山东济南市历城第二中学2026届高三下学期学情自测三数学试题

绝密★启用前 2026年济南市历城第二中学三模考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试时间；2026年5月7日13：00-15：00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={xx2-4x-5<0},则A∩B=（) A.{2,3,4,5} B.{1,2,3 C.{1,2,3,4} D.{2,3,4} 2.抛物线y2=x的焦点为F,准线为1，则F到1的距离为() A日 B.Z C.1 D.2 3.已知a=log20.2,b=22,c=0.23,则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 4.双曲线x2-4y2=4的离心率为（) A. 2 B.5 C.5 D.5 5.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为() A. 3π B. C.2π D.3π 6.设a≠0，若a为函数f(x)=a(x-a)(x-b)的极大值点，则() A.a<b B.axb C.ab<a2 D.ab>a2 7.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为P,P2,乃，且P>P2>P1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p, 则() A.p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 第1页共20页 &已知0<a<B<行则() A.sina-sin B<a-B B.a-B<tana-tan B C.asin B<Bcosa D.tan B>aB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一组样本数据（G,y1GL23,10.其中5>1895-2×102y-970,求得其 经验回归方程为：=0.02x+a,残差为e.对样本数据进行处理：x=n(x,-1895),得 到新的数据(x,y),求得其经验回归方程为：=0.42x+à，其残差为4，e,4,分布如图 所示，且e~N(0,o),i~N(0,o),则() 仑A 分个 w.支o8eegt 图1 图2 A.样本(x,y,)负相关 B.a=49.7 C.o<o2 D.处理后的决定系数变大 10.设复数z满足z2-4=z2,则() A.z-2-2+2=22 B.z≥V2 C.关于z的方程z=a+ai(aeR)有解D.若复数w满足川-l,则z-w≥V2-1 ll.已知n∈N,记A为集合A中元素的个数，min(A)为集合A中的最小元素.若非空数 集A≤{1,2，，n},，且满足A≤min(A),则称集合A为“n阶完美集”.记an为全部n阶完美 集的个数，下列说法中正确的是() A.a4=7 B.将n阶完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1阶完美集 C.若A为(n+2)阶完美集，4>1且n+2∈A,满足条件的集合A的个数为an1-n D.若A为(n+2)阶完美集，A>1且n+2:A,满足条件的集合A的个数为a1-n-1 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 l2.已知函数f(x)=(a>0,a≠1)，若fn2)fln4)=8,则a= 13.已知直线x+y-5=0与圆C:x2+y2-4x+2y-m2=0相交于A,B两点，且AB=4, 则实数m= l4.如图，已知o>0,在函数f(x)=sin(ox+p)的部分图象中，其图象上的点A,B,C是同 一直线上的三点，且该直线与x轴交于点D,若AD=DB=BC=1,则o= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn,且S,S2,S成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令b,=(-1)4n ,求数列{bn}的前n项和Tn aa 16.(15分) 已知函数f(x)=sin(wx+p)(o>0,0<p<π) (当@=2，f侣=0，求函数()在x=0处的切线方程： 2若西数f()的最小正周期为3x,且/)=2在xeQ2026:)上恰好有1351个解.求0 的取值范围， 第3页共20页 17.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA=1,PB=2√3，PC=3,AB=3, BC=√6，AC=√7，点M,N分别是棱PB,PC上的点，且直线PA⊥ 平面AMN (I)求MW的长； (2)求三棱锥P-ABC的体积： (3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值， 18.(17分) 已知函数f(x)=alnx-Vx+1(x>0),aeR. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若对任意x∈(0，+o),均有f(x)≤0，求a的值； (3)假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81，若其10次投篮全部命中的概率为p, 证明：p<e2. 19.(17分) 我们把由半椭圆+y a 之0与半橘国影+子-≤0合成的甜线称作果，其中 a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如图，设点F,F,F是相应椭圆的焦点，A,4和B, B,是果圆与x,y轴的交点，M是线段AA,的中点 B2 F2 OM Fo A2主 F B 0设P是果圈尚半鞋图若+号=：三0上任意一点，且6=4.c=3.求证，当PW服 得最小值时，P在点A处： (2)若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标； (3)连接“果圆上任意两点的线段称为“果圆的弦.试研究：是否存在实数k,使斜率为k的 “果圆平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在， 说明理由。 第4页共4页 2026年济南市历城第二中学三模考试 数学答案解析 1.C 【分析】求解确定B,再由交集运算即可求解； 【详解】B={xx2-4x-5<0}={x-1<x<5}, 所以A∩B=1,2,3,4}, 故选：C 2.B 【分析】由抛物线的定义可得答案 【详解】设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0), 1 由题意可得2p=1,得p= 2 所以F 令0 1、1 所以F到1的距离为4(2 3.B 【分析】运用中间量0比较a,c,运用中间量1比较b,c 【详解】a=log20.2<log21=0,b=22>2°=1,0<0.23<0.2°=1，则0<c<1,a<c<b.故选 B. 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量 法，利用转化与化归思想解题。 4.B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求出离心率. 解由4护4得，y,所以G=4=L,c2=a+6百 即a=2,c=5,所以e=-5 a 2 故选：B. 5.A 【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可. 第1页共20页 【详解】由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h=√P-R2=√22-1P=√5， ∴圆锥的体积为P=)Rh=5元 3 3 故选：A. 6.D 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进 行分类讨论，画出f(x)图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项 【详解】若a=b,则f(x)=a(x-a)为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b. ∴.f(x)有a和b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的. 依题意，a为函数f(x)=a(x-a)'(x-b)的极大值点，·在x=a左右附近都是小于零的. 当a<0时，由x>b,f(x)≤0，画出f(x)的图象如下图所示： b 由图可知b<a,a<0,故ab>a2. 当a>0时，由x>b时，f(x)>0,画出f(x)的图象如下图所示： 由图可知b>a,a>0,故ab>a2. 综上所述，ab>a成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解 第2页共20页 答 7.D 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则 第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力 越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为P 则=-pA+a-小+-aB+aAd-P】 =p,(P2+P3)-2PP2P3; 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P2, p.=(I-p)p2Ps+pipz (1-P:)=P2(p+ps)-2pP2Ps 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙 则P丙=(1-P)P3P2+PP1-P2)=P3(p1+P2)-2PPP3 则Pm-Pz=p(P2+P)-2PP2P3-[P2(p1+P)-2pP2P3]=(p-P2)P3<0 pz-p=P2(B,+P3)-2pP2P3-[p,(1+p2)-2pP2P]=(P2-P3)p<0 即P甲<Pz,Pz<P丙， 则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大选项D判断正确：选项BC判断错误； P与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关选项A判断错误 故选：D 8.D 【分析】令f(x)=sinx-x,x∈0， 2 求导分析单调性可得A错误；令g(x)=tanx-x求导 第3页共20页 分析单调性可得B销误：令a=子P= 5 π，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误： 12 令m(x)=tanx-x2,求导后放缩得单调性后可得D正确. 【详解】对于A,令f(x)=sinx-x,x∈0 π 则f'(x)=cosx-1<0, 所以f(在0，上单调递减，即f()>f(, 所以sina-a>sinB-阝→sina-sinB>au-阝，故A错误； 对于B◆创=m-,e0则g- 1 -1>0, cos2x 所以g()在(0上单调递蜡，即amB->ma-a→a->ana-am,放B错误： 对于C,因为0<a<A<经令a-骨B 5 π时， 12 asinB=sin5=si 3123 12 24 9mu-沿}年 因为[2(V6+2)]>25,所以asin B>Bcosa,故C错误： 对于D.令m)=amx-x,x02,则m()-g2=1+m2x-2x, cos2x 由三角函数线可得当xe0时，m>>0,所以mx之F, 所以m(x)=1+tan2x-2x>X-2x+1=(x-2≥C, 所以m)在0上单调递增，m(>m(o)=0,x0 即tanB>B2>ap，故D正确. 故选：D 9.ABD 【分析】利用回归方程判断A:利用样本中心点计算判断B;利用图象的波动性判断CD. 【详解】对于A,经验回归方程y=0.02x+4中斜率-0.02<0，则样本(x,y,)负相关，A 正确： 对于B,原样本均值：x=2×103,y=9.7,由y=-0.02x+4,得a,=9.7+0.02×2×103=49.7, B正确： 第4页共20页 对于C,由图1的数据波动较大可得u,比e,更集中，则o?<o,C错误： 对于D,由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变 大，D正确. 故选：ABD 10.ABD 【分析】设z=x+yi(x,y∈R),根据z2-4=z2可得x2-y2=2,故P(x,y)在双曲线上， 由双曲线的性质可判断ABC的正误，根据三角形不等式可判断D的正误 【详解】设z=x+i(x,yeR),则(x+i-4=（x+月， 整理得x2-y2-4+2i=x2-y2+2xyi, 故(x2-y2-4)}+4x2y2=(x2-y2）+4x2y2即x2-y2=2, 故P(x,y)在双曲线x2-y2=2上，焦点坐标为(2,0)，(-2,0)，实半轴长为√2， 故2-2-2+2到表示P到两个焦点的距离差的绝对值， 故z-2-z+2=2√2，故A正确： z即为P到原点的距离，故OP大于等于实半轴长，故z≥√2，故B成立， 对于C,由z=a+ai(aeR)可得x+yi=a+ai,而x,y,aeR, 故x=a,y=a,而x2-y2=2,故矛盾，故C错误； 对于D,因为即为P到原点的距离，由B的分析可得z≥√2， 而2-w≥-w2V2-1,故D正确： 故选：ABD. 11.ABD 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性 质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集A是L,2,3,4}子集中含1个元素的子集时，|A=1.根据“n阶完美集”的定 义，{1,2,3,4}中大于等于1的数有1、2、3、4共4个，所以此时A可以是{I、2}、3}、 {4. 第5页共20页 当非空数集A是1,2,3,4}子集中含2个元素的子集时，|A=2.L,2,3,4}中大于等于2的数有 2、3、4共3个，所以此时A可以是{2,3}、2,4}、{3,4} 当非空数集A是{1,2,3,4}子集中含3个元素的子集时，|A=3.{1,2,3,4}中大于等于3的数有 3、4共2个，不满足“阶完美集”的定义，所以{1,2,3,4}中3个元素的子集不满足. 同理，{1,2,3,4}中含4个元素的子集也不满足 综上，4阶完美集有、{2}、3}、{4、{2,3}、{2,4}、3,4}，所以a4=7,故A正确 若将“n阶完美集”A中元素全部加l,A中元素个数不变，但min(A)加l变大，均不违背“n+1 阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“n+1阶完美集”，故B正确. 若n=4,满足条件的集合A的个数为7，而a=5+6+1=12,C错误； 对于满足“n+2阶完美集”的所有A,n+2不属于所有A,可视为退化为“n+1阶完美集”的 情况，总个数为a 又因为A>1,所以满足条件的集合A要排除掉“+1阶完美集”中只含有1个元素的情形（排 除n+1个单元素集合)，因此满足条件的集合A的个数均为a-(n+I)=a+1-n-1,D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识， 再借助旧知解题即可」 12.e 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案。 【详解】由f(ln2)f(ln4)=8,可得an2.a血4=8， 即ah2+h4=a2m2=8，也即(ah2）'=23, a>0且a≠1，.ah2=2, 两边取对数得：ln2·lna=ln2,解得a=e. 故答案为：e. 13.±√万 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆x2+y2-4x+2y-m2=0, 即(x-2)2+(y+1)2=5+m2,其圆心为(2，-)，半径r=√5+m2, 第6页共20页 若AB=4,则圆心到直线I即AB的距离d AB =5+m2-4=V1+m2, 2 又由圆心到直线x+y-5=0的距离d=121-51=2V5, √1+1 则有V1+m2=2√2，解可得：m=±√万 故答案为：±√万， 14.5元 4 【分析】设D(xo,0),A(x-a,b),B(x。+a,-b),C(x+2a,-2b)且a2+b2=1,a,b>0,结 sin(@xo-wa+o)=b 合已知条件sm(o,+au+p)-b,进面得到oa=交、2cos(o+)=-sin(o+)、 sin(@xo+2wa+p)=-2b cos(ox+p)=-b,即可求解. 【详解】因为AD=DB=BC=1, 点A,B,C是图象上的同一直线上的三点，直线与x轴交于点D, A,B两点关于D点对称，C,D两点关于B点对称.， 设D(x,0),A(x-a,b),B(x+a,-b),C(x+2a,-2b),且a2+b2=1,a,b>0, sin(ox。-wa+p)=b 所以{sin(ox,+wa+p)=-b①，则sin(ox。-oa+p)+sin(ox,+oa+p)=0, sin(@xo+2wa+o)=-2b 所以2sin(ox。+p)cos(oa）=0,故sin(wx。+p)=0或cos(wa)=0, 若sin(ox,+p)=0,即D(x,0)是f(x)的一个零点，不符合题意， 所以cos(oa)=0,则oa=+km,k∈Z,而2a<T=2π→0<m<元， 2 0 所以侧-子结合0有2nam+受+ps如a侧，++，所以 2cos(@x+o)=-sin(oxo+p), 而sino-2+p-cos(ox,+p)=b,所以cos(o,+p)=-b<0,sin(ox,+o）=2h, 2 所以sim(o,+j+co3o+到=56=1→bG,ag 5’ 第7页共20页 所以0=刀=V5元 2a4 2n n为偶数 15.(1)an=2n-1;(2)T= 2n+1 2n+2 ,n为奇数 2n+1 【分析】(1)根据等差数列的性质得出(2a,+2)=a,(4a,+12),a,=1运用通项公式求解即可. 2)由(D可得b=口20+2十对n分类讨论“裂项相消求和”即可得出。 【详解】(1)，等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn,且S1、S2、S4成等比数列. ∴.Sn=natn(n-1) (2a+2)2=a1(4at12),a=1,.an=2n-1; ②t用a=旷r d an 当n为偶数时， 6-g+a1 2n =1- 2n+12n+1 当n为奇数时，了 -传引-2 1 2n+2 =1+ 2n+12n+1 2n ,n为偶数 ∴.T= 2n+ 2n+2 ,n为奇数 2n+1 【点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和， 属于中档题. 16.(0y=-V5x+ (20<0≤或T<p≤3 124 4 【分析】(1)根据o=2以及f ）0可得=n2x+ 即可求导以及点斜式求 解直线方程， (2)利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【详解】(1)当o=2时，则f(x)=sin(2x+p), 根据侣0可特f[}m行小-0，故管9=点eZ,故p=名+红ez 6 6 第8页共20页 由于0<p<π，故p=西，故f)=sim2x+ 6 6 (2cm)2c5 6 故函数f()在x=0处的切线方程为y=5(x-0)+,故y=-5x+2 （2)适数的最小正周园为，故w经子所以=m作+ 2 13 4052+9 r+p,当xe[0,2026),则1eo,3 令simf=5,则1=+2km或1=3元+26际，k∈Z, 2 4 4 +2元x675<4052r +p 4 3 当0<p≤时，要使得sinL-2有1351个实数根，则3江+2m×675≥4052+0，解得 2 3 0<osz 0<p≤ 12’ 3+2mx675<4052m+0 3 当众 <江时，要使得5in1=2有1351个实数根，则9红+2m×675 4052π +p,解得 4 2 3 下ps3 4 [9+2元x675<4052元+0 3 0<π时，要使得1=2有1351个实数根 元+2元×675≥4052元+0，无解， 2 4 3 3弧<0<元 综上可得0<p≤或<p<江 12 4 4 17.(1)2 a平 3)35 8 【分析】(1)根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义 进行求解即可； 第9页共20页 (2)根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可： (3)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】(I)在△PAC中，由余弦定理，得cos∠APC-P4+PC-ACl+9-7L 2PA.PC 2x1x32, 在aP1B中，由余弦定理，得cos∠APB=P+PB-AB_+12-95 2PA·PB 2x1×2V53 因为PA⊥平面AMN,AM,ANC平面AMN, 所以PA⊥AM,PA⊥AW, 所以在RtaPAM中，cos∠APM=PA FPM→PM=aPA31】 os ZipA 3 在RIPAN中，cos∠APN三关Pw==/。 cos∠APWi=2 2 在△PBC中，由余弦定理，得cos∠BPC=PB+PC-BC_2+9-655 2PB.PC 2×2v5×3121 所以在△PMN中，由余弦定理，得 MN-MPN-2 PM-PN -65 ZMPN3 12 2 (2)所以在Rt△PAM中，AM=VPM2-PA=√2， 在Rt△PAN中，AN=√PN2-PA?=√3， 在△AMN中，由余弦定理，得cos∠MAN=MA+N4-MW22+3-2.6 2MA·NA 2×V2xV54, 所以sin∠MAN=V1-cos2∠MA V10 4 4 设点A到平面PBC的距离为h, 由三棱锥的体积公式和性质， 1 p-AN=VA-PMN=3 h.S.PMN 2PM:PW:sim∠MPw V3×21 得 n--ABC VA-Pac。 3h-S.mePB PC.sin/MPN 23x33,所以 3 c=3w=3x3PA)AM.AN-sin∠MaNw厂2x3X√T0√g 1 1 3 2 2 44 (3)由上可知：MA=MN,取AN的中点O,显然OM⊥AN, 第10页共20页 因为PA⊥平面AMN,OMc平面AMN, 所以PA⊥OM, 因此以OM,OW所在的直线为x轴和y轴，过O与PA平行的直线为z轴建立空间直角坐标系， 如下图所示： or5.n.o 由上可知：M是棱PB中点，PN=2NC, 设平面PAB的法向量为m=（x,y,z), PA=(0,0,-1),PB=(5,5,-2）, m.PA=-2=0 z=0 所以 → mPB=5x+y-2z=05x+3y=0' 所以取该平面的一个法向量为m=（V5,-√5,0)， 设直线BC与平面PAB所成角为B, 所以sin0=cos(BC,m= BC.m -5-5 3v5 BC /S×3+1×3+5 44 18。(1)答案见解析：(2)a=2(3)证明见解析. 【分析】(1)求出函数了()的定义域，求得)=2a,正，对实数a的取值进行分类讨 2x 论，分析导数的符号变化，由此可得出函数∫(x)的单调递增区间和递减区间： (2)由已知可得f(x)x≤0，利用(1)中的结论可得出关于实数a的不等式，由此可求得 第11页共20页 实数a的值： (3)由(2)可得出lnx≤2(F-1,令x=0.810可证得所证不等式成立. 【详解】(1)函数f()的定义域为0，+o),)=9-,=2a x 2vx 2x 若a≤0，则f'(x)<0对任意的x>0恒成立，此时函数f(x)在(0，+o)为减函数； 若a>0,由f'(x)>0可得0<x<4a2,由f'(x)<0可得x>4a2. 此时，函数f(x)的单调递增区间为(0,4a2),单调递减区间为(4a2,+oo). 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，+∞)为减函数： 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,4a2),单调递减区间为(4a2,+o): (2)当a≤0时，函数f(x)在(0，+o)上为减函数，且f(1)=0, 则当0<x<1时，f(x)>f()=0,不合乎题意： 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,4a2),单调递减区间为(4a2,+oo), f(x)ns=f(4a2)=aln(4a22a+1=2alna}2a+1≤0， 令1=2a>0,可得nt-i+1<0,即1nt-1+<0, 令g0=+片，类0，g0=月 当0<1<1时，g(t)<0,此时函数g()单调递减： 当t>1时，g(t)>0,此时函数g()单调递增. 所以，g)。=g()=0,则g≥g()=0,由g()≤0，所以，2a=t=1,解得a=2 (3)由题意可得p=0.81°， 由(2)可知，当a=时，-F+1s0,即nx≤2-） 2 所以，ln0.81°=10ln0.81<20V0.81-)=-2,因此，p<e2. 【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： (1)求导后看最高次项系数是否为0，须需分类讨论： (2)若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别 第12页共20页 式讨论无根或两根相等的情况； (3)再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较 19.(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)存在：k=0 【分析】(1)先求得M,然后设出P点的坐标，再根据两点间的距离公式来求得正确答案. (2)先求得M,然后设出P点的坐标，再根据两点间的距离公式来求得正确答案 (3)先证明斜率相同的椭圆的弦的中点在定直线上，据此可判断“果圆平行弦的中点轨迹 是否落在某个椭圆上 【详解】1)P是“果圆”的半椭圆若+号-1x≤0上任意一点，所以4-30)， a2=b2+c2=25,a=5,所以A(5,0),所以M(1,0). 设(6cosa,4sina,受sa≤ 2 PM=/(3cosa-1)+(4sina)=9cos2a-6cosa+1+16sin2a =-6cosa+7sin2a+10=-7cos2 a-6cosa+17, -6 3 二次函数y=-7x2-6x+17的开口向下，对称轴为x= 2×(-7）7 由于cosa∈[-1,0]，所以当cosa=-1时，PM取得最小值√-7+6+17=4， 此时P(-3,0),即P在点A处 2》牛桶酒若若=c≥0，对成4a0。 半精@若+号=s0,对位4(e0,则M20小 当P在半5图茶+三=rs0)上时枚Peo96n0. 则p-cos0- +(bsin0)月 eicos20-c(a-c)cos0+a-c +b"sin2 0 2 ecos'o-c(a-e) 第13页共20页 +b2, a>0,b>c>0,a2=b2+c2, 次圆藏=e-r-(ac-+2 +b2的开口向下， 由于cos0∈[-l,0],所以当cos0=-1或cos0=0时取得最小值， 当cw8=-1时.we)-(ec)2j6-2j+e lpw=（"2y+ac@, 当0-0时，pm-,P26e 所以当PM取得最小值时，P在A或B,或B,处， 4M=4=空，设Px, 且B和B,同时位于"果圆"的半椭圆x 的号+若=0x0和半精国后号=(：≤0上 ∴只需研究P位于”果圆”的半椭圆+ +京=1(x≥0)上的情形即可 a? la-osi a-y afa-gi 2c2 4 4c2 当x=ac）sa,即a≤2c时，1PM的最小值在x=a（aC时取到，此时P的横坐标是 2c2 2c2 a(a-c) 2c2 当x-aaca,即a>2e时， 2c2 由于|PMP在x<a时是递减的，PMP的最小值在x=a时取到，此时P的横坐标是a,. 综上所述，若a≤2c,当PM取得最小值时，点P的横坐标是a(a-c: 2c2 若a>2c,当PM取得最小值时，点P的横坐标是a或-c. (3)我们证明一个结论： 若斜率为k的直线与椭圆mx2+y2=16m>0,n>0,m≠n)交于A,B两点，则中点的轨迹在直 第14页共20页 线上， 证明：设A(x,乃)，B(x2,y2),它们的中点为M(x,), 则mx2+y2=1且mx+y=1, 从而m(x-x)+n-)=0,故m(x-)(:+)+n(出-)y+)=0, 故mx。+nyo=0,故中点在直线mx+nky=0上. y F2 A OM Fo F B 对于“果园”的弦的中点， 若斜率k=0,则设直线y=t, 它与“果圆”的交点是 6 弦的中点(x,)满足 y=t 消去1可得弦的中点轨迹方程是，4”+广 (a-c+6=1, 而-0-b=-2h-0+e-2h-06+0-6-小0， 2 即口-)：力，所以，若"果图”弦所在直线的斜率为0，则平行弦中点轨迹是梢圆。 若“果圆”弦的斜率k≠0，则可平移过程总存在无数条斜率为k的直线与“果园”的左半椭圆相 交，由前述证明的结论，此时中点在直线上， 故平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上 综上，斜率k=0时，“果圆”平行弦中点轨迹落在某个椭圆上. 斜率k≠0时，“果圆”平行弦中点轨迹不能总落在某个椭圆上 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”一明确“新定义”的条件、原理、方法、步 第15页共20页 骤和结论.(2)重视“举例”，利用“举例检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例提供的解 题方法.归纳举例提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解 决的问题 第16页共20页