黑龙江哈尔滨市第三中学校2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题

哈三中2025一2026学年度下学期 高一学年期中考试数学试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.设复数z=1-3i,z是z的共轭复数，则复平面内z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.向量，b的夹角为？，并且，b是单位向量，向量c满足c=a-b,那么向量a 3 与c的夹角为 A君 B. D. 5π 3 C.2r 3 6 3.已知AB=（3,-4),则向量a=(1,)在向量AB上的投影向量为 (33) B) c. 2128 25’25 4.已知a,b为两条不同的直线，α，B为两个不同的平面，那么下列结论正确的是 A.若aca,bcB,且a∩B=l,则a与b为异面直线 B.若a⊥a,b⊥B,且a∥B,则a∥b C.若a⊥，b∥B,且a⌒B=l,则a与b为异面直线 D.若a∥a,b∥B,且a∥B,则a∥b 5.如图，AB是底部B不可达到的一座建筑，A是建筑的最高点.测量建筑AB高度时 选择了一条水平基线HG,使H,G,B在同一条直线上，在G,H两点用测角 仪器测得A的仰角分别是75°，30°，HG=a,测角仪器的高是h.那么测得建筑AB A 的高度为 A.3+1 B V3+1 a+h 2 c.6+2 +h D.6+2 .30° CA75° H G 高一数学第1页共6页 6.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=4,AC=6,点D为AC的中点，M为BD上点， 并且AM=xAB+3AC,则AM.AC的值为 8 B39 33 A.10 C.15 D. 4 7.正三棱柱ABC-A,BC的底面边长为3，高为2，E为AB,上的点，AE=2EB1, 平面ACE将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为 A A. 11 12 B. E 12 13 B C.1 13 D. 14 8.在△ABC中，三个内角分别为A,B,C,所对的三边长分别为a,b,c,若A=80°， 并且a2-b2=bc,则 A.B=60° B.C=50° C.B=50° D.C=60° 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知复数z,乙1，乙2，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是 A.21+22=Z1+22 B.3,+z<z+z2 c.z2=2 D.若2-1+2)=1，则z+2-6i的最大值为6 高一数学第2页共6页 10.己知一个圆锥SO的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是 A.侧面积为2√5π B.过两条母线的截面面积的最大值为2 C。圆锥的内切球半径为5-】 2 D.设AB是圆锥的底面圆直径，M是底面圆周上一点，若MA=MB,则SA与MB 所成角的余弦值为 V10 10 1L.已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是 A设F=xAB+yAC,若P是AMBC的重心，则x+y 3 B.若PA+PB+3PC=0,则△ABC的面积与△ABP的面积之比为5：1 C.若P是△4BC的内心，满足2PA+3PB+4PC=0,则sinB+sinC的值为了 7 sin A D.若P+Bd=P+C=Pc+A店且ABAc=,则P.B= 2 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位 置上. 12.己知1+2i是关于x的方程2x2+px+g=0的一个根，其中P,9为实数，则 P+9= 13.若底面边长为2√3，高为2的正三棱柱ABC-ABC所有顶点都在球O的表面上， 则球O的表面积为 14.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其面积为S,若点M满足 及-号0+兮C,且CM=号4M,则06+1cm4的最大值为 3 高一数学第3页共6页 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤 15.(本题13分)如图，在正方体ABCD-AB,CD中，O是底面ABCD的中心，点E是 CC的中点. (1)求证：OE∥平面ABCD; (2)求异面直线AD1与OE所成角的余弦值 D B D B 16体题15分已知向量a=-.b=（,c=民-). (1)若a/(b-c),求(a+c)(b-c)为 ②)设f()=a+,xe22,求函数f(y的值域， 高一数学第4页共6页 17.(本题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°， AB=PB=4,PA=PD=2√2，M为AD的中点. (I)求证：BC⊥平面PBM; (2)求四棱锥P-ABCD的体积. P D 18.(本题17分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (2a-c)cos B=bcos C. (1)求B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，且a=4,求△ABC面积的取值范围； (③)若D为边AC上一点（不包含端点），且满足∠ADB=3∠ACB,求4D 的取值 CD 范围. 高一数学第5页共6页 19.(本题17分)若点O是直线PQ外一点，点M,N在线段PQ上(M,N异于P,Q), 我们则称以下操作：(P,Q:M)= OP sin∠POM 为“由O点对PQ施以张角运算”： o0 sin∠MOg 并且，记(C,QM,N=PCM） 如图，四个有序点A,B,C,D,由O点对AD (P,O;N) 施以张角运算，得(A,D;B)=1. (I)在OA,OD上分别取点E,F(异于端点)，连EF交OB于点G, 证明：B为AD的中点，且OA+0D_20B OE OF OG (2)己知(A,D;C,B)=3,AC=√3. ①若∠AOC=60°，求OB的最大值： ②若OB=1, sin∠ACO3 sin∠AOB-2,求tanA的值。 B C D 高一数学第6页共6页 2026年高一下期中考试数学试题答案 一、单选题 1~8 ABCB ADCD 二、多选题 9.AD 10.BCD 11.AC 三、填空题 12.6 √2 13.20π 14. 56 四、解答题 15.(1)连接AC,AC,在△ACC中，O,E分别为AC,CC,的中点， ∴.OE∥AC,又：AC,C平面ABCD, OE平面ABC,D,.OE∥平面ABCD· (2)由(1)知OE∥AC,.∠D,AC,或其补角即为所求，在△ACD,中，设CD,=1, 则AD=2,4C=5,cos∠D4G=6 3 16.0a-0-)-e-(x3+面6-0x=2x=l .b=(1,10,a+c=(4,-2,6-c=(-2,2),∴(a+c)(6-c)=-12; @f四-a+Vc++(-c-+2c-2+4 引s 17.(1)证明：因为底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形， 又因为M是AD的中点，所以BM⊥AD,又因为BC∥AD,所以 BC⊥BM.因为PA=AD,M为AD中点，所以PM⊥AD,又因为 BC∥AD,所以PM⊥BC,又因为MP⌒MB=M,所以BC⊥平面PMB. (2)经计算PM=2,BM=2W3,又PB=4,所以PM2+BM2=PB2,所以 PM⊥MB,又因为PM⊥AD,MBAD=M,所以PM⊥平面ABCD, 所以PM是四棱锥P-ABCD的高，所以 V-SwoxPM-x4x4xx2-16/5. ×2= 3 2 3 18.(1)2sin Acos B-sin C cos B=sin Bcos C 2sin Acos B=sin Ccos B+sin B cos C=sin(B+C)=sin A :sinA>0cosB=】B=7 3 sn4sn4nCc4mcn4+】 (2)a=4=c 2-2+25 sin A sin A tan A :AMBC为锐角三角形，<A<T,anA>5 ,.2<c<8 6 2 3 SMBC acsin B=13c :.213<SMBC <813 (6)设∠ACB=a,则∠ADB=3a,∠DBC=2a,∠ABD=T-2a, 3 AD BD 在△ABD中， 如雪2a sin(a+) CD BD 在△BCD中， sin 2a sina 作商得AD、 sina sin( -2a) CD sin(a+) sin 2a 3 sin(7-2aw） sin( -2a) π ,设t= 2sim(a+)-cosa sin(2a 3 -20, 32 sint (l+cos)+1sint 3 cost+11 1 2 sint 2 3.cost+11 >V3 2 sint tan- 2 CD ∈(0，) 19.(1)(4,D:B)= 0Asin∠AOM 20Bi04sn∠40M_S- =1, OD sin∠MOB 2bEl0Dsim∠M0B SABOD BD .B为AD中点. S.OFE=Sw0EG+S GL S0EG OE.OG OG.OF OG OE OF S OAD SAOAD 2S AOAB 2S AOBD 20A.OB 20B.OD 20B OA OD 又 OE.OF ,OGOE,OF-OE.O S AOAD OA.OD'"20B OAOD' OA.OD .( OE OF OA.OD20B OA OD 20B OA OD'OE.OF OG OE OF OG (2)由(1)知，(A,D;B)=1,.(A,D;C)=3,AC=3CD,AB=2BC 08=0A+20C,设0A=m,0C=n, 3 3 ①AC=V3,∠A0C=60°.m2+n2-mn=3 又90B2=m2+4n2+2mn,.90B2=3(mn+n2)+3 m n。3 sin(A+60)sinA sin60° =2,将m=2sin(A+60),n=2sinA代入， sin sin(4+sinc3sin2-) 90B2=3(n2+mn)+3≤33+2V3)+3=12+6V3, 2时，0B取最大值1+ 当A= 5π 3 2W5 m 3 1 ②sin∠AB0sinZ40B'sin∠OBC sin∠AC0' ,sin∠ABO=sin∠OBC, .m=√3n 1+ m21+1 4 n2 45+3 又：cos∠AB0+cos∠CB0=0,. 2W3 =0,m2+2n2=5 3 3 联立 {m=3n得，m=3,”,.c0s46am4 6 5