2EG. 13. (1)用数学的眼光观察 如图1，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证： ∠PMN=∠PNM. 图1 (②)用数学的思维思考 如图2，延长图1中的线段AD交MW的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F求证： ∠AEM=∠F 第7页，共16页 M 图2 (3)用数学的语言表达 如图3，在△ABC中，AC<AB,点D在AC上，AD=BC,M是AB的中点，N是DC的中点，连结 MW并延长，与BC的延长线交于点G,连结GD,若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行证明. D A M B 图3 【答案】【小题1】 解：证明：：P是BD的中点，N是DC的中点， ·PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线， :.PN=BC,PM=AD. :AD=BC,÷PM=PN,∠PMN=∠PNM. 【小题2】 证明：由(1)知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线， ÷PN//BC,PM//AD,÷∠PNM=∠F,∠PMN=∠AEM. :∠PNM=∠PMN,·∠AEM=∠F 【小题3】 △CGD是直角三角形，理由如下：如图，取BD的中点P,连结PM,PN, G :N是CD的中点，M是AB的中点， ·PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线， 第7页，共16页 .PN//BC.PN=BC,PM//AD,PM=AD. :AD=BC,·PM=PN,÷∠PNM=∠PMN :PM//AD,÷∠PMN=∠ANM=60°， ·∠PNM=∠PMN=60° :PN//BC,÷∠CGN=∠PNM=60° 又：∠CNG=∠ANM=60°，·△CGN是等边三角形. :CN=GN,又：CN=DN,÷DN=GN, :∠NDG=∠NGD=∠CNG=30, :∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°，÷△CGD是直角三角形. 角平分线问题的模型 一、选择题 1.如图，AB//CD,∠AEC=40°，CB平分∠DCE,则∠ABC的度数为() -D A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B 【解析】解：：AB//CD,∠AEC=40°， ·∠ECD=∠AEC=40°， :CB平分∠DCE, ÷∠BCD=∠DCE=20, AB /CD, ·∠ABC=∠BCD=209 第7页，共16页 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=30,BD:CD=3:2,则点D到AB的距离() B A.为18 B.为12 C.为15 D.不能确定 【答案】B 3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=8cm,AC=6cm,则S△4BD:S△AD=() B D A.9:16 B.3:4 C.16:9 D.4:3 【答案】D 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=4,点P是边AC上一动点，过点P作PQ/AB交 BC于点Q,D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为() A B c D 【答案】B 【解析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义与平行线的性质，等腰三角形的 判定与性质 第7页，共16页 先由勾股定理求得AC的长，再设QB=QD=x,则QP=2QD=2x,CQ=4-x,证明△CQP∽ △CBA,最后根据相似三角形的性质列方程，解方程后根据线段的和差即可解答 解：由勾股定理，得AC=VAB2-BC2=V52-42=3 因为PQ//AB, 所以∠ABD=∠QDB 因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠QBD 所以∠QBD=∠QDB 所以QB=QD 设QB=QD=X 因为D是PQ的中点， 所以QP=2QD=2x,CQ=4-x 因为PQ//AB, 所以△CQP∽△CBA 所以器=器=张，即孥=等=号， 解得x= 所以CP=待 所以AP=AC-CP= 故选B 5.在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,用无刻度的直尺和圆规在AC边上找一点D,使BD平分∠ABC, 下列画法不正确的是() 第7页，共16页 D A D D B B 【答案】B 6.如图，△ABC的三边长AB,BC,CA分别是20,30,40，其三条角平分线相交于点O且将△ABC分 为三个三角形，则S△4Bo:S△Bco:S△c40等于() 0 C A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 【答案】C 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，∠ADC=60°，AD=4,过D作 DE⊥AB于点E,则DE=— B 【答案】2 第7页，共16页 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N, 再分别以点M,N为圆心，以大于号MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若 CD=3,AB=10,则△ABD的面积是 P 【答案】15 9.如图，M是∠A0B的平分线上一点，ME⊥OA于点E,EM=1,若P是OB上一动点，则线段MP的 长度的取值范围是一 E M P B 【答案】MP≥1 【解析】过点M作MH⊥OB于点H,如图 E M P H B :M是∠AOB的平分线上一点， ·MH=EM=1. :P是OB上一动点，·MP≥1， 第7页，共16页 1O.如图，在△ABC中，BE,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED//AC,交BC于点D, EF⊥AB于点F若BC=35,EF=5,DE=13,则BF的长是 B 【答案】10 【解析】过点E作EM⊥BC于点M, M D :BE是∠ABC的平分线， ÷EM=EF=5, ·DM=VDE2-EM2=12. :CE是∠ACB的平分线， ·∠ACE=∠DCE ED/AC. ·∠ACE=∠DEC, ·∠DEC=∠DCE, ·DC=DE=13, ÷BM=BC-CD-DM=10. 在Rt△BEF与Rt△BEM中， EF=EM, BE-BE, :Rt△BEF≌Rt△BEM(HL), ÷BF=BM=10. 第7页，共16页 11.如图，在△ABC中，∠BAC=3∠B,CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点E,若BD=11, AD=5,则 D (服= (②)△ABC的周长是一 【答案】【小题1】 号 【小题2】 32 3+16 【解析】1， 如图所示，延长AE交BC于点F,过点F作FH⊥AB于点H :CD平分∠ACB, :点D到AC,BC的距离相等 设点D到AC,BC的距离为h,点C到AB的距离为d, ACh ADd ·Sa8B BCh BDd' “器=器= 2 :CD平分∠ACB,AE⊥CD, 第7页，共16页 ·∠ACE=∠FCE,∠CEA=∠CEF CE=CE, ·△AEC≌△FEC(ASA, ·CA=CF,∠CAF=∠CFA :∠BAC=3∠B, 设∠B=C, :∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-4a, ·∠ACE=90°-2，÷∠EAC=2a, ÷∠HAF=∠BAC-∠EAC==∠B, ·BF=FA ()可得，=， 设BC=11k,AC=5k, CF=AC=5k,AF=BF=BC-FC=6k, ·AE=EF=3k, :BD=11,AD=5, :AB=BD+AD=16. :FH⊥AB,·AH=BH=8 :AE⊥DE,FH⊥AB, ·∠AED=∠AHF=909 :∠DAE=∠FAH, ·△AED△AHF, “腊=架，即登=录， 解得k=39， :△ABC的周长=AB+AC+BC=16+5k+1k=16+16k=16+9×16=325+16 三、解答题（本大题共3小题，共24.0分） 第7页，共16页 12.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，EF交DC于点F,∠3十∠2=180°，∠1=∠B. D 02 B (1)求证：DE//BC (②)若DE平分∠ADC∠3=3∠B,求∠2的度数. 【答案】【小题1】 证明：因为∠DFE+∠2=180°，∠3+∠2=180°， 所以∠DFE=∠3， 所以BD//EF, 所以∠1=∠ADE 因为∠1=∠B, 所以∠ADE=∠B, 所以DE//BC: 【小题2】 解：(1)知∠ADE=∠B, 因为DE平分∠ADC, 所以∠ADC=2∠ADE=2∠B. 因为∠3+∠ADC=180°，∠3=3∠B, 所以3∠B+2∠B=180°， 解得∠B=36, 所以∠3=108°， 因为∠3+∠2=180°， 所以∠2=72 第7页，共16页 13.如图，在△ABC中，AB=AC,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,R D (1)求证：DE=DR (②)若∠BDE=55,求∠BAC的度数. 【答案】【小题1】 连结AD(图略)：D是BC的中点，AB=AC,·AD平分∠BAC,:DE⊥AB,DF⊥AC,:DE=DR 【小题2】 1109 14.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F. (1)∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由。 (2)若△ABC的面积为70，AB=16,DE=5,求BC的长. 【答案】【小题1】 解：∠EDB与∠FDB相等.理由如下： 因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以∠BED=∠BFD=90° 因为BD是△ABC的角平分线，所以∠EBD=∠FBD. I∠DBE=∠DBF 在△BDE和△BDF中，因为 ∠BED=∠BFD, BD=BD, 所以△BDE≌△BDFAAS),所以∠EDB=∠FDB. 【小题2】 因为BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥BC, 所以DF=DE=5,所以S△ABD=支AB·DE=40, 所以S△8cD=克BC·DF=70-40=30,所以BC=12. 第7页，共16页 第7页，共16页