5.2.3　简单复合函数的导数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 10．曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A． B． C．1 D．2 13 √ 导 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[设曲线y＝x ln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行． ∵y′＝ln x＋1， ∴切线斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点坐标为(1，0)． ∴切点(1，0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝x ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是．] 13 导 5.2.3　简单复合函数的导数 议 小组合作讨论，并解决存在的疑问 讨论正答率60%-80%： 1、2、5、 讲评： 正答率60%以下：8、9、11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 课时分层作业(十六)　导数的四则运算法则 一、选择题 1．(多选)下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C．′＝ D．(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′ √ 展 5.2.3　简单复合函数的导数 AD　[A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确； B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误； C项中，′＝，故错误； D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确．故选AD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 展 5.2.3　简单复合函数的导数 2．曲线y＝x2＋x在点P(1，2)处切线的斜率为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ C　[y＝x2＋x的导数为y′＝2x＋1，可得曲线y＝x2＋x在点P(1，2)处切线的斜率为2×1＋1＝3．] 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 3．某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f (t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为 (　　) A．20 mm/min B．400 mm/min C． mm/min D． mm/min 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 D　[由f (t)＝， 得f ′(t)＝， 所以f ′(40)＝＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 展 5.2.3　简单复合函数的导数 4．当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于(　　) A．a B．±a C．－a D．a2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 13 B　[y′＝′＝ ＝，由－a2＝0，得x0＝±a．] 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5．设函数f (x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1)) 处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线的斜率为(　　) A．4 B．－ C．2 D．－ 13 √ A　[∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∴f ′(x)＝g′(x)＋2x，f ′(1)＝g′(1)＋2＝4．故选A．] 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 二、填空题 6．设函数f (x)＝，则f ′(1)＝________． 13 1　[ f ′(x)＝＝， ∴f ′(1)＝＝1．] 1 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 7．已知某物体在平面上做变速直线运动，且位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系可用函数s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t表示，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度为________m/s． 13 　[因为s(t)＝ln (t＋1)＋t2－t，所以s′(t)＝＋2t－1，当t＝3时，s′(3)＝＋6－1＝(m/s)．] 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 8．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________． 13 －3　[y′＝a·ex＋(ax＋1)·ex＝ex·(ax＋a＋1)，根据题意e0·(a·0＋a＋1)＝－2，∴a＝－3．] －3 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 三、解答题 9．已知函数f (x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数 f ′(x)＝2x－8． (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝ex sin x＋f (x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． 13 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)因为f (x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f ′(x)＝2ax＋b， 又f ′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8． (2)由(1)可知g(x)＝ex sin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为 y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0． 13 展 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 11．如图所示的三个图象中有一个图象是函数f (x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f (－1)＝________． 13 －　 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 －　[ f ′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，题图(1)与题图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故题图(3)中的图象是函数f (x)的导函数的图象．由题图(3)知f ′(0)＝0，即f ′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由题图(3)得对称轴为 －＝－a>0，则a<0，解得a＝－1． 故f (x)＝x3－x2＋1，所以f (－1)＝－．] 13 解 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．已知函数f (x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)． (1)若曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值； (2)若存在一点，使得曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x) 在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围． 13 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)f ′(x)＝1＋，g′(x)＝－，所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a, 由已知，得f ′(1)＝g′(1)，所以a＝－3． (2)由题意，得1＋＝－(x>0)， 则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝时，等号成立， 故实数a的取值范围为(－∞，－2]． 13 解 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f (x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f ′(0)＝________． 13 4 096　[因为f ′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以 f ′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8． 因为数列{an}为等比数列， 所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8， 所以f ′(0)＝84＝4 096．] 4 096 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 5.2.3　简单复合函数的导数 [学习目标]　 1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．(数学运算) 2．综合运用函数的求导法则解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) 重点：简单复合函数的求导法则. 难点：简单复合函数结构的分析. 导 5.2.3　简单复合函数的导数 导数的四则运算法则 导：复习回顾 5.2.3　简单复合函数的导数 思 问题1 如何求复合函数的导数呢？ 问题2　如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？ 追问2 函数 y＝ln(2x-1) 的结构特点是什么？它与哪些基本初等函数有关？ 问题3　你能用导数的运算法则求出函数y＝sin 2x的导数吗？它与函数y＝sin u，u＝2x的导数有什么关系？你能用文字语言描述复合函数的导数运算法则吗？ 思 5.2.3　简单复合函数的导数 思 问题1 如何求复合函数的导数呢？ 问题2　如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？ 追问2 函数 y＝ln(2x-1) 的结构特点是什么？它与哪些基本初等函数有关？ 问题3　你能用导数的运算法则求出函数y＝sin 2x的导数吗？它与函数y＝sin u，u＝2x的导数有什么关系？你能用文字语言描述复合函数的导数运算法则吗？ 议 5.2.3　简单复合函数的导数 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g (x)的复合函数. 记作：y=f (g(x)). 复合函数 例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成. 展 5.2.3　简单复合函数的导数 问题2 如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？ 这个函数不是由基本初等函数通过四则运算得到的，因此既没有没有相应的求导公式也无法通过导数的四则运算法则来求导. 那么该如何对这个函数进行求导呢？ 下面，我们先分析这个函数的结构特点． 展 5.2.3　简单复合函数的导数 追问2 函数 y＝ln(2x-1) 的结构特点是什么？它与哪些基本初等函数有关？ 若设 u=2x-1 , 则 y=lnu. 如果把 y 与 u 的关系记作 y=f (u) ，u 与 x 的关系记作 u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为 y=f (u)=f (g(x))= ln(2x-1). 从而，y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 及u＝2x-1 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数. 展 5.2.3　简单复合函数的导数 试一试：以下函数是由哪些函数复合而成的？ （1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3 （3）y＝e－0.05x＋1 u=－0.05x+3 u=x+1 y=log2u y=u3 u=3x+5 y=eu 展 5.2.3　简单复合函数的导数 问题3　你能用导数的运算法则求出函数y＝sin 2x的导数吗？它与函数y＝sin u，u＝2x的导数有什么关系？你能用文字语言描述复合函数的导数运算法则吗？ [提示]　y＝2sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x．复合函数y对自变量x的导数等于因变量y对中间变量u的导数与中间变量u对自变量x的导数的乘积． 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [新知生成] 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝___________． [典例讲评]　1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝x ln x　　 B．y＝(3x＋6)2 C．y＝esin x D．y＝sin f (g(x)) BCD　[A不是复合函数；BCD都是复合函数．] √ √ √ 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 反思领悟　若f (x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f (g(x))或函数y＝g( f (x))均为复合函数． 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [学以致用]　1．函数y＝sin (2x－1)如果看成复合函数y＝f (φ(x))，下列式子正确的是(　　) A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1) √ C　[y＝sin (2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1．故选C．] 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [新知生成] 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为____________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． y′x＝y′u·u′x 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 (1)复合函数求导的基本步骤  (2)求复合函数的导数需要注意以下几点： ①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导； ③计算结果尽量简洁． 方法技巧 解 5.2.3　简单复合函数的导数 【教用·微提醒】　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． (3)该公式可以推广至多层复合函数． 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [典例讲评]　【链接教材P79例6】 2．求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝e3x+2； (4)y＝sin ． 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [解]　(1)y＝，设y＝，u＝1－2x， 则y′x＝y′u·u′x＝)′(1－2x)′＝·(－2)＝． 即y′＝． (2)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′(2x＋1)′＝×2＝， 即y′＝． 展 (3)设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x+2，即y′＝3e3x+2． (4)设y＝sin u，u＝2x＋， 则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′′＝2cos u ＝2cos ，即y′＝2cos ． 展 【教材原题·P79例6】 例6　求下列函数的导数： (1)y＝(3x＋5)3； (2)y＝e-0.05x+1； (3)y＝ln (2x－1)． [解]　(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(3x＋5)′＝3u2×3＝9(3x＋5)2． 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 (2)函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e-0.05x+1． (3)函数y＝ln (2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x－1)′＝×2＝． 展 【教用·备选题】求下列函数的导数： (1)y＝e2x+1sin x； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝． [解]　(1)y′＝2e2x+1sin x＋e2x+1cos x＝(2sin x＋cos x)e2x+1． (2)f (x)＝，f ′(x)＝． (3)f (x)＝，f ′(x)＝． 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 反思领悟　1．求复合函数的导数的步骤 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 2．求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数． (2)求导时分清是对哪个变量求导． 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [学以致用]　2．(1)已知f (x)＝，则f ′＝(　　) A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2 (2)已知某函数的导数为y′＝，则这个函数可能是(　　) A．y＝ln B．y＝ln C．y＝ln (1－x) D．y＝ln √ √ 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 (1)D　(2)A　[(1)法一：f ′(x)＝＝， 故f ′＝＝2＋ln 2．故选D． 法二：因为f (x)＝＝， 所以f ′(x)＝， 所以f ′＝＝2＋ln 2． 故选D． 展 (2)函数y＝ln 可以看作y＝ln u，u＝和v＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′v·v′x＝(ln u)′·()′·(1－x)′＝·(－1)＝·(－1)＝＝，A选项符合； y＝ln ＝－ln ，所以y′＝，B选项不符合； y＝ln (1－x)可以看作y＝ln u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(1－x)′＝·(－1)＝，C选项不符合； y＝ln ＝－ln (x－1)，所以y′＝－，D选项不符合．故选A． 展 探究3　复合函数的导数的应用 [典例讲评]　3．(1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A．　 B．2 C．3　 D．0 (2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． √ 2 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [思路导引]　 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 (1)A　(2)2　[(1)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． 因为y'＝，所以y'＝2， 解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0， 即切点坐标为(1，0)， 所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是．故选A． (2)令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)．又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2．因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2．] 解 [母题探究]　 1．本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值． [解]　设切点P(x0，y0)，由题意可知， y'＝＝2， ∴x0＝1，即切点P(1，0)， ∴＝2， 解得m＝8或－12(舍，直线与曲线有交点，最小距离为0，不合题意)．即实数m的值为8． 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 2．求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积． [解]　由题意可知，切线方程为y－1＝2x， 即2x－y＋1＝0． 令x＝0，得y＝1； 令y＝0，得x＝－， ∴切线与坐标轴围成的面积S＝×1＝． 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 反思领悟　正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数．解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [学以致用]　3．已知函数f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x, f ′(x)是f (x)的导函数，且a＝f ′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程． [解]　由f (x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得f ′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 则a＝f ′＝3－2sin ＋2cos ＝1． 由y＝x3得y′＝3x2， ∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1时，y＝1，∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0． 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 探究4　复合函数的导数的综合应用 [典例讲评]　【链接教材P80例7】 4．(多选)某港口在一天24 h内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t≤24)的变化近似满足关系式S(t)＝3sin ，则下列说法正确的有(　　) A．S(t)在[0，2]上的平均变化率为 m/h B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24 h C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 D．18时潮水起落的速度为 m/h √ √ 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 BD　[由题意，对于选项A，S(0)＝3sin ＝，S(2)＝3sin ＝0，所以S(t)在[0，2]上的平均变化率为＝＝－(m/h)，故A选项错误；对于选项B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而T＝＝24 h，故B选项正确；对于选项C，当t＝6时，S(6)＝3sin ＝－≠－3，所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即C选项错误；对于选项D，S′(t)＝3cos ＝cos ，所以 S′(18)＝cos ＝(m/h)，故选项D正确．故选BD．] 解 【教材原题·P80例7】 例7　某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为y＝18sin ．求函数y在t＝3 s时的导数，并解释它的实际意义． 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [解]　函数y＝18sin 可以看作函数y＝18sin u和u＝t－的复合函数，根据复合函数的求导法则，有 y′t＝y′u·u′t＝(18sin u)′·′＝18cos u×＝12πcos ． 当t＝3时，y′t＝12πcos ＝0． 它表示当t＝3 s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s． 解 反思领悟　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 [学以致用]　4．某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到 24 m/s 时的加速度为________(m/s2)． 7.6　[当v＝24时，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(负根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，当t＝6时，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2)．] 7.6 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 应用迁移 随堂评估自测 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1　 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 √ √ √ 达 5.2.3　简单复合函数的导数 BCD　[A中的函数是一个多项式函数；B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数；C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数；D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选BCD．] √ 2．函数y＝(2 026－8x)3的导数y′等于(　　) A．3(2 026－8x)2 B．－24x C．－24(2 026－8x)2 D．24(2 026－8x)2 C　[y′＝3(2 026－8x)2×(2 026－8x)′＝3(2 026－8x)2×(－8) ＝－24(2 026－8x)2．故选C．] 达 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 3．(教材P81练习T3改编)设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　[令f (x)＝ax－ln (x＋1)，∴f ′(x)＝a－． 由题意，得f ′(0)＝2，解得a＝3．] √ 达 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 4．已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet-1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________． 2　[s′＝(t＋1)et-1，当t＝1时，s′(1)＝2．] 2　 达 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 1．知识链： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 2．方法链：转化法． 3．警示牌：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？ [提示]　(1)若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小． (2)若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 2．求复合函数的导数，应该注意哪些问题？ [提示]　求复合函数的导数的注意点： (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 3．利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？ [提示]　“分解—求导—还原”． 即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式； ②利用求导法则分层求导； ③最终结果要将中间变量还原成自变量． 注意不要漏掉第③步． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数习题讲评 5.2.3　简单复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为____________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． y′x＝y′u·u′x 导：复习回顾 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 思 结合平板自主核对答案，针对错题思考错因 正答率80%以上：1、2、5 小组合作讨论，并解决存在的疑问 讨论正答率60%-80%：3、4、6 讲评： 正答率60%以下：8、9、11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 议 小组合作讨论，并解决存在的疑问 讨论正答率60%-80%： 1、2、5、 讲评： 正答率60%以下：8、9、11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 一、选择题 1．已知函数f (x)＝(2x－1)3，则f ′(1)＝(　　) A．8 B．6 C．3 D．1 课时分层作业(十七)　简单复合函数的导数 B　[根据题意，函数f (x)＝(2x－1)3，则f ′(x)＝6(2x－1)2， 则f ′(1)＝6(2－1)2＝6．故选B．] 展 5.2.3　简单复合函数的导数 75 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 2．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负)．] 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 76 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 3．(多选)下列计算正确的有(　　) A．(x2)′＝2x B．(sin x)′＝cos x C．(e－x)′＝e－x D．[ln (x＋1)]′＝ ABD　[对于A，(x2)′＝2x，故A正确； 对于B，(sin x)′＝cos x，故B正确； 对于C，令u＝－x，则y＝eu，所以(e－x)′＝(－x)′·(eu)′＝－eu＝－e－x，故C错误；对于D，令u＝x＋1，则y＝ln u，所以[ln (x＋1)]′＝(x＋1)′ ·(ln u)′＝1×＝，故D正确． 故选ABD．] √ √ 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 77 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 4．曲线y＝2xex-2在点(2，4)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．6 D．2 C　[∵y＝2xex-2， ∴y′＝2ex-2＋2xex-2， ∴k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6．故选C．] 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 78 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 5．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为(　　) A．－10ln 2太贝克/年　 B．300ln 2太贝克/年 C．－300ln 2太贝克/年　 D．10ln 2太贝克/年 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 79 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 A　[依题意，M(t)＝， 所以M′(t)＝ln 2＝ln 2， 所以铯137的含量M在t＝30时的瞬间变化率为M′(30)＝－20×2-1ln 2＝－10 ln 2(太贝克/年)．故选A．] 展 80 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 二、填空题 6．质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为________m/s． 20　[∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4， 则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s)．] 20 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 81 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 7．已知函数f (x)＝ax＋ln (x＋1)，f ′(0)＝4，则a＝________． e3　[由题意，得f ′(x)＝ax ln a＋，则f ′(0)＝ln a＋1＝4，解得a＝e3．] e3　 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 82 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 8．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． e2　[∵y′＝，∴y′|x＝4＝e2． ∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)， 整理得y＝e2x－e2， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2，0)， 则切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝×|－e2|×|2|＝e2．] e2 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 83 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)10； (2)y＝e2x+1； (3)y＝ln (3x－2)． 展 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 84 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　(1)函数y＝(2x＋3)10可以看作y＝u10与u＝2x＋3复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(u10)′·(2x＋3)′＝10u9·2＝20(2x＋3)9． (2)函数y＝e2x+1可以看作y＝eu与u＝2x＋1复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝eu·2＝2e2x+1． (3)函数y＝ln (3x－2)可以看作y＝ln u与u＝3x－2复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－2)′＝·3＝． 展 85 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 10．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x √ √ √ 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 86 ACD　[对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 解 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 11．(多选)曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为(　　) A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4 C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4 √ √ 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 88 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 AB　[y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)， ∴y′|x＝0＝2， 则所求的切线方程为y＝2x＋1． 设直线l的方程为y＝2x＋b， 则＝，解得b＝6或－4． ∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4．故选AB．] 解 89 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 12．已知f (x)为偶函数，当x≤0时，f (x)＝e－x-1－x，则曲线y＝f (x)在点(1，2)处的切线方程是______________． 2x－y＝0　[设x＞0，则－x＜0．因为x≤0时，f (x)＝e－x-1－x，所以 f (－x)＝ex-1＋x．又因为f (x)为偶函数，所以f (x)＝ex-1＋x，f ′(x)＝ex-1＋1，f ′(1)＝e1-1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．] 2x－y＝0 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 90 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 13．设函数f (x)＝aex ln x＋． (1)求导函数f ′(x)； (2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值． 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 91 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　(1)由f (x)＝aex ln x＋， 得f ′(x)＝(aex ln x)′＋′＝aex ln x＋． (2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上， 将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)的解析式得f (1)＝b，∴b＝2． 将x＝1代入导函数f ′(x)的解析式中， 得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1，∴a＝1，b＝2． 解 92 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 14．对于y＝ax(a＞0且a≠1)这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：ln y＝ln ax＝x ln a； 第二步：(ln y)′＝(x ln a)′； 第三步：·y′＝ln a； 第四步：y′＝y·ln a＝ax·ln a． 根据框内的信息，函数y＝xx(x＞0)的导数y′＝____________． xx(ln x＋1) 解 课时分层作业 应用迁移 探究建构 5.2.3　简单复合函数的导数 93 xx(ln x＋1)　[因为y＝xx，故可得ln y＝x ln x，所以(ln y)′＝(x ln x)′，即·y′＝ln x＋1，所以y′＝y(ln x＋1)＝xx(ln x＋1)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 解 第一步：分解——适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数 关系； 第二步：求导——分层求导（弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量 求导），特别注意中间变量对自变量求导，即先求，再求. 第三步：相乘——将与两式相乘 第四步：回代——将中间变量代回元自变量（一般是）的函数. $