精品解析：重庆市南开中学校2026届高三普通高等学校招生全国统一考试临考预测数学试题A卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试临考预测卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的､ 1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（ ） A. -5 B. 4 C. 5 D. -4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 7. 某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（ ） A. 15种 B. 19种 C. 25种 D. 46种 8. 已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（ ） A. 续航里程在区间内的频率为0.4 B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的一个周期为 C. 若在上单调递增，则的最大值为 D. 的最大值为 11. 在正方体中，，空间任意一点满足，则（ ） A. 点的轨迹在正方体内的部分的面积为 B. 直线与所成角的最大值为 C. 的最小值为3 D. 面积的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知长方体中，分别是的中点，点分别满足，则几何体的体积为__________. 13. 已知函数，则不等式的解集为__________. 14. 已知点在直线上，若上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 网络安全事关广大人民群众切身利益.某电脑遭遇病毒攻击时，该电脑的杀毒软件发现病毒的概率为.若杀毒软件发现病毒，则自动启动杀毒，杀毒成功的概率为；若杀毒未成功，则病毒使电脑变卡顿的概率为.若杀毒软件未发现病毒，则病毒使电脑变卡顿的概率为. （1）若电脑遭遇病毒攻击，求杀毒软件杀毒成功的概率； （2）求病毒使电脑变卡顿的概率. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点分别在棱上，且. （1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图过程； （2）证明：平面； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的短轴长为2，一个焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点. （1）求的方程. （2）若线段的垂直平分线交轴于点，交直线于点. （i）求； （ii）证明：. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）设的极值点从小到大依次为． (i)当时，记数列的前项和为，的前项和为，证明：； (ii)当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试临考预测卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的､ 1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（ ） A. -5 B. 4 C. 5 D. -4 【答案】A 【解析】 【详解】由复数在复平面内对应的点的坐标为， 得，实部为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合的元素，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由集合，得，即， 解得，所以. 又因为，所以， 当时，；当时，； 当时，； 当时，；当时，. 所以. 3. 已知向量满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长计算公式：，将所给的模长利用模长公式展开计算可得的值． 【详解】因为； 故； 又； 故； 将两式相减即可得：；故． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分别用表示，结合二倍角、两角和差余弦公式可化简整理得到结果. 【详解】. 5. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义得到焦点坐标，即可根据斜率和点的坐标利用点斜式写出的直线方程；联立方程得到交点坐标，根据交点在双曲线上建立的齐次式求出离心率． 【详解】由题意知：， 则直线方程：；直线方程：； 联立方程可得交点坐标：， 因为交点在双曲线上，故满足双曲线方程，代入可得：； 由双曲线定义可知，满足：；代入； 可得：， 两边同乘去分母可得：， 即：，两边同除， 可得：，即； 解得或；因为双曲线离心率； 故，因此双曲线的离心率为． 6. 记为等差数列的前项和.已知，，若长为的线段能构成三角形，则可以构成三角形的个数为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求出数列的首项和公差，进而求出数列的通项公式，利用三角形边的关系列出不等式求解. 【详解】设等差数列的首项为和公差为， ，得， ，得， 解得，， 若长为的线段能构成三角形， 则，即， 解得， 又三角形的最短边，解得， 因为为正整数，所以， 故，共个值. 7. 某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（ ） A. 15种 B. 19种 C. 25种 D. 46种 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同元素的分组分配问题进行求解，先分组后分配，常规法和隔板法都可以解答. 【详解】方法一（常规法）：因为甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额， 所以先给四个部门各分配2个名额，剩 个名额未分配，接下来分配这4个名额. 第一类，当甲不增加名额时，还剩4个名额分配给乙､丙､丁， 当4个名额分配给乙､丙､丁中的任意一个部门时，有种分法； 当4个名额分配给乙､丙､丁中的两个部门时，若一个部门有1个名额，另一个部门有3个名额，有种分法，若这两个部门都有2个名额，有种分法； 当4个名额分配给乙､丙､丁这三个部门，且两个部门各分配1个名额，另一个部门分配2个名额时，有种分法. 所以第一类共有 种方案. 第二类，当甲再增加1个名额时，还剩3个名额分配给乙､丙､丁， 当3个名额分配给乙､丙､丁中的任意一个部门时，有种分法； 当3个名额分配给乙､丙､丁中的两个部门，且一个部门有1个名额，另一个部门有2个名额时，有种分法； 当3个名额分配给乙､丙､丁这三个部门，且三个部门各分配1个名额时，有1种分法. 所以第二类共有 种方案. 综上，不同的分配方案共有种. 方法二（隔板法）：第一类，当甲分配2个名额时，先给乙､丙､丁三个部门各分配1个名额，还剩7个名额分配给乙､丙､丁三个部门，且每个部门至少1个名额， 在7个名额形成的6个空隙中插入2块隔板，有种方案； 第二类，当甲分配3个名额时，先给乙､丙､丁三个部门各分配1个名额，还剩6个名额分配给乙､丙､丁三个部门，且每个部门至少1个名额， 在6个名额形成的5个空隙中插入2块隔板，有种方案. 综上，不同的分配方案共有种. 8. 已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可求出的值，然后令，可得出的表达式，令，利用错位相减法求出，计算可得，结合数列的单调性可得结果. 【详解】令可得，即， 因为，则， 令，，则， 即，故， 所以， 令①， 则②， ①②可得 ， 所以， 当时，，则数列为单调递增数列， 因为，，则， 故满足不等式的正整数的最小值为. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（ ） A. 续航里程在区间内的频率为0.4 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，续航里程在内的频率为：，A正确； 对于B，频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为100， 因此：，解得，因此选项B正确； 对于C，由于前2组的频率为0.3，由题意知第一四分位数为a， 则有； 由于前3组的频率为0.6，第二四分位数为b， 则有，C错误； 由于前4组的频率为0.85，第三四分位数为c， 则有， 故，则，D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的一个周期为 C. 若在上单调递增，则的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过化简函数、利用奇偶性和周期定义、并求导分析函数的单调区间与极值依次验证选项即可. 【详解】对于A，， 故为奇函数，A正确； 对于B，因，，即，故B错误； 对于C，由题意得， 令，解得，即 ， 该区间长度为，故的最大值为，C正确； 对于D，令，解得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为的周期为，的周期为，故的周期为， 当时，从1降到，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，从升到，此时单调递增， 所以，故D正确. 11. 在正方体中，，空间任意一点满足，则（ ） A. 点的轨迹在正方体内的部分的面积为 B. 直线与所成角的最大值为 C. 的最小值为3 D. 面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，得到相应空间向量的坐标，由两点间的距离公式及数量积可解决最值问题，要注意了解柯西不等式的使用. 【详解】对于A，点的轨迹在正方体内的部分是以为球心，1为半径的球面的，如图， 则其面积为球的表面积的，即，故A错误. 对于B，如图，建立空间直角坐标系，则， 设，由两点间的距离公式可得， 所以， 所以， 令，则， 所以的最值可转化为的最值， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，所以直线与所成角的最大值为，故B正确. 对于C，由知由柯西不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为3，故C正确. 对于D，由正方体的结构可知，，即球心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为， 所以面积的最小值为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知长方体中，分别是的中点，点分别满足，则几何体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据棱柱体积公式计算即可. 【详解】由题意可知， ，， 几何体为四棱柱， 其的体积为. 13. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式和对数函数定义域的基本要求可求得的定义域，采用换元法可构造偶函数，将所求不等式化为，根据对数型复合函数和一次函数单调性可确定当时不等式的解，结合奇偶性可求得最终结果. 【详解】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 14. 已知点在直线上，若上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质，将题中条件等价转化为点与原点的距离，进而转化为直线与圆有公共点时的取值范围. 【详解】当为圆的切线时，可取到最大值. 在中，，已知，若，则， 要使上存在点，使得，则只需即可； 点到直线的距离， 故，平方可得，即，解得或， 综上，的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 网络安全事关广大人民群众切身利益.某电脑遭遇病毒攻击时，该电脑的杀毒软件发现病毒的概率为.若杀毒软件发现病毒，则自动启动杀毒，杀毒成功的概率为；若杀毒未成功，则病毒使电脑变卡顿的概率为.若杀毒软件未发现病毒，则病毒使电脑变卡顿的概率为. （1）若电脑遭遇病毒攻击，求杀毒软件杀毒成功的概率； （2）求病毒使电脑变卡顿的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件该电脑的杀毒软件发现病毒，事件杀毒软件杀毒成功，则，，利用概率的乘法公式可求得杀毒软件杀毒成功的概率； （2）记事件病毒使电脑变卡顿，求出、、的值，利用全概率公式可求得的值. 【小问1详解】 记事件该电脑的杀毒软件发现病毒，事件杀毒软件杀毒成功， 则，， 由概率的乘法公式可知杀毒软件杀毒成功的概率为. 【小问2详解】 记事件病毒使电脑变卡顿，由（1）可知，， 则，， 故， 由题意可知， 所以. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式得，再结合正弦、余弦定理进行边角转化即可； （2）由可得和，又有，得.由正弦面积公式得.通过三角恒等变换可得：，又由，结合可得的值. 【小问1详解】 由两角差的正弦公式结合正弦定理可得： 由余弦定理可得： 所以. 【小问2详解】 由两边平方得:.所以 又有，所以， 由（1）知=1得，所以， 由，得 因为，结合正弦定理可得 又知 所以，化简得， 即. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点分别在棱上，且. （1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图过程； （2）证明：平面； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先作直线与平面的公共点，同理作出直线与平面的公共点，进而可得两平面的交线； （2）以为基底向量，通过向量的加减法运算可得，所以向量与向量共面，再由平面可得线面平行. （3）建立空间直角坐标系，用向量的方法求平面与平面的夹角余弦值可得. 【小问1详解】 作图过程：①延长，交的延长线于点；②延长，交的延长线于点；③连接. 则直线即平面与平面的交线.如图： 【小问2详解】 由题意，，因此， 设，则， 所以，. 又因为， 而，， 因此，即，而向量不共线， 所以向量与向量共面，且平面，故平面. 【小问3详解】 因为， 所以点在底面的投影为菱形的外接圆圆心，且， 所以底面为边长为的正方形，，. 故分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， ， . 设平面的法向量为， 则，得，令，得，. 设平面的法向量为，， 则，得，令，则，. 设平面与平面夹角为， . 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的短轴长为2，一个焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点. （1）求的方程. （2）若线段的垂直平分线交轴于点，交直线于点. （i）求； （ii）证明：. 【答案】（1）椭圆的方程为:； （2）（i）；（ii）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解； （2）（i）假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可将表示出来，再利用垂直平分线性质表示出直线，令，得到，从而得到的值，代入化简得的值；（ii）结合（i）中直线方程，令，得，从而计算，化简可得，证得. 【小问1详解】 由题可知：，故；焦点，得；由得. 所以椭圆的方程为： 【小问2详解】 （i）设直线： 与椭圆方程联立消去得： ① 则，中点 线段的垂直平分线：， 化简得：. 令，得， 则， 所以. （ii）由（i）知直线：，令得 所以 由①式可知，，所以 即得证. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2）设的极值点从小到大依次为． (i)当时，记数列的前项和为，的前项和为，证明：； (ii)当时，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为：，， 单调递减区间为：． （2）(i)证明见解析； (ii)证明见解析． 【解析】 【分析】(1)将代入得到解析式，求出，根据正余弦图象与性质确定的正负，从而判断的单调区间； (2)(i)由(1)可求出的极值点，求出与的通项从而计算出与，利用放缩放证明即可；(ii)根据导函数的根，求出的表达式，然后写出的解析式，通过化简形式，构造新函数，求导得到的单调性，从而证明范围即可． 【小问1详解】 因为，故， 则； 令，则，即，，解得； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 因为；，当时，单调递增区间为， 当时，单调递增区间为； 综上：的单调递增区间为：，， 的单调递减区间为：． 【小问2详解】 证明：(i)由(1)知，的极值点为，即； 则； 因为， 因为； 故，故， 则； 令，则，故， 故恒成立； 故 因为，故恒成立． (ii)因为， 则； 令，可得：，即，解得：，即； 根据解析式可判断为的变号零点， 故，； 设，则，故 故； 故： ； 证明下界： 要证，即证，即， 即证： 令，因为， 故， 又， 则： ， 故，则在上单调递减； 当时，，，故,故； 即； 证明上界： 因为，则，，则； 则，故； 又，可得； 故在上单调递减，故， 故； 综上：成立． 【点睛】本题结合三角函数恒等变换相关知识，综合导数题目中，需考虑三角函数根的情况，本质依旧按照求导函数判断正负，得到原函数的相关性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $